高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第四篇 第7講 解三角形應(yīng)用舉例課件 理 湘教版

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1、第第7講解三角形應(yīng)用舉例講解三角形應(yīng)用舉例 【2014年高考會(huì)這樣考】 考查利用正、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題考點(diǎn)梳理考點(diǎn)梳理 測(cè)量距離問(wèn)題、高度問(wèn)題、角度問(wèn)題、航海問(wèn)題等 (1)仰角和俯角 在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線(xiàn)和目標(biāo)視線(xiàn)的夾角，目標(biāo)視線(xiàn)在水平視線(xiàn)_時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線(xiàn)在水平視線(xiàn)_時(shí)叫俯角(如圖(a)1用正弦定理和余弦定理解三角形的常見(jiàn)題型用正弦定理和余弦定理解三角形的常見(jiàn)題型2實(shí)際問(wèn)題中常見(jiàn)的角實(shí)際問(wèn)題中常見(jiàn)的角上方上方下方下方 (2)方位角 從某點(diǎn)的指北方向線(xiàn)起按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線(xiàn)之間的水平夾角叫做方位角如B點(diǎn)的方位角為(如圖(b) (3)方向角：正北

2、或正南方向線(xiàn)與目標(biāo)方向線(xiàn)所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)度 (4)坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù) 一個(gè)步驟 解三角形應(yīng)用題的一般步驟： (1)閱讀理解題意，弄清問(wèn)題的實(shí)際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系 (2)根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，將實(shí)際問(wèn)題抽象成解三角形問(wèn)題的模型 (3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解 (4)將三角形問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題，注意實(shí)際問(wèn)題中的有關(guān)單位問(wèn)題、近似計(jì)算的要求等【助學(xué)助學(xué)微博微博】 兩種情形 解三角形應(yīng)用題常有以下兩種情形： (1)實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解 (2)實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，

3、已知量與未知量涉及到兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解 A北偏東10 B北偏西10 C南偏東10 D南偏西10考點(diǎn)自測(cè)考點(diǎn)自測(cè)1兩座燈塔兩座燈塔A和和B與海岸觀(guān)察站與海岸觀(guān)察站C的距離相等，燈塔的距離相等，燈塔A在在觀(guān)察站北偏東觀(guān)察站北偏東40，燈塔，燈塔B在觀(guān)察站南偏東在觀(guān)察站南偏東60，則，則燈塔燈塔A在燈塔在燈塔B的的 ()解析解析燈塔燈塔A，B的相對(duì)位置如圖所的相對(duì)位置如圖所示，由已知得示，由已知得ACB80，CABCBA50，則，則605010，即北偏西，

4、即北偏西10.答案答案B2. 如圖，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A(yíng)的同側(cè)選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50 m，ACB45，CAB105，則A，B兩點(diǎn)的距離為 () 答案A3. 要測(cè)量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度，在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是45，在D點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是30，并測(cè)得水平面上的BCD120，CD40 m，則電視塔的高度為 () 答案D4一船向正北航行，看見(jiàn)正西方向相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線(xiàn)上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見(jiàn)一燈塔在船的南偏西60，另一燈塔在船的南偏西75，則這艘船的速度是每小時(shí) () 答案C5甲、乙兩樓相距20米，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0，從甲樓頂望

5、乙樓頂?shù)母┙菫?0，則甲、乙兩樓的高分別是_考向一考向一測(cè)量距離問(wèn)題測(cè)量距離問(wèn)題 審題視點(diǎn) 在BDC中求BC，然后在A(yíng)BC中求AB. 解在A(yíng)CD中， ADC30，ACD120， (1)利用示意圖把已知量和待求量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解三角形的模型(2)利用正、余弦定理解出所需要的邊和角，求得該數(shù)學(xué)模型的解【訓(xùn)練訓(xùn)練1】 如圖，為了測(cè)量河的寬如圖，為了測(cè)量河的寬度，在一岸邊選定兩點(diǎn)度，在一岸邊選定兩點(diǎn)A，B望對(duì)望對(duì)岸的標(biāo)記物岸的標(biāo)記物C，測(cè)得，測(cè)得CAB30，CBA75，AB120 m，則這條河的寬度為，則這條河的寬度為 答案答案60 m_【例2】 如圖，某人在塔的正東方向上的C處在

6、與塔垂直的水平面內(nèi)沿南偏西60的方向以每小時(shí)6千米的速度步行了1分鐘以后，在點(diǎn)D處望見(jiàn)塔的底端B在東北考向二考向二測(cè)量高度問(wèn)題測(cè)量高度問(wèn)題(1)求該人沿南偏西求該人沿南偏西60的方向走到仰角的方向走到仰角最大時(shí)，走最大時(shí)，走了幾分鐘；了幾分鐘；(2)求塔的高求塔的高AB.方向上，已知沿途塔的仰角方向上，已知沿途塔的仰角AEB，的最大值的最大值為為60. 審題視點(diǎn) (1)在DBC中用正弦定理求BC，在RtABE中，確定最大值的條件，再求EC. (2)在RtBEC中，求BE，再在RtABE中求AB. 解(1)依題意知，在DBC中，BCD30，DBC180DBF18045135， (1)在處理有關(guān)高

7、度問(wèn)題時(shí)，要理解仰角、俯角是一個(gè)關(guān)鍵 (2)在實(shí)際問(wèn)題中，可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問(wèn)題，這時(shí)最好畫(huà)兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來(lái)既清楚又不容易搞錯(cuò) 【訓(xùn)練2】 如圖所示，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D，現(xiàn)測(cè)得BCD，BDC，CDs，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為，求塔高AB. 審題視點(diǎn) 根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，分清已知和未知條件，將問(wèn)題集中到一個(gè)三角形中，利用正、余弦定理解決考向三考向三測(cè)量角度問(wèn)題測(cè)量角度問(wèn)題 故緝私船沿北偏東60方向，需14.7分鐘才能追上走私船 根據(jù)示意圖，把所求量放在有關(guān)三角形中，有根據(jù)示意圖，把所求量放在

8、有關(guān)三角形中，有時(shí)直接解此三角形解不出來(lái)，需要先在其他三角形中求解時(shí)直接解此三角形解不出來(lái)，需要先在其他三角形中求解相關(guān)量相關(guān)量 (1)求漁船甲的速度； (2)求sin 的值【訓(xùn)練訓(xùn)練3】 如圖，漁船甲位于島嶼如圖，漁船甲位于島嶼A的的南偏西南偏西60方向的方向的B處，且與島嶼處，且與島嶼A相距相距12海里，漁船乙以海里，漁船乙以10海里海里/時(shí)時(shí)的速度從島嶼的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時(shí)從行，若漁船甲同時(shí)從B處出發(fā)沿北處出發(fā)沿北偏東偏東的方向追趕漁船乙，剛好用的方向追趕漁船乙，剛好用2小時(shí)追上，此時(shí)到達(dá)小時(shí)追上，此時(shí)到達(dá)C處處 解(1)依題意知，BAC120，

9、AB12海里，AC10220(海里)，BCA，在A(yíng)BC中，由余弦定理，得 BC2AB2AC22ABACcosBAC 12220221220cos 120784. 解得BC28(海里)【命題研究】 通過(guò)近三年的高考試題分析，對(duì)用正、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題的考查有所減少預(yù)計(jì)在今后的高考中會(huì)有加大考查力度的趨勢(shì)，主要考查測(cè)量距離和高度問(wèn)題，屬于中檔題目方法優(yōu)化方法優(yōu)化5正、余弦定理在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用技巧正、余弦定理在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用技巧 教你審題 思路1 連接B1A2(復(fù)雜) 思路2 連接A1B2(簡(jiǎn)單) 反思 結(jié)合圖形分析，確定所給條件及所求的結(jié)論，選擇適當(dāng)?shù)娜切螘?huì)給解題帶來(lái)事半功倍的效果【試一試】 2012年8月2日，強(qiáng)臺(tái)風(fēng)“達(dá)維”在江蘇省鹽城市登陸，臺(tái)風(fēng)中心最大風(fēng)力達(dá)到10級(jí)以上，大風(fēng)、降雨給災(zāi)區(qū)帶來(lái)嚴(yán)重的災(zāi)害，不少大樹(shù)因大風(fēng)折斷某路邊一樹(shù)干被臺(tái)風(fēng)吹斷后，折成與地面成45角，樹(shù)干也傾斜為與地面成75角，樹(shù)干底部與樹(shù)尖著地處相距20米，則折斷點(diǎn)與樹(shù)干底部的距離是_米