中考數(shù)學知識點 三角函數(shù)復習 銳角三角函數(shù)和解直角三角形課件

第36課 銳角三角函數(shù)和解直角三角形 1銳角三角函數(shù)的意義，RtABC中，設C90，為 RtABC的一個銳角，則： 的正弦 sin . 的余弦 cos . 的正切 tan .要點梳理要點梳理的對邊的對邊斜邊斜邊 的鄰邊的鄰邊斜邊斜邊 的對邊的對邊的鄰邊的鄰邊 230、45、60的三角函數(shù)值，如下表：正弦正弦余弦余弦正切正切30456012 32 33 22 22 132 12 3 3同角三角函數(shù)之間的關系： sin2cos2 ； tan . 互余兩角的三角函數(shù)關系式：(為銳角) sin ； cos . 函數(shù)的增減性：(090) (1)sin，tan的值都隨 ； (2)cos都隨 sincos 1cossin增大而增大增大而增大增大而減小增大而減小4解直角三角形的概念、方法及應用 解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形 直角三角形中的邊角關系：在RtABC中，C90，A、B、C所對的邊分別為a、b、c則： (1)邊與邊的關系： ； (2)角與角的關系： ； (3)邊與角的關系： .5三角形面積公式：S ah .a2b2c2AB90sinAcosB ，cosAsinB ；ac bc tanA ，tanBab ba 12 absinC12 1正確理解三角函數(shù)的概念 書寫三角函數(shù)時，若銳角用一個大寫字母或者一個小寫希臘字母表示的，表示它的正弦時，習慣省略角的符號，如sin A；若銳角是用三個大寫字母或數(shù)字表示的，表示它的正弦時，不能省略角的符號，如sinABC，余弦和正切的寫法同理由定義可以看出，銳角A的正弦、余弦、正切都是它所在直角三角形的兩邊的比，因此都是正數(shù)；因為銳角A的取值范圍是0A90，則三角函數(shù)的取值范圍是0sin A1,0cos A0；當A確定時，三個比值也分別有唯一確定的值與之對應 難點正本難點正本 疑點清源疑點清源 2解直角三角形在實際問題中的應用 解直角三角形在實際中有廣泛的應用，主要涉及測量、航空、航海、工程等領域，常作為習題出現(xiàn)的有以下幾個方面：度量工作、工程建筑、測量距離等解這類問題的一般步驟是： (1)弄清題中名詞術語的意義，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學模型； (2)將實際問題中的數(shù)量關系歸結為直角三角形中元素之間的關系，當有些圖形不是直角三角形時，可添加適當?shù)妮o助線，把它們分割成直角三角形； (3)尋求基礎直角三角形，并解這個三角形或設未知數(shù)進行求解1(2011煙臺)如果ABC中，sin Acos B ，則下列最確切的結論是() AABC是直角三角形 BABC是等腰三角形 CABC是等腰直角三角形 DABC是銳角三角形 解析：當sinA ，cosB 時，AB45， 所以ABC是等腰直角三角形基礎自測基礎自測C22 22 2(2011湖州)如圖，已知在RtABC中， C90，BC1，AC2，則tan A的值為() A2 B. C. D. 解析：在RtABC中，C90， tanA .12 BBCAC 12 3(2011茂名)如圖，已知45Acos A Csin Atan A Dsin Acos A 解析：當45AB，BCAC， 在RtABC中，sinA ，cosA ， sinAcosA.BBCAB ACAB 4(20011鎮(zhèn)江)如圖，在RtABC中，ACB90，CDAB，垂足為D. 若AC ，BC2，則sinACD的值為() A. B. C. D. 解析：在RtABC中，ACB90， AC ，BC2，則AB3. 由CDAB，得ACDB， 所以sinACDsinB .A5 ACAB 53 5(2011蘇州)如圖，在四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點若EF2，BC5，CD3，則tan C等于() A. B. C. D. 解析：連接BD，因為E、F分別是AB、 AD的中點，所以EF是ABD的中位線， BD2EF224. 在BCD中，BD4，BC5，CD3. 由BD2CD2BC2，得BDC90， 所以tanC .BBDCD 43 題型一特殊角三角函數(shù)參與實數(shù)運算【例 1】 計算tan45sin454sin30cos45 tan30. 解：原式1 4 .探究提高 利用特殊角的三角函數(shù)值進行數(shù)的運算，往往與絕對值、乘方、開方、二次根式相結合準確地記住三角函數(shù)值是解決此類題目的關鍵，所以必須熟記題型分類題型分類 深度剖析深度剖析22 12 22 6 33 22 2 2 22 知能遷移1計算： (1) tan45的值是_； 解析： tan45 1110.0sin60cos30 3232 (2)2sin60_； 解析：2sin602 .(3) _. 解析： |tan301| 1tan301 .32 3 3 133 tan301 2 33 題型二仰角、俯角、方向角有關問題【例 2】 已知：如圖，在某建筑物AC上，掛著“多彩云南”的宣傳條幅BC，小明站在點F處，看條幅頂端B，測得仰角為30，再往條幅方向前行20m到達點E處，看到條幅頂端B，測得仰角為60，求宣傳條幅BC的長(小明的身高不計，結果用含有根號的式子表示)解：設BCx，在RtBCF中，tanF ， CF x. 在RtBCE中，tanBEC ， EC x. FEFCEC， x x20. x20，x10 . 答：宣傳條幅BC的長是10 m.BCCF xtan30 3 BCEC xtan60 33 3 33 2 33 3 3 探究提高 此類問題常與仰角、俯角等知識相關，通常由視線、水平線、鉛垂線構成直角三角形，再利用邊與角之間存在的三角函數(shù)式，變形求得物體高度知能遷移2(2011潛江)五月石榴紅，枝頭鳥兒歌一只小鳥從石榴樹上的A處沿直線飛到對面一房屋的頂部C處從A處看房屋頂部C處的仰角為30，看房屋底部D處的俯角為45，石榴樹與該房屋之間的水平距離為3 m，求出小鳥飛行的距離AC和房屋的高度CD.3 解：作AECD于點E. 由題意可知：CAE30，EAD45，AE3 m. 在RtACE中，tanCAE ，即tan 30 . CE3 tan 303 3m， AC2CE236(m). 在RtAED中，ADE90EAD904545， DEAE3 (m) DCCEDE(33 )m. 答：AC6m，DC(33 )m. 3 CEAE CE3 3 3 3 33 3 3 3 題型三解直角三角形的簡單應用【例 3】 (2010赤峰)關于三角函數(shù)有如下的公式： sin()sincoscossin cos()sincossinsin tan()(1tantan0) 利用這些公式可以將一些不是特殊的三角函數(shù)轉化為特殊角的 三角函數(shù)來求值，如tan105tan(4560) (2 )3 根據(jù)上面的知識，你可以選擇適當?shù)墓浇鉀Q下面的實際問題：如圖，直升飛機在一建筑物CD上方A點處測得建筑物頂端D點的俯角為60，底端C點的俯角為75，此時直升飛機與建筑物CD的水平距離BC為42m，求建筑物CD的高解：過點D作DEAB于E， 在RtADE中，ADEa60， AEEDtan60BCtan6042 . 在RtACB中，ACB75， ABBCtan75， tan75tan(4530) 2 ， AB42(2 )8442 ， CDBEABAE8442 42 84. 答：建筑物CD的高為84m.3 tan45tan301tan45tan30 3 33 3 3 3 3 3 3 探究提高 在解斜三角形時，通常把斜三角形轉化為直角三角形，常見的方法是作高，作高把斜三角形轉化為直角三角形，再利用解直角三角形的有關知識解決問題知能遷移3(2011安順)一次數(shù)學活動課上，老師帶領學生去測一條南北流向的河寬，如圖所示，某學生在河東岸點A處觀測到河對岸水邊有一點C，測得C在A北偏西31的方向上，沿河岸向北前行40m到達B處，測得C在B北偏西45的方向上，請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求這條河的寬度(參考數(shù)值：tan 31 )解：如圖，過點C作CDAB于D ， 由題意DAC31，DBC45， 設CDBDx， 則ADABBD40 x， 在RtACD中，tanDAC ，則 ， 解得x60. 答：這條河的寬是60m.CDAD x40 x 35 題型四解直角三角形在實際中的應用【例 4】 (2010杭州) 如圖，臺風中心位于點P，并沿東北方向PQ移動，已知臺風移動的速度為30千米/時，受影響區(qū)域的半徑為200千米，B市位于點P的北偏東75方向上，距離P點320千米處 (1)說明本次臺風會影響B(tài)市； (2)求這次臺風影響B(tài)市的時間 解題示范規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！解：(1)作BHPQ于點H，在RtBHP中，由條件知， PB320，BPQ754530， 得BH320sin30160200， 本次臺風會影響B(tài)市 4分 (2)如圖，若臺風中心移動到P1時，臺風 開始影響B(tài)市，臺風中心移動到P2時， 臺風影響結束 由(1)得BH160，由條件得BP1BP2200， P1P22 240， 8分 臺風影響的時間t 8(小時) 10分20021602 24030 探究提高 此類問題一般求出危險區(qū)域中心的距離，看其是否小于圓形危險區(qū)域的半徑，其實質是判斷圓和直線的位置關系求影響情況，通常以此為圓心，以臺風影響半徑為半徑畫圓，交臺風行進路線于兩點，這兩點之間的距離就是受影響其間臺風所經(jīng)過的路程，其中最靠近臺風方向的一點表示臺風開始影響，另一點表示臺風結束影響知能遷移4(2010烏魯木齊)某過街天橋的截面圖為梯形，如圖所示，其中天橋斜面CD的坡度為i1 ，(i1 是指鉛直高度DE與水平寬度CE的比)，CD的長為10m，天橋另一斜面AB坡角ABG45. (1)寫出過街天橋斜面AB的坡度； (2)求DE的長； (3)若決定對該過街天橋進行改建，使AB斜面的坡度變緩，將其45坡角改為30，方便過路群眾，改建后斜面為AF.試計算此改建需占路面的寬度FB的長(結果精確0.01)3 3 解：(1)在RtAGB中，ABG45， AGBG， AB的坡度 1. (2)在RtDEC中，tanC ， C30. 又CD10，DE CD5. (3)由(1)知，AGBG5，在RtAFG中，AFG30， tanAFG ，即 ， 解得FB5 53.66. 答：改建后需占路面寬度約為3.66 m.AGBG DEEC 13 33 12 AGFG 33 5FB5 3 24添加輔助線，把分散條件集中起來試題如圖，AD是BC邊上的高，AD DC BD1 2 3， 求BAC的度數(shù)學生答案展示 不能添加輔助線來考慮，從而無法下手剖析 如圖，延長BA，過C畫CEAB，只要求BAC的外角即可易錯警示易錯警示正解過C作CEBA，交BA的延長線于點E. 設ADm，則DC2m，BD3m， AC m， AB m. BB，ADBCEB90， BECBDA. m. CE m. 在RtAEC中，sinEAC ， EAC45， BAC135.AD2DC2 m2 2m 2 AD2BD2 m2 3m 2 5 10 CEADBCAB3m2m105m10102 102 ECAC 102m5m 批閱筆記 如果題目中的條件比較分散，所給的圖形不夠完整，我們可以通過作垂線，作平行線等添輔助線的方法，將斜三角形的問題轉化為解直角三角形的數(shù)學模型(化斜為直的思想)，把分散的條件集中起來，構造直角三角形、相似三角形，以達到解題目的方法與技巧 1. 準確理解三角函數(shù)概念，熟練運用正弦、余弦、正切的定義 2. 形成解直角三角形思考過程的程序：在不同的條件下，應有不同的考慮；無論什么條件下，分別求解各未知元素時，應盡量代入已知的數(shù)值，少用在前面的求解中剛剛算出的數(shù)值，以減少以錯傳誤的機會 3. 解直角三角形應用題的思考方法： (1)尋求各類應用題的共同思考步驟： 審題，把情景盡可能弄通、弄細致，甚至畫個示意圖； 把示意圖轉化為幾何圖；思想方法思想方法 感悟提高感悟提高 從要求的量所在的直角三角形分析，解之，若條件不足，轉而先去解所缺條件所在的直角三角形，然后返回；若條件仍不足，再去解第二次所缺條件所在的直角三角形，直至與全部已知條件掛上鉤，然后層層返回 (2)積累各種類型應用題的特殊思考步驟，如：測高問題，測不可到達的兩點間距離問題，航海有關問題等失誤與防范 1在直角三角形中，求銳角三角函數(shù)值的問題，一般轉化為求兩條邊的問題，這樣就把新知識(求銳角三角函數(shù)值)轉化為舊知識(求直角三角形的邊長)，因此不可避免地用到勾股定理若原題沒有圖形，可以畫出示意圖，直觀地觀察各邊的位置及類型(直角邊還是斜邊)，再運用定義求解；也可以直接通過字母來判斷邊的位置和類型，即A的對邊為BC，B的對邊為AC，C的對邊為AB. 2在解斜三角形時，通常把斜三角形轉化為直角三角形，常見的方法是作高，通過作高把斜三角形轉化為直角三角形，再利用解直角三角形的有關知識解決問題注意在畫圖過程中考慮一定要周到，不可遺漏某一種情況完成考點跟蹤訓練 36