高三數(shù)學(xué) 專題21 函數(shù)與方程思想課件 理

專題21 函數(shù)與方程思想函數(shù)與方程思想函數(shù)與方程思想思 想 方 法 概 述熱 點(diǎn) 分 類 突 破真 題 與 押 題思想方法概述1.函數(shù)與方程思想的含義函數(shù)與方程思想的含義(1)函數(shù)的思想，是用運(yùn)動和變化的觀點(diǎn)，分析和研究函數(shù)的思想，是用運(yùn)動和變化的觀點(diǎn)，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，是對函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識，建立數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，是對函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決.經(jīng)常利用的性經(jīng)常利用的性質(zhì)是單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖質(zhì)是單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖象變換等象變換等.3(2)方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過解方程或系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決題獲得解決.方程的教學(xué)是對方程概念的本質(zhì)認(rèn)識，用方程的教學(xué)是對方程概念的本質(zhì)認(rèn)識，用于指導(dǎo)解題就是善于利用方程或方程組的觀點(diǎn)觀察處理于指導(dǎo)解題就是善于利用方程或方程組的觀點(diǎn)觀察處理問題問題.方程思想是動中求靜，研究運(yùn)動中的等量關(guān)系方程思想是動中求靜，研究運(yùn)動中的等量關(guān)系.2.和函數(shù)與方程思想密切關(guān)聯(lián)的知識點(diǎn)和函數(shù)與方程思想密切關(guān)聯(lián)的知識點(diǎn)(1)函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化，對函數(shù)函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化，對函數(shù)yf(x)，當(dāng)，當(dāng)y0時(shí)，就化為不等式時(shí)，就化為不等式f(x)0，借助于函數(shù)的圖象和性質(zhì)，借助于函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開不等式可解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開不等式.(2)數(shù)列的通項(xiàng)與前數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點(diǎn)去處理數(shù)列問題十分重要用函數(shù)的觀點(diǎn)去處理數(shù)列問題十分重要.(3)在三角函數(shù)求值中，把所求的量看作未知量，在三角函數(shù)求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通過三角函數(shù)關(guān)系化為未知量的表達(dá)式，其余的量通過三角函數(shù)關(guān)系化為未知量的表達(dá)式，那么問題就能化為未知量的方程來解那么問題就能化為未知量的方程來解.(4)解析幾何中的許多問題，例如直線與二次曲線解析幾何中的許多問題，例如直線與二次曲線的位置關(guān)系問題，需要通過解二元方程組才能解決的位置關(guān)系問題，需要通過解二元方程組才能解決.這都涉及二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論這都涉及二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論.(5)立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計(jì)算，立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計(jì)算，經(jīng)常需要運(yùn)用列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以經(jīng)常需要運(yùn)用列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決，建立空間直角坐標(biāo)系后，立體幾何與函數(shù)的解決，建立空間直角坐標(biāo)系后，立體幾何與函數(shù)的關(guān)系更加密切關(guān)系更加密切. 熱點(diǎn)一 函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用 熱點(diǎn)二 函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用 熱點(diǎn)三 函數(shù)與方程思想在幾何中的應(yīng)用熱點(diǎn)分類突破例1(1)f(x)ax33x1對于對于x1,1總有總有f(x)0成立，則成立，則a_.熱點(diǎn)一 函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用解析若若x0，則不論，則不論a取何值，取何值，f(x)0顯然成立；顯然成立；當(dāng)當(dāng)x0即即x(0,1時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)x0即即x1,0)時(shí)，時(shí)，因此因此g(x)ming(1)4，從而，從而a4，綜上，綜上a4.答案4(2)設(shè)設(shè)f(x)，g(x)分別是定義在分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)當(dāng)x0，且，且g(3)0，則不等式則不等式f(x)g(x)0的解集是的解集是_.解析設(shè)設(shè)F(x)f(x)g(x)，由于，由于f(x)，g(x)分別是定義在分別是定義在R上的奇函數(shù)和上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，偶函數(shù)，得得F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)，即即F(x)在在R上為奇函數(shù)上為奇函數(shù).又當(dāng)又當(dāng)x0，所以所以x0時(shí)，時(shí)，F(xiàn)(x)也是增函數(shù)也是增函數(shù).因?yàn)橐驗(yàn)镕(3)f(3)g(3)0F(3).所以，由圖可知所以，由圖可知F(x)0或或f(x)0或或f(x)max0；已知恒成立求參數(shù)；已知恒成立求參數(shù)范圍可先分離參數(shù)，然后利用函數(shù)值域求解范圍可先分離參數(shù)，然后利用函數(shù)值域求解.思維升華變式訓(xùn)練1(1)若若2x5y2y5x，則有，則有()A.xy0 B.xy0C.xy0 D.xy0解析把不等式變形為把不等式變形為2x5x2y5y，構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造函數(shù)y2x5x，其為，其為R上的增函數(shù)，上的增函數(shù)，所以有所以有xy.B所以所以f(x)2x36x2，令令f(x)0得得x0或或x3，經(jīng)檢驗(yàn)知，經(jīng)檢驗(yàn)知x3是函數(shù)的是函數(shù)的一個(gè)最小值點(diǎn)，一個(gè)最小值點(diǎn)，即即f(x)9恒成立，恒成立，答案A例2已知數(shù)列已知數(shù)列an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列.(1)若若a12，且，且a2，a3，a41成等比數(shù)列，求數(shù)列成等比數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式an；熱點(diǎn)二 函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用解因?yàn)橐驗(yàn)閍12， a2(a41)，又因?yàn)橛忠驗(yàn)閍n是正項(xiàng)等差數(shù)列，故是正項(xiàng)等差數(shù)列，故d0，所以所以(22d)2(2d)(33d)，得得d2或或d1(舍去舍去)，所以數(shù)列所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式an2n.解因?yàn)橐驗(yàn)镾nn(n1)，所以所以f(x)在在1，)上是增函數(shù)，上是增函數(shù)，故當(dāng)故當(dāng)x1時(shí)，時(shí)，f(x)minf(1)3，要使對任意的正整數(shù)要使對任意的正整數(shù)n，不等式，不等式bnk恒成立，恒成立，(1)等差等差(比比)數(shù)列中各有數(shù)列中各有5個(gè)基本量，建立方程組個(gè)基本量，建立方程組可可“知三求二知三求二”；(2)數(shù)列的本質(zhì)是定義域?yàn)檎麛?shù)集或其有限子數(shù)列的本質(zhì)是定義域?yàn)檎麛?shù)集或其有限子集的函數(shù)集的函數(shù),數(shù)列的通項(xiàng)公式即為相應(yīng)的解析式，數(shù)列的通項(xiàng)公式即為相應(yīng)的解析式，因此在解決數(shù)列問題時(shí)，應(yīng)注意利用函數(shù)的思因此在解決數(shù)列問題時(shí)，應(yīng)注意利用函數(shù)的思想求解想求解.思維升華變式訓(xùn)練2 (1)(2014江蘇江蘇)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若中，若a21，a8a62a4，則，則a6的值是的值是_.解析因?yàn)橐驗(yàn)閍8a2q6，a6a2q4，a4a2q2，所以由所以由a8a62a4得得a2q6a2q42a2q2，消去，消去a2q2，得到關(guān)于得到關(guān)于q2的一元二次方程的一元二次方程(q2)2q220，解得解得q22，a6a2q41224.4又?jǐn)?shù)列又?jǐn)?shù)列an是等比數(shù)列，是等比數(shù)列，且數(shù)列且數(shù)列 an是遞增數(shù)列，是遞增數(shù)列，答案D熱點(diǎn)三 函數(shù)與方程思想在幾何中的應(yīng)用(1)求橢圓求橢圓C的方程；的方程；設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，所以，所以，k的值為的值為1或或1.幾何最值是高考的熱點(diǎn)，在圓錐曲線的綜合問幾何最值是高考的熱點(diǎn)，在圓錐曲線的綜合問題中經(jīng)常出現(xiàn)，求解此類問題的一般思路為在題中經(jīng)常出現(xiàn)，求解此類問題的一般思路為在深刻認(rèn)識運(yùn)動變化的過程之中，抓住函數(shù)關(guān)系深刻認(rèn)識運(yùn)動變化的過程之中，抓住函數(shù)關(guān)系,將目標(biāo)量表示為一個(gè)將目標(biāo)量表示為一個(gè)(或者多個(gè)或者多個(gè))變量的函數(shù)，然變量的函數(shù)，然后借助于函數(shù)最值的探求來使問題得以解決后借助于函數(shù)最值的探求來使問題得以解決.思維升華變式訓(xùn)練3解析設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x0，y0)，B1.在高中數(shù)學(xué)的各個(gè)部分，都有一些公式和定理，在高中數(shù)學(xué)的各個(gè)部分，都有一些公式和定理，這些公式和定理本身就是一個(gè)方程，如等差數(shù)列的這些公式和定理本身就是一個(gè)方程，如等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、余弦定理、解析幾何的弦長公式等，當(dāng)通項(xiàng)公式、余弦定理、解析幾何的弦長公式等，當(dāng)題目與這些問題有關(guān)時(shí)，就需要根據(jù)這些公式或者題目與這些問題有關(guān)時(shí)，就需要根據(jù)這些公式或者定理列方程或方程組求解需要的量定理列方程或方程組求解需要的量.本講規(guī)律總結(jié)2.當(dāng)問題中涉及一些變化的量時(shí)，就需要建立這些變當(dāng)問題中涉及一些變化的量時(shí)，就需要建立這些變化的量之間的關(guān)系，通過變量之間的關(guān)系探究問題化的量之間的關(guān)系，通過變量之間的關(guān)系探究問題的答案，這就需要使用函數(shù)思想的答案，這就需要使用函數(shù)思想.3.借助有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，一是用來解決有關(guān)求值、解借助有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，一是用來解決有關(guān)求值、解(證證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題，不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題，二是在問題的研究中，可以通過建立函數(shù)關(guān)系式或二是在問題的研究中，可以通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)來求解構(gòu)造中間函數(shù)來求解.4.許多數(shù)學(xué)問題中，一般都含有常量、變量或參數(shù)，這許多數(shù)學(xué)問題中，一般都含有常量、變量或參數(shù)，這些參變量中必有一個(gè)處于突出的主導(dǎo)地位，把這個(gè)參變些參變量中必有一個(gè)處于突出的主導(dǎo)地位，把這個(gè)參變量稱為主元，構(gòu)造出關(guān)于主元的方程，主元思想有利于量稱為主元，構(gòu)造出關(guān)于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困擾，解方程的實(shí)質(zhì)就是分離參變量回避多元的困擾，解方程的實(shí)質(zhì)就是分離參變量. 真題感悟 押題精練真題與押題12真題感悟34121log3132121log3121log2即即0a1，b1，所以，所以cab.C13212真題感悟3412真題感悟34解析如圖所示，設(shè)以如圖所示，設(shè)以(0,6)為圓心，以為圓心，以r為半徑的圓的方程為為半徑的圓的方程為x2(y6)2r2(r0)，與橢圓方程，與橢圓方程 y21聯(lián)立得方程組，聯(lián)立得方程組，消掉消掉x2得得9y212yr2460.令令12249(r246)0，解得解得r250，12真題感悟34故選故選D.答案D3.(2014江蘇江蘇)在平面直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若曲線中，若曲線yax2 (a，b為常數(shù)為常數(shù))過點(diǎn)過點(diǎn)P(2，5)，且該曲線在點(diǎn)，且該曲線在點(diǎn)P處的處的切線與直線切線與直線7x2y30平行，則平行，則ab的值是的值是_.12真題感悟3434.(2014福建福建)要制作一個(gè)容積為要制作一個(gè)容積為4 m3，高為，高為1 m的無蓋的無蓋長方體容器長方體容器.已知該容器的底面造價(jià)是每平方米已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，元，側(cè)面造價(jià)是每平方米側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是元，則該容器的最低總造價(jià)是_.(單位：元單位：元)12真題感悟34又設(shè)該容器的造價(jià)為又設(shè)該容器的造價(jià)為y元，元，12真題感悟34所以所以ymin80204160(元元).答案160押題精練1231.函數(shù)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镽，f(1)2，對任意，對任意xR，f(x)2，則，則f(x)2x4的解集為的解集為()A.(1,1) B.(1，)C.(，1) D.(，)456押題精練123456解析f(x)2轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為f(x)20，構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)2x，得得F(x)在在R上是增函數(shù)上是增函數(shù).又又F(1)f(1)2(1)4，f(x)2x4，即即F(x)4F(1)，所以，所以x1.答案B押題精練123456解析可知可知|MN|f(x)g(x)x2ln x.押題精練123456答案D押題精練123456押題精練123456解析當(dāng)當(dāng)x0時(shí)，時(shí)，ax3x24x30變?yōu)樽優(yōu)?0恒恒成立，即成立，即aR.押題精練123456所以所以(x)在在(0,1上遞增，上遞增，(x)max(1)6.所以所以a6.押題精練123456當(dāng)當(dāng)x2，1)時(shí)，時(shí)，(x)0，(x)在在(1,0)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增.所以當(dāng)所以當(dāng)x1時(shí)，時(shí)，(x)有極小值，即為最小值有極小值，即為最小值.押題精練123456綜上知綜上知6a2.答案C4.若關(guān)于若關(guān)于x的方程的方程(22|x2|)22a有實(shí)根，則實(shí)有實(shí)根，則實(shí)數(shù)數(shù)a的取值范圍是的取值范圍是_.押題精練123456解析令令f(x)(22|x2|)2.要使要使f(x)2a有實(shí)根，有實(shí)根，只需只需2a是是f(x)的值域內(nèi)的值的值域內(nèi)的值.f(x)的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)?,4)，1a24，1a0，即，即(a1)24a23a22a1(3a1)(a1)0，押題精練123456設(shè)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，且，且x11).押題精練123456押題精練123456押題精練123456押題精練123456