中考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn) 反比例函數(shù)中考復(fù)習(xí) 反比例函數(shù)及其圖象課件

第第1313課課 反比例函反比例函數(shù)及其圖象數(shù)及其圖象 1. 概念： 函數(shù)叫做反比例函數(shù)2. 圖象：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，是不與兩坐標(biāo)軸相交的兩條曲線3. 性質(zhì)： (1)當(dāng)k0時(shí)，其圖象位于 ，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而 ； (2)當(dāng)k1時(shí)，0y1 D當(dāng)x0時(shí)，y隨著x的增大而增大 解析：雙曲線y 分布于第一、三象限當(dāng)x0，雙曲線在第一、三象限，選C.C3(2011黃石)雙曲線y 的圖象經(jīng)過第二、四象限，則k的取值范圍是() Ak B. k Ck D不存在 解析：當(dāng)2k10，即k1時(shí)，觀察圖象，得0yy2，則x的取值范圍是() Ax1或0 x2 Bx2 C1x0或0 x2 D1x2 解析：當(dāng)x2或1時(shí)，y1y2；當(dāng)1x2時(shí)，y1y2.D題型一反比例函數(shù)圖象的確定【例1】 已知圖中的曲線是反比例函數(shù)y (m為常數(shù))圖象的一支 (1)這個(gè)反比例函數(shù)圖象的另一支在第幾象限？常數(shù)m的取值范圍是什么？ (2)若該函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)y2x的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為A，過A點(diǎn)作x軸的垂線，垂足 為B，當(dāng)OAB的面積為4時(shí)，求點(diǎn)A 的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的解析式題型分類題型分類 深度剖析深度剖析解：(1)這個(gè)反比例函數(shù)圖象的另一支在第三象限 m50，m5. (2)點(diǎn)A在直線y2x上， 設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0,2x0) (x00)， 則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x0,0) SOAB4， x02x04，x024，x02(舍去負(fù)值)， 點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,4) 又點(diǎn)A在雙曲線y 上， 4 ，m58. 反比例函數(shù)的解析式為y .12 m5x m5x 8x 探究提高 一次函數(shù)與比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)取決于系數(shù)的值，同樣由圖象的性質(zhì)，反過來(lái)也可以確定系數(shù)的符號(hào)要熟記函數(shù)的性質(zhì)并靈活應(yīng)用這些性質(zhì)知能遷移1(2011聊城)如圖，已知一次函數(shù)ykxb的圖象交反比例函數(shù)y (x0)圖象于點(diǎn)A、B，交x軸于點(diǎn)C. (1)求m的取值范圍； (2)若點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2,4)，且 ， 求m的值和一次函數(shù)的解析式解：(1)因反比例函數(shù)的圖象在第四象限， 所以42m0，解得m2. (2)點(diǎn)A(2,4)在反比例函數(shù)圖象上， 4 ，解得m6，得y . 過點(diǎn)A、B分別作AMOC于點(diǎn)M，BNOC于點(diǎn)N， 所以BNCAMC90. 又因?yàn)锽CNACM，所以BCNACM，所以 . 因?yàn)?，所以 ，即 . 因?yàn)锳M4，所以BN1，所以點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為1， 因?yàn)辄c(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，所以當(dāng)y1時(shí)，x8， 所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,1)，42mx 8x BNAM BCAC BCAB 13 BCAC BNAM 因?yàn)橐淮魏瘮?shù)ykxb的圖象過點(diǎn)A(2,4)，B(8,1)，所以 解得所以一次函數(shù)的解析式為yx5.2kb4,8kb1,b5,k ,12 題型二待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式【例2】 (2011濟(jì)寧)如圖，正比例函數(shù)y x的圖象與反比例函數(shù)y (k0)在第一象限的圖象交于A點(diǎn)，過A點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為M，已知OAM的面積為1. (1)求反比例函數(shù)的解析式； (2)如果點(diǎn)B為反比例函數(shù)在第一象限 圖象上的點(diǎn)(點(diǎn)B與點(diǎn)A不重合)，且B 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，在x軸上求一點(diǎn)P， 使PAPB最小. 解：(1)設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，b)，則b ，abk. ab1， k1，k2. 反比例函數(shù)的解析式為y . (2)由 得 A為(2,1) B點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，B(1,2) 設(shè)A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1) 令直線BC的解析式為ymxn. B為(1,2)， BC的解析式為y3x5. 當(dāng)y0時(shí)，x . P點(diǎn)為( , 0)ka 12 12 2x y ，2x y x，12 x2,y1,mn2,2mn1,m3,n5.53 53 探究提高 反比例函數(shù)表達(dá)式中只有一個(gè)待定系數(shù)，由一對(duì)已知對(duì)應(yīng)值即可確定函數(shù)解析式，而一次函數(shù)中有兩個(gè)待定系數(shù)，要求出其系數(shù)，需要已知兩對(duì)對(duì)應(yīng)值知能遷移2已知：如圖，正比例函數(shù)yax的圖象與反比例函數(shù)y 的圖象交于點(diǎn)A(3,2). (1)試確定上述正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式； (2)根據(jù)圖象回答，在第一象限內(nèi)，當(dāng)x取何值時(shí)，反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值？ (3)M是反比例函數(shù)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，其中0m3，過點(diǎn)M作直線MBx軸，交y軸于點(diǎn)B；過點(diǎn)A 作直線ACy軸交x軸于點(diǎn)C，交直 線MB于點(diǎn)D.當(dāng)四邊形OADM的面 積為6時(shí)，請(qǐng)判斷線段BM與DM的 大小關(guān)系，并說明理由解：(1)直線yax過點(diǎn)A(3,2)， 23a，a ，y x. 又雙曲線y 過點(diǎn)A(3,2)， 2 ，k6，y . (2)當(dāng)0 x3時(shí)，反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值 (3)BMDM.理由如下： SOMBSOAC |k|3， S矩形OBDCS四邊形OADM2SOAC33612. 即OCOB12. OC3，OB4，即n4，m ， MB ，MD3 ，MBMD.23 23 kx k3 6x 12 6n 32 32 32 32 題型三實(shí)際背景下的反比例函數(shù)的圖象【例3】 為了預(yù)防流感，某學(xué)校在休息天用藥熏消毒法對(duì)教室進(jìn)行消毒已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí)間x(分鐘)成正比例；藥物釋放完畢后，y與x成反比例，如圖所示根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題： (1)寫出從藥物釋放開始，y與x 之間的兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式及相應(yīng) 的自變量取值范圍； (2)據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米 的含藥量降低到0.45毫克以下 時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)入教室，那么 從藥物釋放開始，至少需要經(jīng) 過多少小時(shí)后，學(xué)生才能進(jìn)入教室？解：(1)當(dāng)0 x12時(shí)，設(shè)y ， k2xy129108，y . (2)當(dāng)y0.45，得0.45 ，x 240(分鐘)4(小時(shí)) 答：至少需要經(jīng)過4小時(shí)后，學(xué)生才能進(jìn)入教室34 34 k2x 108x 108x 1080.45 探究提高 問題中兩個(gè)變量不是單一的一次函數(shù)或反比例函數(shù)關(guān)系，而是二者的復(fù)合，這類題在函數(shù)綜合應(yīng)用中很普遍，注意在實(shí)際問題中提煉出函數(shù)模型，往往要加自變量的取值范圍知能遷移3如圖，奧運(yùn)圣火抵達(dá)某市奧林匹克中心廣場(chǎng)后，沿圖中直角坐標(biāo)系中的一段反比例函數(shù)圖象傳遞動(dòng)點(diǎn)T(m,n)表示火炬位置，火炬從離北京路10 m處的M點(diǎn)開始傳遞，到離北京路1000 m的N點(diǎn)時(shí)傳遞活動(dòng)結(jié)束迎圣火臨時(shí)指揮部設(shè)在坐標(biāo)原點(diǎn)O(北京路與奧運(yùn)路的十字路口)，OATB為少先隊(duì)員鮮花方陣，方陣始終保持矩形形狀且面積恒為10000 m2(路線寬度均不計(jì)) (1)求圖中反比例函數(shù)的關(guān)系式(不需寫出自變量的取值范圍)； (2)當(dāng)鮮花方陣的周長(zhǎng)為500 m 時(shí)，確定此時(shí)火炬的位置(用 坐標(biāo)表示)；(3)設(shè)tmn，用含t的代數(shù)式表示火炬到指揮部的距離；當(dāng)火炬離指揮部最近時(shí)，確定此時(shí)火炬的位置(用坐標(biāo)表示)解：(1)矩形的面積為10000， mn10000，即k10000，y . (2)2(mn)500，mn250， 又mn10000， 解、組成的方程組，得 T點(diǎn)的坐標(biāo)為(200,50)或(50,200) (3)OT . t0時(shí)，OT有最小值mn0，mn. 又mn10000， T的坐標(biāo)為(100,100)10000 x m1200，n150，m250，n2200，m2n2 mn 22mn t220000 m100，n100，題型四反比例函數(shù)與幾何圖形的結(jié)合【例4】 (2011廣州)已知RtABC的斜邊AB在平面直角坐標(biāo)系的x軸上，點(diǎn)C(1,3)在反比例函數(shù)y 的圖象上，且sinBAC . (1)求k的值和邊AC的長(zhǎng)； (2)求點(diǎn)B的坐標(biāo) 解題示范規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！ 解：(1)把C(1,3)代入y 得k3. 2分 設(shè)斜邊AB上的高為CD，則 sinBAC . C(1,3)， CD3，AC5. 4分kx CDAC 35 (2)分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，如圖1，有：AD 4，AO413.ACDABC， ，AC2ADAB，AB ，OBABAO 3 .此時(shí)B點(diǎn)坐標(biāo)為( , 0) 7分5232 ACAB ADAC AC2AD 254 254 134 134 當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，如圖2，此時(shí)AO415，OBABAO 5 ，此時(shí)B點(diǎn)坐標(biāo)為( , 0) 10分綜上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為( , 0)或( , 0) 12分254 134 探究提高 充分利用圖中的幾何知識(shí)，如相似的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)等相關(guān)知識(shí)來(lái)解題，特別注意點(diǎn)B在點(diǎn)A的左邊或右邊兩種情況知能遷移4如圖，已知A(4,n)，B(2,4)是一次函數(shù)ykxb的圖象和反比例函數(shù)y 的圖象的兩個(gè)交點(diǎn) (1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式； (2)求直線AB與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)及AOB的面積； (3)求方程kxb 0的解(請(qǐng)直接寫出答案)； (4)求不等式kxb 0的解集(請(qǐng)直接寫出答案)解：(1)B(2,4)在函數(shù)y 的圖象上， m8. 反比例函數(shù)的解析式為y . 點(diǎn)A(4,n)在函數(shù)y 的圖象上， n2，A(4,2) 直線ykxb經(jīng)過點(diǎn)A(4,2)，B(2,4)， 解之，得 一次函數(shù)的解析式為：yx2.mx 8x 8x 4kb2,2kb4,k1,b2,(2)C是直線AB與x軸的交點(diǎn)， 當(dāng)y0時(shí)，x2. 點(diǎn)C(2,0)， OC2， SABOSACOSBCO 22 246.(3) x14，x22.(4)4x2.12 12 5易出錯(cuò)的雙比例系數(shù)函數(shù)解析式考題再現(xiàn)(2010蘭州)已知：yy1y2，y1與x2成正比例，y2與x成反比例，且x1時(shí)，y3；x1時(shí)，y1.求x 時(shí)，y的值學(xué)生作答 解：設(shè)y1kx2，y2 . yy1y2，ykx2 . 把x1，y3代入上式，得3kk， k . y x2 . 當(dāng)x 時(shí)，y ( )2 3 . 答：當(dāng)x 時(shí)，y的值是 .易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示規(guī)范解答解：設(shè)y1k1x2，y2 ， yy1y2. yk1x2 . 把x1，y3；x1，y1分別代入上式，得 解得 y2x2 . 當(dāng)x 時(shí)，y2( )2 2 .答：當(dāng)x 時(shí)，y的值是 .k2x k2x 3k1k2,1k1k2,k12,k21,1x 12 12 112 12 32 12 32 老師忠告 1錯(cuò)解錯(cuò)在設(shè)y1kx，y2 時(shí)取了相同的比例系數(shù)k，由于這是兩種不同的比例，其比例系數(shù)未必相同，應(yīng)分別設(shè)y1k1x，y2 ，用兩個(gè)不同字母k1、k2來(lái)表示兩個(gè)不同的比例系數(shù) 2在同一問題中，相同的字母只能表示同一個(gè)未知量?jī)蓚€(gè)或多個(gè)不同的未知量需要用兩個(gè)或多個(gè)不同的字母來(lái)表示，以免混淆，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤方法與技巧 牢固掌握本節(jié)知識(shí)點(diǎn)，樹立函數(shù)思想，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，注意與其他學(xué)科的結(jié)合 1. 注意反比例函數(shù)中“xyk”的幾何意義(圖象上任意一點(diǎn)作x軸、y軸所形成矩形面積)和實(shí)際意義 2. 比例系數(shù)k決定反比例函數(shù)y 圖象的分布情況(具體見前面的要點(diǎn)梳理)，要重視這些基礎(chǔ)知識(shí) 3. 關(guān)注與反比例函數(shù)有關(guān)的綜合題，掌握其基本方法，如求交點(diǎn)坐標(biāo)的方法等 4. 解一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合性問題時(shí)，要注意運(yùn)用“把問題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)，或者把圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系”的策略思想方法思想方法 感悟提高感悟提高失誤與防范 1反比例函數(shù)中，y隨x的大小而變化的情況，應(yīng)分x0與x0兩種情況討論，而不能籠統(tǒng)地說成“k0時(shí)，第一象限點(diǎn)的縱坐標(biāo)值為正，而第三象限點(diǎn)縱坐標(biāo)值都為負(fù)；當(dāng)k0時(shí)，第二象限上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)值都為正，第四象限上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)值都為負(fù) 2在比較大小時(shí)，不可以忽略了反比例函數(shù)的圖象是由兩條分支組成的(分別在不同的兩個(gè)象限)，在不同的象限是不能用它的性質(zhì)來(lái)判斷的，而是要分別討論運(yùn)用反比例函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，要注意在每一個(gè)象限內(nèi)的要求. 完成考點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練 13