遼寧省沈陽市高中數(shù)學《 坐標系與參數(shù)方程》課件 新人教B版選修44

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1、 地地位位與與作作用用 是是“平面解析幾何平面解析幾何初步初步”和和 “圓錐曲圓錐曲線與方程線與方程”的延續(xù)的延續(xù)與拓廣與拓廣地位與作用地位與作用是解析幾何與函數(shù)、是解析幾何與函數(shù)、三角函數(shù)、向三角函數(shù)、向 量量等內(nèi)容的綜合應(yīng)用等內(nèi)容的綜合應(yīng)用內(nèi)內(nèi)容容是高中數(shù)學課程選修系列是高中數(shù)學課程選修系列44的第四個專題，包括的第四個專題，包括“坐標系坐標系”和和“參數(shù)方程參數(shù)方程”兩部分內(nèi)容。兩部分內(nèi)容。內(nèi)容內(nèi)容第一講第一講 坐標系坐標系一、平面直角坐標系一、平面直角坐標系二、極坐標系二、極坐標系三、簡單曲線的極坐標方程三、簡單曲線的極坐標方程四、柱坐標系與球坐標系簡介四、柱坐標系與球坐標系簡介內(nèi)內(nèi)容

2、容第二講第二講 參數(shù)方程參數(shù)方程一、曲線的參數(shù)方程一、曲線的參數(shù)方程二、圓錐曲線的參數(shù)方程二、圓錐曲線的參數(shù)方程三、直線的參數(shù)方程三、直線的參數(shù)方程四、漸開線與擺線四、漸開線與擺線坐標系的作用坐標系的作用 坐標系是解析幾何的基礎(chǔ)，有了坐標系，使坐標系是解析幾何的基礎(chǔ)，有了坐標系，使幾何問題代數(shù)化成為可能，它是實現(xiàn)幾何圖幾何問題代數(shù)化成為可能，它是實現(xiàn)幾何圖形與代數(shù)形式互相轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)，使精確刻畫形與代數(shù)形式互相轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)，使精確刻畫幾何圖形的位置和物體運動的軌跡成為可能。幾何圖形的位置和物體運動的軌跡成為可能。坐標系的多樣性坐標系的多樣性在不同的坐標系中，同在不同的坐標系中，同一個幾何圖形可以有

3、不一個幾何圖形可以有不同的表現(xiàn)形式，這使解同的表現(xiàn)形式，這使解決問題的方法有了更多決問題的方法有了更多的選擇。的選擇。 平面直角坐標系平面直角坐標系 教材從一個思考題出發(fā)，復(fù)習了建立平面直教材從一個思考題出發(fā)，復(fù)習了建立平面直角坐標系解決實際問題的方法，并進一步提角坐標系解決實際問題的方法，并進一步提出思考出思考:這種方法與用直角坐標刻畫點這種方法與用直角坐標刻畫點P的位置的位置有什么區(qū)別和聯(lián)系有什么區(qū)別和聯(lián)系?你認為哪種方法更方便你認為哪種方法更方便?為引入極坐標系埋下了伏筆。為引入極坐標系埋下了伏筆。 伸縮變換的定義伸縮變換的定義 設(shè)點設(shè)點 是平面直角是平面直角坐標系中的任意一點，在變坐標

4、系中的任意一點，在變換換 的作用下，點的作用下，點 對應(yīng)到對應(yīng)到點點 ，稱，稱 為平面直為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換簡稱伸縮變換,P x y0,0,:yyxxyxP,yxP,極坐標系在平面內(nèi)取一個定點在平面內(nèi)取一個定點O，叫做極點；，叫做極點；自極點自極點O引一條射線引一條射線OX，叫做極，叫做極軸；再選定一個長度單位、一個角軸；再選定一個長度單位、一個角度單位（通常取弧度）及其正方向度單位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆時針方向），這樣就建（通常取逆時針方向），這樣就建立了一個極坐標系。立了一個極坐標系。極坐標設(shè)設(shè)M是平面內(nèi)一點，極點是平面內(nèi)一點

5、，極點O與與點點M的距離的距離 叫做點叫做點M的的極徑，記為極徑，記為 ；以極軸；以極軸OX為為始邊始邊,射線射線OM為終邊的角為終邊的角XOM叫做點叫做點M的極角，記的極角，記為為 ，有序數(shù)，有序數(shù) 對叫做對叫做點點M的極坐標，記做的極坐標，記做M 。一般地，不作特。一般地，不作特殊說明時，我們認為殊說明時，我們認為 ， 可取任意實數(shù)。可取任意實數(shù)。 OM, , 0極坐標建立極坐標系后，給定建立極坐標系后，給定 和和 ，就可以在平面內(nèi)，就可以在平面內(nèi)惟一確定點惟一確定點M，反過來，反過來，平面內(nèi)任意一點，也可以平面內(nèi)任意一點，也可以找到它的極坐標找到它的極坐標 。請注意：這里沒有強調(diào)一請注意

6、：這里沒有強調(diào)一一對應(yīng)！一對應(yīng)！, 不惟一性不惟一性一般地，極坐標一般地，極坐標 與與 表示同一個點。特別地，極點表示同一個點。特別地，極點O的的坐標為坐標為 和直角坐標不同，和直角坐標不同，平面內(nèi)一個點的極坐標平面內(nèi)一個點的極坐標 有無數(shù)種有無數(shù)種表示表示, ,2kkZ 0,R“惟一性惟一性”如果規(guī)定如果規(guī)定 ， 那么除極點外，平面內(nèi)的那么除極點外，平面內(nèi)的點可用惟一的極坐標點可用惟一的極坐標 表示；同時，極坐標表示；同時，極坐標 表示的點也是惟一確定的表示的點也是惟一確定的002, , 極坐標和直角坐標的互化設(shè)設(shè)M是平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標是 ，極坐標 是 ，可以得到它們之間的關(guān)系：c

7、ossinxy , x y, 222tan0 xyyxx曲線的極坐標方程曲線的極坐標方程一般地，在極坐標系中，如果平面曲一般地，在極坐標系中，如果平面曲線線C上任意一點的極坐標中至少有一個上任意一點的極坐標中至少有一個滿足方程滿足方程 ，并且坐標適合，并且坐標適合方程方程 的點都在曲線的點都在曲線C上，那上，那么方程么方程 叫做曲線叫做曲線C的極坐標方程。的極坐標方程。 ,0f ,0f ,0f 圓圓的的極極坐坐標標方方程程圓心在極點的圓的極坐標方圓心在極點的圓的極坐標方程為程為圓心不在極點，但經(jīng)過極點圓心不在極點，但經(jīng)過極點的圓的極坐標方程是的圓的極坐標方程是 其中其中 是非零數(shù)，是非零數(shù)，

8、是常數(shù)是常數(shù)rsinaa直線的極坐標方程直線的極坐標方程 cossin0abc, ,a b c其為其為 常數(shù)常數(shù))sin()sin(00重點重點 過極點的直線過極點的直線柱坐標系的概念之間的一種對應(yīng)關(guān)系。了空間的點與有序數(shù)組表示。這樣，我們建立的位置可用有序數(shù)組標，這時點上的極坐在平面表示點用平面上的射影為任意一點，它在是空間設(shè)坐標系一般地，建立空間直角),()(,()20 , 0(),(,zRzzPOxyQQOxyPOxyzzzPPz，其中的柱坐標，記作叫做序數(shù)組有坐標系叫做柱坐標系，把建立上述對應(yīng)關(guān)系的200),(),(柱坐標系yxxozQ),(zP柱坐標與直角坐標的互化zzyxzzyxP

9、sincos),(),(之間的變換公式為與柱坐標的直角坐標空間點球球坐坐標標系系的的概概念念系，之間建立了一種對應(yīng)關(guān)有序數(shù)組表示，這樣，空間點與數(shù)組點的位置就可以用有序，這樣正角為時所轉(zhuǎn)過的最小軸按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到，平面上的射影為在，設(shè)向所夾的角為軸正與，記任意一點，連接是空間設(shè)坐標系一般地，建立空間直角),(),(,rrPOQOxQOxyPOzOPrOPOPPOxyz球球坐坐標標系系20 ,0 , 0),(),(rrPPr其中記作的球坐標，叫做點極坐標系），有序數(shù)組間系叫做球坐標系（或空把上述對應(yīng)關(guān)系的坐標球坐標系球坐標系),(rP球坐標與直角坐標的互化cossinsincossin),()

10、,(rzryrxrzyxP之間的變換公式為與柱坐標的直角坐標空間點曲曲線線的的參參數(shù)數(shù)方方程程 參數(shù)方程是曲線的另一種表現(xiàn)形式，參數(shù)方程是曲線的另一種表現(xiàn)形式， 它彌補了普通方程表示曲線的不足，它彌補了普通方程表示曲線的不足， 極坐標與參數(shù)方程為研究較為復(fù)雜的曲線提供極坐標與參數(shù)方程為研究較為復(fù)雜的曲線提供了工具。了工具。參數(shù)方程的概念一般地，在平面直角坐標系中，一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標如果曲線上任意一點的坐標 都是某個變數(shù)都是某個變數(shù)t的函數(shù)的函數(shù) ， , x y并且對于并且對于t的每一個允許值，的每一個允許值，由方程組所確定的點都在這由方程組所確定的點都在這條曲

11、線上，那么方程就叫這條曲線上，那么方程就叫這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)數(shù)x,y 的變數(shù)的變數(shù)t叫做參數(shù)，相對叫做參數(shù)，相對于參數(shù)方程而言，直接給出于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標間關(guān)系的方程叫做點的坐標間關(guān)系的方程叫做普通方程普通方程參數(shù)方程和普通方程的互參數(shù)方程和普通方程的互化化可以通過消去參數(shù)而從參可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程。數(shù)方程得到普通方程。如果知道變數(shù)如果知道變數(shù)x,y 中的一個中的一個與參數(shù)與參數(shù)t的關(guān)系，把它代入的關(guān)系，把它代入普通方程，求出另一個變普通方程，求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系，那么就數(shù)與參數(shù)的關(guān)系，那么就得到曲線的參數(shù)方程得到曲線的

12、參數(shù)方程參數(shù)方程的應(yīng)用求常用曲線的參數(shù)方程求常用曲線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程圓錐曲線的參數(shù)方程圓錐曲線的參數(shù)方程漸開線與擺線漸開線與擺線圓錐曲線的參數(shù)方程圓錐曲線的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程雙曲線的參數(shù)方程雙曲線的參數(shù)方程拋物線的參數(shù)方程拋物線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程經(jīng)過點經(jīng)過點 ，傾斜，傾斜角為角為 的直線的參數(shù)方的直線的參數(shù)方程是程是 00c o ss i nxxtyyt00,Mxy參數(shù)方程曲線欣賞擺線擺線漸開線漸開線漸開線漸開線將一個圓軸固定在一個將一個圓軸固定在一個平面上，軸上纏線，拉平面上，軸上纏線，拉緊一個線頭，讓該線繞緊一個線頭，讓該線繞圓軸

13、運動且始終與圓軸圓軸運動且始終與圓軸相切，那么線上一個定相切，那么線上一個定點在該平面上的軌跡就點在該平面上的軌跡就是漸開線。是漸開線。 漸開線漸開線直線在圓上純滾動時，直線直線在圓上純滾動時，直線上一點上一點K的軌跡稱為該圓的的軌跡稱為該圓的漸開線，該圓稱為漸開線的漸開線，該圓稱為漸開線的基圓，直線稱為漸開線的發(fā)基圓，直線稱為漸開線的發(fā)生線。生線。 漸開線的形狀僅取決漸開線的形狀僅取決于基圓的大小，基圓越小，于基圓的大小，基圓越小，漸開線越彎曲；基圓越大，漸開線越彎曲；基圓越大，漸開線越平直；基圓為無窮漸開線越平直；基圓為無窮大時，漸開線為斜直線大時，漸開線為斜直線。 漸漸開開線線方方程程漸

14、開線方程為：漸開線方程為：x=rcos+rsiny=rsin-rcos式中，式中，r為基圓半徑；為基圓半徑；為為展角，其單位為弧度展角，其單位為弧度 漸漸開開線線畫畫法法 擺線擺線是研究一個動圓在一條曲線（基擺線是研究一個動圓在一條曲線（基線）上滾動時，動圓上一點的軌跡。線）上滾動時，動圓上一點的軌跡。當基線是直線時，就得到平擺線或變當基線是直線時，就得到平擺線或變幅平擺線。幅平擺線。當基線是圓且動圓在定圓內(nèi)滾動時，當基線是圓且動圓在定圓內(nèi)滾動時，就得到內(nèi)擺線或變幅內(nèi)擺線。就得到內(nèi)擺線或變幅內(nèi)擺線。當基線是圓且動圓在定圓外滾動時，當基線是圓且動圓在定圓外滾動時，若兩圓外切，就得到外擺線或變幅外若兩圓外切，就得到外擺線或變幅外擺線擺線擺線當一個圓沿著一條定直線無滑動地當一個圓沿著一條定直線無滑動地滾動時，圓周上一個定點滾動時，圓周上一個定點P的軌跡的軌跡叫做叫做，又叫，又叫。OABP