高三數學總復習 （回顧+突破+鞏固+提升作業(yè)） 第一節(jié) 坐標系課件 文

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1、選修4-4 坐標系與參數方程第一節(jié) 坐標系1.1.平面直角坐標軸中的伸縮變換平面直角坐標軸中的伸縮變換在平面直角坐標系中進行伸縮變換，即改變在平面直角坐標系中進行伸縮變換，即改變_或或_的單位的單位長度，將會對圖形產生影響長度，將會對圖形產生影響. .x x軸軸y y軸軸2.2.極坐標系的概念極坐標系的概念（1 1）極坐標系）極坐標系如圖所示，在平面內取一個如圖所示，在平面內取一個_O_O，叫作，叫作極點，從極點，從O O點引一條點引一條_Ox_Ox，叫作極軸，叫作極軸，選定一個選定一個_和和_的正方向（通常的正方向（通常取取_方向），這樣就確定了一個平面極坐標系，簡稱為方向），這樣就確定了一

2、個平面極坐標系，簡稱為極坐標系極坐標系. .定點定點射線射線單位長度單位長度角角逆時針逆時針（2 2）極坐標）極坐標對于平面內任意一點對于平面內任意一點M M，用，用表示表示_，表示以表示以OxOx為為始邊、始邊、OMOM為終邊的為終邊的_，叫作點叫作點M M的極徑，的極徑，叫作點叫作點M M的極的極角，有序實數對角，有序實數對_叫作點叫作點M M的極坐標，記作的極坐標，記作_._.當點當點M M在極點時，它的極徑在極點時，它的極徑=_=_，極角，極角可以取可以取_._.線段線段OMOM的長的長角度角度（,）M(,M(,) )0 0任意值任意值（3 3）極坐標與直角坐標的互化）極坐標與直角坐標

3、的互化設點設點P P的直角坐標為的直角坐標為(x,y(x,y) )，它的極坐標為（，它的極坐標為（,），），互化的前提條件互化的前提條件互化公式互化公式 _與原點重合；與原點重合；_與與x x軸非負半軸重合；軸非負半軸重合；取相同的單位長度取相同的單位長度. . 222xcos ,ysin ,xy ,ytan(x0).x 極點極點極軸極軸3.3.直線的極坐標方程直線的極坐標方程(1)(1)特殊位置的直線的極坐標方程特殊位置的直線的極坐標方程直線直線極坐標方程極坐標方程圖形圖形過極點，過極點，傾斜角傾斜角為為 =_(R=_(R) )或或=_ (R=_ (R) )( (= =_和和= =_( (0

4、)0) 過點過點(a,0),(a,0),與與極軸垂直極軸垂直 _=a_=a+coscos ()22 (2)(2)一般位置的直線的極坐標方程：若直線一般位置的直線的極坐標方程：若直線l經過點經過點M M(0 0，0 0) )，且極軸到此直線的角為，且極軸到此直線的角為 ，直線，直線l的極坐標方程的極坐標方程為：為：sin(-sin(-) =_.) =_. 直線直線極坐標方程極坐標方程圖形圖形過點過點 與極軸平與極軸平行行 _=a_=a(0(0) ) (a,),2sinsin 0 0sin(-sin(-0 0) )4.4.半徑為半徑為r r的圓的極坐標方程的圓的極坐標方程（1 1）特殊位置的圓的極

5、坐標方程）特殊位置的圓的極坐標方程 圓心圓心極坐標方程極坐標方程圖形圖形（0 0，0 0）=_=_(0(02 2) ) (r,0)(r,0)= _= _r r2rcos 2rcos ()22 圓心圓心極坐標方程極坐標方程圖形圖形=2rsin =2rsin (0(0) ) (r,)(r,)=-2rcos =-2rcos =-2rsin =-2rsin ( (2 2) )(r,)23 (r,)23()22 （2 2）一般位置的圓的極坐標方程：若圓心為）一般位置的圓的極坐標方程：若圓心為M(M(0 0,0 0) )，半，半徑為徑為r r，則圓的極坐標方程是，則圓的極坐標方程是2 2-2-20 0co

6、s(-cos(-0 0)+ -)+ -r r2 2=0.=0.20判斷下面結論是否正確（請在括號中打判斷下面結論是否正確（請在括號中打“”或或“”）. .(1)(1)在極坐標系中，點在極坐標系中，點M M的坐標是唯一的的坐標是唯一的.( ).( )（2 2）極坐標系所在平面內的點與極坐標是一一對應的關）極坐標系所在平面內的點與極坐標是一一對應的關系系.( ).( )（3 3）三角函數是聯系極坐標與直角坐標的紐帶）三角函數是聯系極坐標與直角坐標的紐帶.( ).( )（4 4）橢圓伸縮后仍是橢圓）橢圓伸縮后仍是橢圓.( ).( )【解析【解析】（1 1）錯誤）錯誤. .極坐標系中的點，當極坐標系中

7、的點，當0 0，22）時，）時，除極點外，除極點外，M M的極坐標是唯一的，當的極坐標是唯一的，當RR時，時，M M的極坐標不唯的極坐標不唯一一. .（2 2）錯誤）錯誤. .建立極坐標系后，給定（建立極坐標系后，給定（，），就可以在平面），就可以在平面內唯一確定一點內唯一確定一點M M；反過來，給定平面內一點；反過來，給定平面內一點M M，它的極坐標，它的極坐標（，）（）（RR）卻不是唯一的，所以二者不能建立一一）卻不是唯一的，所以二者不能建立一一對應關系對應關系. .（3 3）正確）正確. .由轉化公式，根據任意角的三角函數的定義及其基由轉化公式，根據任意角的三角函數的定義及其基本關系式，

8、誘導公式，可以把二者聯系起來本關系式，誘導公式，可以把二者聯系起來. .（4 4）錯誤）錯誤. .變換系數變換系數與與的值，伸縮后有可能為圓的值，伸縮后有可能為圓. .答案：答案：（1 1） （2 2） （3 3） （4 4）考向考向 1 1 直角坐標系中的伸縮變換直角坐標系中的伸縮變換【典例【典例1 1】在下列平面直角坐標系中在下列平面直角坐標系中, ,分別作出橢圓分別作出橢圓的圖形的圖形. .(1)x(1)x軸與軸與y y軸具有相同的單位長度軸具有相同的單位長度. .(2)x(2)x軸上的單位長度為軸上的單位長度為y y軸上單位長度的軸上單位長度的2 2倍倍. .(3)x(3)x軸上的單位

9、長度為軸上的單位長度為y y軸上單位長度的軸上單位長度的【思路點撥【思路點撥】(1)(1)常規(guī)描點法畫橢圓常規(guī)描點法畫橢圓. .（2 2）改變）改變y y軸上的單位長度軸上的單位長度. .（3 3）改變）改變x x軸上的單位長度軸上的單位長度. .22xy1941.2【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)建立平面直角坐標系，使建立平面直角坐標系，使x x軸與軸與y y軸具有相同軸具有相同的單位長度的單位長度, , 的圖形如下的圖形如下: :22xy194（2 2）如果）如果x x軸上的單位長度保持不變，軸上的單位長度保持不變，y y軸上的單位長度縮小軸上的單位長度縮小為原來的為原來的 的圖形如圖：

10、的圖形如圖：1.222xy194（3 3）如果）如果y y軸上的單位長度保持不變，軸上的單位長度保持不變，x x軸上的單位長度縮小軸上的單位長度縮小為原來的為原來的 的圖形如下的圖形如下: :1.222xy194【拓展提升【拓展提升】1.1.圖形的伸縮與坐標軸單位調整的關系圖形的伸縮與坐標軸單位調整的關系設變換前后的坐標系分別為設變換前后的坐標系分別為xOyxOy與與xOyxOy.（1 1）若）若xx軸的單位長度為軸的單位長度為x x軸的單位長度的軸的單位長度的a a倍，則倍，則x=ax(ax=ax(a0)0)，此時若，此時若a1a1，則圖形左右伸長，若，則圖形左右伸長，若0a10a0),0)

11、,此時若此時若b1,b1,則圖形上下伸長，若則圖形上下伸長，若0b10b1，則圖形，則圖形上下壓縮上下壓縮. .特別地，若特別地，若a=b=1a=b=1，則認為圖形沒有變化，則認為圖形沒有變化. .2.2.圖形的伸縮變換的應用圖形的伸縮變換的應用應用圖形的伸縮變換時，可以將圖形特殊化，即將不規(guī)則的圖應用圖形的伸縮變換時，可以將圖形特殊化，即將不規(guī)則的圖形調整為規(guī)則的圖形，以方便解題形調整為規(guī)則的圖形，以方便解題. .【變式訓練【變式訓練】在下列平面直角坐標系中，分別作出雙曲線在下列平面直角坐標系中，分別作出雙曲線 的圖形的圖形. .(1)x(1)x軸與軸與y y軸具有相同的單位長度軸具有相同的

12、單位長度. .(2)x(2)x軸上的單位長度為軸上的單位長度為y y軸上單位長度的軸上單位長度的3 3倍倍. .(3)x(3)x軸上的單位長度為軸上的單位長度為y y軸上單位長度的軸上單位長度的22xy1941.3【解析【解析】(1)(1)建立平面直角坐標系，使建立平面直角坐標系，使x x軸與軸與y y軸具有相同的單軸具有相同的單位長度位長度: : 圖形如下圖形如下: :22xy194(2)(2)如果如果x x軸上的單位長度保持不變，軸上的單位長度保持不變，y y軸上的單位長度縮小為軸上的單位長度縮小為原來的原來的 如圖：如圖：1,3（3 3）如果）如果y y軸上的單位長度保持不變，軸上的單位

13、長度保持不變，x x軸上的單位長度縮小軸上的單位長度縮小為原來的為原來的 如圖：如圖：1,3考向考向 2 2 點的極坐標與直角坐標的轉化點的極坐標與直角坐標的轉化【典例【典例2 2】（1 1）已知點）已知點M M的極坐標為的極坐標為 求點求點M M的直角坐標的直角坐標. .（2 2）若）若0,0,0 0，22），求直角坐標為），求直角坐標為 的點的點M M的極坐標的極坐標. . 【思路點撥【思路點撥】（1 1）由公式）由公式 計算點的直角坐標計算點的直角坐標. .（2 2）由公式）由公式 求解求解. .52,6（），13（，）xcos ysin ，222xyytan (x0)x ，【規(guī)范解答【

14、規(guī)范解答】（1 1）由公式）由公式 得得（2 2）由公式）由公式 得得點點 在第四象限在第四象限, ,且且0 0，22） ，xcos ysin ，55x2cos3y2sin166M3,1 . ，點的直角坐標為222xyytan (x0)x ，2222xy132, ytan 3,x 13（，）55.M2,.33 點的極坐標為()【拓展提升【拓展提升】直角坐標化為極坐標的不唯一性直角坐標化為極坐標的不唯一性（1 1）根據終邊相同的角的意義，角）根據終邊相同的角的意義，角的表示方法具有周期性，的表示方法具有周期性，故點故點M M的極坐標（的極坐標（，）的形式不唯一，即一個點的極坐標）的形式不唯一，即

15、一個點的極坐標有多種表達形式有多種表達形式. .當限定當限定0 0，0,2)0,2)時，除極點外，點時，除極點外，點M M的極坐標是唯的極坐標是唯一的一的. .極點極點O O的極坐標為（的極坐標為（0 0，），），為任意值，但一般取為任意值，但一般取=0=0，即，即極點的極坐標為（極點的極坐標為（0 0，0 0）. .（2 2）把點的直角坐標化為極坐標時，求極角）把點的直角坐標化為極坐標時，求極角應注意判斷點應注意判斷點P P所在的象限（即角所在的象限（即角的終邊的位置），以便正確地求出角的終邊的位置），以便正確地求出角.【提醒【提醒】若沒有特別要求，求出若沒有特別要求，求出0,2)0,2)內

16、的角即可內的角即可. .【變式訓練【變式訓練】若曲線的極坐標方程為若曲線的極坐標方程為=2sin +4cos =2sin +4cos ，以，以極點為原點，極軸為極點為原點，極軸為x x軸正半軸建立直角坐標系，則該曲線的軸正半軸建立直角坐標系，則該曲線的直角坐標方程為直角坐標方程為_._.【解析【解析】曲線的極坐標方程為曲線的極坐標方程為=2sin +4cos ,=2sin +4cos ,即即2 2=2sin +4cos ,=2sin +4cos ,即即x x2 2+y+y2 2=2y+4x,=2y+4x,整理為整理為(x-2)(x-2)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=5.=5.答案：答案

17、：(x-2)(x-2)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=5=5考向考向 3 3 求曲線的極坐標方程求曲線的極坐標方程【典例【典例3 3】(1)(1)（20122012上海高考改編）上海高考改編）如圖，在極坐標系中，過點如圖，在極坐標系中，過點M(2,0)M(2,0)的的直線直線l與極軸的夾角與極軸的夾角 若將若將l的的極坐標方程寫成極坐標方程寫成=f(=f() )的形式，求的形式，求f(f().).(2)(2)（20122012江蘇高考）在極坐標系中，已知圓江蘇高考）在極坐標系中，已知圓C C經過點經過點圓心為直線圓心為直線 與極軸的交點，求圓與極軸的交點，求圓C C的極坐標方的極坐標方程

18、程. .6 ，P( 2,)4，3sin()32 【思路點撥【思路點撥】（1 1）先求直線的直角坐標方程，再化為極坐標）先求直線的直角坐標方程，再化為極坐標方程，也可以利用正弦定理直接求直線的極坐標方程方程，也可以利用正弦定理直接求直線的極坐標方程. .（2 2）先求出圓的直角坐標方程，再化為極坐標方程，也可以）先求出圓的直角坐標方程，再化為極坐標方程，也可以直接根據圓的半徑與位置求圓的極坐標方程直接根據圓的半徑與位置求圓的極坐標方程. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】（1 1）方法一）方法一: :在平面直角坐標系中，直線的傾斜在平面直角坐標系中，直線的傾斜角為角為 故直線的斜率為故直線的斜率為 直線又

19、過點（直線又過點（2,02,0），所），所以直線的方程為以直線的方程為由公式由公式 得得6，1ktan63，1yx23，xcos ,ysin ，1sin cos 23 ， cos 3sin 21sin()1f.6sin()6 即 ，化簡，得，即為所求方法二方法二: :設直線上的任一點的極坐標為設直線上的任一點的極坐標為P(,P(,),),因為因為 所以所以根據正弦定理得根據正弦定理得6 ，OPM,6OPOM,sin OMPsin OPM 2sin()sin()662sin16.sin()sin()661f.sin()6 即，即（2 2）方法一）方法一: :點點 化為直角坐標為化為直角坐標為P(

20、1,1)P(1,1)，直線，直線 的直角坐標方程為的直角坐標方程為 與與x x軸（極軸）軸（極軸）的交點坐標為的交點坐標為C C（1,01,0），），圓圓C C的半徑為的半徑為PC=1,PC=1,圓圓C C的直角坐標方程為的直角坐標方程為(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=1=1，即，即x x2 2+y+y2 2=2x=2x，化為極坐標方程為，化為極坐標方程為=2cos .=2cos .P( 2,)43sin()32 y3x3，方法二方法二:圓心為直線圓心為直線 與極軸的交點，令與極軸的交點，令=0=0，得，得=1.=1.圓圓C C的圓心坐標為（的圓心坐標為（1 1，0 0）. .圓圓C

21、 C經過點經過點圓圓C C的半徑為的半徑為圓圓C C經過極點經過極點, ,所以圓所以圓C C的極坐標方程為的極坐標方程為=2cos .=2cos .3sin()32 P( 2,)4，22PC212 12cos1.4 【拓展提升【拓展提升】求曲線方程的方法步驟求曲線方程的方法步驟（1 1）求曲線方程，首先要根據條件建立適當的平面直角坐標）求曲線方程，首先要根據條件建立適當的平面直角坐標系（或極坐標系）系（或極坐標系）. .（2 2）設出曲線上任意一點的坐標為）設出曲線上任意一點的坐標為M M（x,yx,y），找出此動點滿），找出此動點滿足的幾何條件，最后通過代數變換化簡方程即可足的幾何條件，最后

22、通過代數變換化簡方程即可. .【提醒【提醒】在平面直角坐標系中，求曲線的軌跡方程的方法有直在平面直角坐標系中，求曲線的軌跡方程的方法有直譯法、定義法、相關點法譯法、定義法、相關點法. .在極坐標系中，求曲線的極坐標方在極坐標系中，求曲線的極坐標方程以上幾種方法仍然是適用的程以上幾種方法仍然是適用的. .【變式訓練【變式訓練】求以求以C C（4 4，0 0）為圓心，半徑等于）為圓心，半徑等于4 4的圓的極坐標的圓的極坐標方程方程. .【解析【解析】如圖，由題設可知，如圖，由題設可知，這個圓經過極點，圓心在極軸上，這個圓經過極點，圓心在極軸上，設圓與極軸的另一個交點是設圓與極軸的另一個交點是A,A

23、,在圓上任取一點在圓上任取一點P(,P(,),),連接連接OP,PAOP,PA在在RtRtOPAOPA中中,|OA|=8,|OP|=,AOP,|OA|=8,|OP|=,AOP=,=,|OA|OA|coscos = =，即，即8cos =8cos =，即即=8cos =8cos 為圓為圓C C的極坐標方程的極坐標方程. .考向考向 4 4 極坐標方程的綜合問題極坐標方程的綜合問題【典例【典例4 4】（1 1）（）（20122012安徽高考）在極坐標系中，求圓安徽高考）在極坐標系中，求圓=4sin =4sin 的圓心到直線的圓心到直線 (R)(R)的距離的距離. .（2 2）從極點）從極點O O作

24、射線，交直線作射線，交直線coscos =3 =3于點于點M M，P P為射線為射線OMOM上上的點，且的點，且|OM|OP|=12|OM|OP|=12，若有且只有一個點，若有且只有一個點P P在直線在直線sinsin -cos-cos =m =m上，求實數上，求實數m m的值的值. .【思路點撥【思路點撥】（1 1）化極坐標方程為直角坐標方程，計算點到直）化極坐標方程為直角坐標方程，計算點到直線的距離線的距離. .（2 2）化極坐標方程為直角坐標方程，利用直線與曲）化極坐標方程為直角坐標方程，利用直線與曲線的位置關系解決線的位置關系解決. .6 【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)圓的極坐標方

25、程圓的極坐標方程=4sin =4sin 化為直角坐標方化為直角坐標方程為程為x x2 2+(y-2)+(y-2)2 2=4=4，圓心為（，圓心為（0,20,2）. .直線直線 (R)(R)的直角坐標方程為的直角坐標方程為 所以圓心到直所以圓心到直線的距離是線的距離是（2 2）設點）設點P(,P(,),),則由則由|OM|OM|OP|=12|OP|=12，得，得 所以所以 即即=4cos (0)=4cos (0)，6 x3y0 ，02 3d3.212M(, ),12cos 3 ，化為直角坐標方程為化為直角坐標方程為(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=4(x0)=4(x0)，化，化sinsi

26、n - -coscos =m =m為直角坐標方程為為直角坐標方程為y-x-my-x-m=0=0，因為有且只有一個點，因為有且只有一個點P P在直線上，所以在直線上，所以y-x-my-x-m=0=0和和(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=4(x0)=4(x0)相切，相切，即即或過原點，即或過原點，即m=0.m=0.綜上所述，綜上所述，m22 2 ，m22 2m0. 或【拓展提升【拓展提升】直線與圓的位置關系直線與圓的位置關系設圓的半徑為設圓的半徑為r,r,圓心到直線的距離為圓心到直線的距離為d,d,則則直線與圓的直線與圓的位置關系位置關系 公共點公共點的個數的個數 d d與與r r的關系的

27、關系 圖形圖形 相交相交兩個兩個d dr r相切相切一個一個d=rd=r相離相離無無d dr r 【變式訓練【變式訓練】(2013(2013唐山模擬唐山模擬) )在極坐標系中，曲線在極坐標系中，曲線C C1 1的方程的方程為為 曲線曲線C C2 2的方程為的方程為 以極點為原點，以極點為原點，極軸方向為極軸方向為x x軸正方向建立直角坐標系軸正方向建立直角坐標系xOyxOy. .(1)(1)求曲線求曲線C C1 1,C,C2 2的直角坐標方程的直角坐標方程. .(2)(2)設設A,BA,B分別為分別為C C1 1,C,C2 2上的動點，求上的動點，求|AB|AB|的最小值的最小值. .2sin

28、()3 ，sin()43 ，【解析【解析】（1 1）曲線）曲線C C1 1的極坐標方程化為的極坐標方程化為兩邊同乘以兩邊同乘以，得，得則曲線則曲線C C1 1的直角坐標方程為的直角坐標方程為即即曲線曲線C C2 2的極坐標方程化為的極坐標方程化為則曲線則曲線C C2 2的直角坐標方程為的直角坐標方程為即即sin 3cos ，2sin 3 cos ，22xyy3x ，22xy3xy0. 13sin cos 422 ，13yx422 ，3xy8 0. （2 2）將曲線）將曲線C C1 1的直角坐標方程化為的直角坐標方程化為它表示以它表示以 為圓心，半徑為圓心，半徑r=1r=1的圓的圓. .該圓圓心到曲線該圓圓心到曲線C C2 2，即直線，即直線 的距離的距離所以直線與圓相離，故所以直線與圓相離，故|AB|AB|的最小值為的最小值為d dr=3r=31=2.1=2.2231(x)y122( )，31( )22，3xy8 0 313822d32 ，