福建省南平市光澤二中高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章第四節(jié) 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)課件 文 新人教A版

第四節(jié)第四節(jié):指數(shù)與指數(shù)函數(shù)一、根式一、根式1根式的概念根式的概念符號(hào)表示備注如果xna，那么x叫做a的n次方根n1，且nN*當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè) 零的n次方根是零當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為 負(fù)數(shù)沒有偶次方根2.根式的性質(zhì)負(fù)數(shù)相反數(shù)二、有理數(shù)指數(shù)冪二、有理數(shù)指數(shù)冪1冪的有關(guān)概念(1)正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪： (a0，m，nN*，且n1)；(2)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪： (a0，m，nN*，且n1)；(3)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無(wú)意義2有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) (1)arasars_(a0，r，sQ)；(2)(ar)sars(a0，r，sQ)；(3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ) 三、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)三、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)yaxa10a0時(shí)，y1；當(dāng)x0時(shí)，0y0時(shí)，0y1；當(dāng)x1定點(diǎn)(0,1)1( )n與 這兩個(gè)式子雖然非常接近，但它們的意義不同，注意區(qū)別2指數(shù)函數(shù)f(x)ax(a0且a1)，且有性質(zhì)：f(xy)f(x)f(y)，f(1)a0，因此滿足該性質(zhì)的函數(shù)原型就是指數(shù)函數(shù)，在解決有關(guān)抽象函數(shù)問(wèn)題時(shí)，可以借助原型求解3指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)，在此基礎(chǔ)上，可以推出與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)，例如函數(shù)y3x25所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)為(2,6)4指數(shù)函數(shù)定義是一個(gè)形式定義，如y2ax就不是指數(shù)函數(shù)5函數(shù)y|ax|(a0且a1)實(shí)質(zhì)上和函數(shù)yax(a0，且a1)是同一個(gè)函數(shù)，而函數(shù)ya|x|(a0，且a1)則不同于函數(shù)yax(a0，且a1)，它是一個(gè)偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱6口訣“同大異小”可用來(lái)比較ax與1的大小1(教材改編題)下列各式正確的是()A301B 3C(3m)29m D(2)1答案：答案：C2化簡(jiǎn) (x0，y0，且a1)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，y都有()Af(xy)f(x)f(y) Bf(xy)f(x)f(y)Cf(xy)f(x)f(y) Df(xy)f(x)f(y)解析：解析：f(xy)axyaxayf(x)f(y)答案：答案：C4已知a30.2，b(0.2)3，c30.2，則a，b，c的大小關(guān)系是_解析解析：由函數(shù)y3x的單調(diào)性知30.230.23，所以bac.答案：答案：bac5函數(shù)f(x)ax2 0112 011(a0，且a1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)_解析：解析：由于yax(a0，且a1)恒過(guò)定點(diǎn)(0,1)，令x2 0110，得x2 011，f(2 011)a02 0112 012.故f(x)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)(2 011,2 012)答案：答案：(2 011,2 012)指數(shù)冪的求值與化簡(jiǎn)指數(shù)冪的求值與化簡(jiǎn)【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】指數(shù)冪或根式的化簡(jiǎn)與求值的一般思路：負(fù)指數(shù)化為正指數(shù)；根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪；小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，再根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算.【變式探究變式探究】 1.化簡(jiǎn)下列各式（其中各字母均為正數(shù)）：方法技巧：方法技巧：1.若題目中的式子既有根式又有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，通常先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.2.結(jié)果要求：（1）若題目以根式形式給出，則結(jié)果用根式表示.（2）若題目以分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式給出，則結(jié)果用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示（3）結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又有負(fù)指數(shù)冪. 3.注意運(yùn)算的先后順序.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) (1)作出函數(shù)的圖象；（2）由圖象指出其單調(diào)區(qū)間；（3）由圖象指出，當(dāng)x取什么值時(shí)有最值.【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】先化去絕對(duì)值符號(hào)，將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，再作圖象；也可以作出的圖象后平移，得到的圖象，進(jìn)而由圖象可得到單調(diào)區(qū)間與最值.【解解】（1）法一：由函數(shù)解析式可得其圖象由兩部分組成：一部分是將的圖象向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，得另一部分是由向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，得如圖：法二法二：由 可知函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.故先作保留x0的部分，當(dāng)x1時(shí)，2a2,易知此時(shí)，y=2a與的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合題意.當(dāng)0a1時(shí)，如圖，先作出的圖象，將的圖象向下平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，得的圖象，再利用絕對(duì)值變換，得的圖象，如圖.從而當(dāng)02a1,直線y=2a與函數(shù)y=的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)方法技巧：方法技巧：抓住指數(shù)函數(shù)的圖象，不僅可以直觀準(zhǔn)確把握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，而且利用圖象的形象直觀，使有些問(wèn)題得到簡(jiǎn)捷的解法.綜合應(yīng)用綜合應(yīng)用 (1)判斷f(x)的奇偶性；（2）討論f（x）的單調(diào)性；（3）當(dāng)x-1,1時(shí)，f(x)b恒成立，求b的取值范圍.【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】1）用奇偶性定義判斷；（2）利用單調(diào)性定義，或利用導(dǎo)數(shù)解決；（3）恒成立問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為探求f(x)的最小值.【解解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽【例例3】（理）已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)有最小正周期2，且x(0,1)時(shí) (1)求f(x)在-1，1上的解析式；（2）判斷f(x)在（0，1）上的單調(diào)性，并給予證明.【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】第（1）問(wèn)，只需求出f(x)在x(-1,0)和x=0,x=1處的解析式即可，結(jié)合奇偶性的周期性可完成；第（2）問(wèn)，令t=2x(1t0，故函數(shù)值域?yàn)?0， (2)函數(shù)tx26x17在3，)上是增函數(shù)，即當(dāng)3x1x2時(shí)，t1( )t2，即y1y2，所以函數(shù)y( )x26x17在3，)上是減函數(shù)同理可知，y( )x26x17在(，3上是增函數(shù)方法技巧：方法技巧：對(duì)于形如(a0,且a1)的函數(shù)，有如下結(jié)論：（1）函數(shù) 的定義域與t=f(x)的定義域相同；（2）求y=af(x)的最值（或值域），先確定t=f(x)的最值（或值域），再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可確定y=a f(x)的最值；（3）當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)y=a f(x)與y=f(x)的單調(diào)性相同；當(dāng)0a0,且a1)是奇函數(shù).【例1】(2009年山東卷)函數(shù)y 的圖象大致為()【答案】A【例2】設(shè)f(x)|2x1|，cba，且f(c)f(a)f(b)，則下列關(guān)系中一定成立的是()A2c2bB2c2aC2c2a2 D2c2a2【解析解析】數(shù)形結(jié)合，先作出f(x)|2x1|的圖象，如圖知f(x)在(，0)上是減函數(shù)，在0，)上是增函數(shù)cbf(a)f(b)，c0,02c1.由f(c)f(a)，即|2c1|2a1|，12c2a1，2c2a0，且a1)在區(qū)間1,2上的最大值與最小值的差為，則a_.【正解正解】當(dāng)0a1時(shí)，函數(shù)f(x)ax在1,2上為增函數(shù)，最小值為f(1)a，最大值為f(2)a2，從而a2a ，解得 a ，或a0(舍去)綜上，a ，或a .【分析分析】本題在求解過(guò)程中極易忽視對(duì)底數(shù)a的討論，認(rèn)為f(x)minf(1)，f(x)maxf(2)由a2a ，求得a ，或a0(舍)，認(rèn)為a1.因此，當(dāng)指數(shù)函數(shù)(或?qū)?shù)函數(shù))的底數(shù)含有參數(shù)時(shí)，一定要先對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，再確定單調(diào)性，進(jìn)而解決有關(guān)問(wèn)題一、選擇題一、選擇題1函數(shù)f(x) 的定義域是() A(，0 B0，) C(，0) D(，)解析：解析：因12x0，即2x1，x0.答案：答案：A2設(shè)函數(shù)f(x) 若f(x)1，則x的取值范圍是()A(，1) B(2，)C(1,2) D(，1)(2，)解析：解析：當(dāng)x0時(shí)，f(x)1，即2x11,2x2，故x1，也即x0時(shí)，f(x)1，即 x1, 所以x2.綜上所述x的取值范圍(，1)(2，)答案：答案：D3函數(shù)y (0a0，且a1)，f(2)4，則() Af(2)f(1) Bf(1)f(2) Cf(1)f(2) Df(2)f(2)解析：解析：f(2)4，a24，a12，a ，f(x)( )|x|2|x|，f(2)224，f(1)21.答案：答案：A5(2010年安徽省巢湖市模擬)定義運(yùn)算a b則函數(shù)f(x)1 2x的圖象是()解析：解析：f(x)1 2xA項(xiàng)合題意答案：答案：A二、填空題二、填空題6下列各等式中，正確的有_(寫出正確答案的序號(hào))解析：解析：明顯錯(cuò)誤；中，n是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有兩個(gè)，故也不正確答案：答案：7(文)函數(shù)y( )1x的值域是_解析解析：因1xR，所以( )1x0，即函數(shù)值域?yàn)?0，)答案：答案：(0，)(理)若函數(shù)f(x)axxa(a0且a1)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的 取值范圍是_解析：解析：設(shè)函數(shù)yax(a0且a1)與函數(shù)yxa，則函數(shù)yaxxa(a0且a1)有兩個(gè)零點(diǎn)，就是函數(shù)yax(a0且a1)與yxa有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖象知當(dāng)0a1時(shí)，因yax(a1)圖象過(guò)(0,1)點(diǎn)，而yxa所過(guò)的點(diǎn)一定在(0,1)上方所以兩圖象一定有兩個(gè)交點(diǎn)，即a1.答案：答案：(1，)8設(shè)yf(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，滿足條件yf(x1)為偶函數(shù)，且當(dāng)x1時(shí)，f(x)2x1，則f( )，f( )，f( )的大小關(guān)系為_解析：解析：由yf(x1)是偶函數(shù)，得f(1x)f(1x)，f(x)f(2x)，f(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，f( )f(2 )f( )又x1時(shí)，f(x)2x1是增函數(shù)，0 x1時(shí)，f(x)是減函數(shù)，又 f( )f( )，即f( )f( )f( )答案：答案：f( )f( )f( )9定義區(qū)間x1，x2(x1x2)的長(zhǎng)度為x2x1.已知函數(shù)y2|x|的定義域?yàn)閍，b，值域?yàn)?,2，則區(qū)間a，b的長(zhǎng)度的最大值與最小值的差為_解析：解析：因y2|x|是偶函數(shù)，當(dāng)a，b在函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間0,1或減函數(shù)1,0上時(shí)，值域?yàn)?,2，這時(shí)區(qū)間長(zhǎng)度最短，當(dāng)a，b在函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間1,1時(shí)，值域?yàn)?,2，這時(shí)區(qū)間長(zhǎng)度最長(zhǎng)，故長(zhǎng)度的最大值與最小值的差為1.答案：答案：1三、解答題三、解答題10設(shè)f(x)axb同時(shí)滿足條件f(0)2和對(duì)任意xR都有f(x1)2f(x)1成立(1)求f(x)的解析式；(2)設(shè)函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?,2，且在定義域內(nèi)g(x)f(x)，且函數(shù)h(x)的圖象與g(x)的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱，求h(x)；(3)求函數(shù)yg(x)h(x)的值域 解：解：(1)由f(0)2，得b1，由f(x1)2f(x)1，得ax(a2)0，由ax0得a2，所以f(x)2x1.(2)由題意知，當(dāng)x2,2時(shí)，g(x)f(x)2x1.設(shè)點(diǎn)P(x，y)是函數(shù)h(x)的圖象上任意一點(diǎn)，它關(guān)于直線yx對(duì)稱的點(diǎn)為P(y，x)，依題意點(diǎn)P(y，x)在函數(shù)g(x)的圖象上，即x2y1，所以ylog2(x1)，即h(x)log2(x1)(x ，5)(3)由已知得，ylog2(x1)2x1，且兩個(gè)函數(shù)的公共定義域是 ，2，所以函數(shù)yg(x)h(x)log2(x1)2x1(x ，2)由于函數(shù)g(x)2x1與h(x)log2(x1)在區(qū)間 ，2上均為增函數(shù)，當(dāng)x 時(shí)，y2 1，當(dāng)x2時(shí)，y5，所以函數(shù)yg(x)h(x)(x ，2)的值域?yàn)? 1,511(2010年南京模擬)已知函數(shù)f(x)2x，g(x) 2.(1)求函數(shù)g(x)的值域；(2)求滿足方程f(x)g(x)0的x的值解：解：(1)g(x) 2( )|x|2，|x|0，0( )|x|1，即2g(x)3，故g(x)的值域是(2,3(2)由f(x)g(x)0得2x 20.當(dāng)x0時(shí)，2x1， 0，x0，顯然不滿足方程當(dāng)x0時(shí)，方程為2x 20，(2x)222x10，(2x1)22，故2x1 2x1，2x1 ，xlog2( 1)