高考數學一輪復習 不等式選講 2 證明不等式的基本方法課件 理選修45

第二節(jié)證明不等式的基本方法 【知識梳理【知識梳理】1.1.比較法比較法比較法是證明不等式最基本的方法比較法是證明不等式最基本的方法, ,可分為作差比較法可分為作差比較法和作商比較法兩種和作商比較法兩種. .名稱名稱作差比較法作差比較法作商比較法作商比較法理論理論依據依據abab_aba0, 1b0, 1ababb1b1aba0a-b0a-b0a-bb0ab0時，時，當當ba0ba0時，時，所以所以 a bb aa bab222a b2a baab( ),baba b2a( )1b ；a b2aa ba1,0,( )1b2b ；a b2aa ba01,0,( )1.b2b a bab2a bab.【規(guī)律方法【規(guī)律方法】比較法證明不等式的方法與步驟比較法證明不等式的方法與步驟1.1.作差比較法作差比較法(1)(1)作差比較法證明不等式的一般步驟作差比較法證明不等式的一般步驟: :作差作差: :將不等式左右兩邊的式子看作一個整體作差將不等式左右兩邊的式子看作一個整體作差; ;變形變形: :將差式進行變形將差式進行變形, ,化簡為一個常數化簡為一個常數, ,或通分或通分, ,因因式分解變形為若干個因式的積式分解變形為若干個因式的積, ,或配方變形為一個或幾或配方變形為一個或幾個平方和等個平方和等; ;判號判號: :根據已知條件與上述變形結果根據已知條件與上述變形結果, ,判斷不等式兩判斷不等式兩邊差的正負號邊差的正負號; ;結論結論: :肯定不等式成立的結論肯定不等式成立的結論. .(2)(2)作差比較法的應用范圍作差比較法的應用范圍: :當被證的不等式兩端是多項式、分式或對數式時當被證的不等式兩端是多項式、分式或對數式時, ,一般一般使用作差比較法使用作差比較法. .2.2.作商比較法作商比較法(1)(1)作商比較法證明不等式的一般步驟作商比較法證明不等式的一般步驟: :作商作商: :將不等式左右兩邊的式子作商將不等式左右兩邊的式子作商; ;變形變形: :將商式的分子放將商式的分子放( (縮縮),),分母不變分母不變, ,或分子不變或分子不變, ,分母放分母放( (縮縮),),或分子放或分子放( (縮縮),),分母縮分母縮( (放放),),從而化簡商式從而化簡商式為容易和為容易和1 1比較大小的形式比較大小的形式; ;判斷判斷: :判斷商與判斷商與1 1的大小關系的大小關系, ,就是判斷商大于就是判斷商大于1 1或小或小于于1 1或等于或等于1;1;結論結論. .(2)(2)作商比較法的應用范圍作商比較法的應用范圍: :當被證的不等式兩邊含有冪式或指數式或乘積式時當被證的不等式兩邊含有冪式或指數式或乘積式時, ,一一般使用作商比較法般使用作商比較法. .易錯提醒易錯提醒: :作商比較時易忽視分母的符號而得出錯誤的作商比較時易忽視分母的符號而得出錯誤的結論結論. .【變式訓練【變式訓練】已知已知a0,b0,a0,b0,求證：求證：【證明【證明】又又 0, 0, 所以所以故故abab.baab( ab)ba332( a)( b)( ab) ab( ab)( ab),ababab2ab0,( ab)0,ab( ab) 0.baabab.ba【加固訓練【加固訓練】1.1.求證求證:a:a2 2+b+b2 2ab+a+b-1.ab+a+b-1.【證明【證明】因為因為(a(a2 2+b+b2 2)-(ab+a+b-1)-(ab+a+b-1)=a=a2 2+b+b2 2-ab-a-b+1-ab-a-b+1= (2a= (2a2 2+2b+2b2 2-2ab-2a-2b+2)-2ab-2a-2b+2)12= (a= (a2 2-2ab+b-2ab+b2 2)+(a)+(a2 2-2a+1)+(b-2a+1)+(b2 2-2b+1)-2b+1)= (a-b)= (a-b)2 2+(a-1)+(a-1)2 2+(b-1)+(b-1)2 20.0.所以所以a a2 2+b+b2 2ab+a+b-1.ab+a+b-1.12122.2.已知已知a,ba,b均為正數均為正數, ,且且a+ba+b=1,=1,證明證明:(ax+by):(ax+by)2 2axax2 2+by+by2 2. .【證明【證明】(ax+by)(ax+by)2 2-(ax-(ax2 2+by+by2 2) )=a(a-1)x=a(a-1)x2 2+b(b-1)y+b(b-1)y2 2+2abxy,+2abxy,因為因為a+ba+b=1,=1,所以所以,a-1=-b,b-1=-a,a-1=-b,b-1=-a,故故(ax+by)(ax+by)2 2-(ax-(ax2 2+by+by2 2)=a(a-1)x)=a(a-1)x2 2+b(b-1)y+b(b-1)y2 2+2abxy+2abxy=-ab(x=-ab(x2 2+y+y2 2-2xy)=-ab(x-y)-2xy)=-ab(x-y)2 20,0,當且僅當當且僅當a=ba=b時等號成立時等號成立. .所以所以(ax+by)(ax+by)2 2axax2 2+by+by2 2. .考向二考向二綜合法證明不等式綜合法證明不等式【典例【典例2 2】(2015(2015全國卷全國卷)設設a,b,c,da,b,c,d均為正數均為正數, ,且且a+b=c+da+b=c+d. .證明：證明：(1)(1)若若abcdabcd, ,則則(2) (2) 是是|a-b|c-d|a-b|cdabcd, ,可證明可證明 , ,開方即得開方即得(2)(2)本小題可借助第一問的結論來證明本小題可借助第一問的結論來證明, ,但要分必要性但要分必要性與充分性來證明與充分性來證明. .2( ab)2( cd)abcd.【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)因為因為由題設由題設a+b=c+d,abcda+b=c+d,abcd得得因此因此(2)(i)(2)(i)若若|a-b|c-d|a-b|c-d| |，則，則(a-b)(a-b)2 2(c-d)(c-d)2 2，即即(a+b)(a+b)2 2-4ab(c+d)-4abcdabcd. .由由(1)(1)得得(ii)(ii)若若 ，則，則即即a+b+2 c+d+2 .a+b+2 c+d+2 .因為因為a+b=c+da+b=c+d，所以，所以abcdabcd. .abcd.abcd22( ab)( cd)，abcd于是于是(a-b)(a-b)2 2=(a+b)=(a+b)2 2-4ab(c+d)-4ab(c+d)2 2-4cd-4cd=(c-d)=(c-d)2 2. .因此因此|a-b|c-d|a-b|c-d|.|.綜上，綜上， 是是|a-b|c-d|a-b|c-d| |的充要條件的充要條件. .abcd【母題變式【母題變式】1.1.題中條件改為題中條件改為: a+b=c+d: a+b=c+d=1,=1,證明：證明：ab+cdab+cd . .【證明【證明】因為因為a,b,c,da,b,c,d均為正數均為正數, ,且且a+b=c+da+b=c+d=1=1，所以所以0ab ,0cd0ab ,00); 2(ab0);a+ 2(a0); 2(ab0); -2(ab0). -2(ab0).(5)(a(5)(a2 2+b+b2 2)(c)(c2 2+d+d2 2)(ac+bd)(ac+bd)2 2. .a bab21aabbaabba【變式訓練【變式訓練】(2014(2014遼寧高考遼寧高考) )設函數設函數f(xf(x)=2|x-1|)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x+x-1,g(x)=16x2 2-8x+1,-8x+1,記記f(x)1f(x)1的解集為的解集為M,g(x)4M,g(x)4的解集為的解集為N.N.(1)(1)求求M.M.(2)(2)當當xMNxMN時時, ,證明證明:x:x2 2f(x)+xf(x)f(x)+xf(x)2 2 . .14【解析【解析】(1)f(x)=2|x-1|+x-1(1)f(x)=2|x-1|+x-1= =當當x1x1時，由時，由f(x)1f(x)1得得x x ，故，故1x 1x ；當當x1x1時，由時，由f(x)1f(x)1得得x0 x0，故，故0 x10 xbc,abc,且且a+b+ca+b+c=0,=0,求證求證: :【解題導引【解題導引】利用分析法利用分析法: :去掉根號去掉根號, ,結合條件結合條件a+b+ca+b+c=0=0證明證明(a-b)(a-c(a-b)(a-c)0)0即可即可. .2bac3a.【規(guī)范解答【規(guī)范解答】要證要證只需證只需證b b2 2-ac3a-ac3a2 2. .因為因為a+b+ca+b+c=0,=0,所以只需證所以只需證b b2 2+a(a+b)3a+a(a+b)0,0,只需證只需證(a-b)(2a+b)0,(a-b)(2a+b)0,2bac3a，只需證只需證(a-b)(a-c(a-b)(a-c)0.)0.因為因為abc,abc,所以所以a-b0,a-c0,a-b0,a-c0,所以所以(a-b)(a-c(a-b)(a-c)0)0顯然顯然成立成立. .故原不等式成立故原不等式成立. .【規(guī)律方法【規(guī)律方法】1.1.用分析法證用分析法證“若若A A則則B”B”這個命題的模式這個命題的模式為了證明命題為了證明命題B B為真為真, ,只需證明命題只需證明命題B B1 1為真為真, ,從而有從而有只需證明命題只需證明命題B B2 2為真為真, ,從而有從而有只需證明命題只需證明命題A A為真為真, ,而已知而已知A A為真為真, ,故故B B必為真必為真. .2.2.分析法的應用分析法的應用當所證明的不等式不能使用比較法當所證明的不等式不能使用比較法, ,且和重要不等式、且和重要不等式、基本不等式沒有直接聯(lián)系基本不等式沒有直接聯(lián)系, ,較難發(fā)現(xiàn)條件和結論之間的較難發(fā)現(xiàn)條件和結論之間的關系時關系時, ,可用分析法來尋找證明途徑可用分析法來尋找證明途徑, ,使用分析法證明使用分析法證明的關鍵是推理的每一步必須可逆的關鍵是推理的每一步必須可逆. .3.3.綜合法與分析法的邏輯關系綜合法與分析法的邏輯關系用綜合法證明不等式是用綜合法證明不等式是“由因導果由因導果”, ,分析法證明不等分析法證明不等式是式是“執(zhí)果索因執(zhí)果索因”, ,它們是兩種思路截然相反的證明方它們是兩種思路截然相反的證明方法法. .綜合法往往是分析法的逆過程綜合法往往是分析法的逆過程, ,表述簡單表述簡單, ,條理清楚條理清楚, ,所以在實際應用時所以在實際應用時, ,往往用分析法找思路往往用分析法找思路, ,用綜合法寫用綜合法寫步驟步驟, ,由此可見由此可見, ,分析法與綜合法相互轉化分析法與綜合法相互轉化, ,互相滲透互相滲透, ,互為前提互為前提. .【變式訓練【變式訓練】設設x1,y1,x1,y1,證明證明: :【證明【證明】由于由于x1,y1,x1,y1,要證要證 只需證只需證xy(x+y)+1y+x+(xy)xy(x+y)+1y+x+(xy)2 2. .因為因為y+x+(xy)y+x+(xy)2 2-xy(x+y)+1-xy(x+y)+1=(xy)=(xy)2 2-1-xy(x+y)-(x+y)-1-xy(x+y)-(x+y)111x yxy.xyxy 111x yxy.xyxy =(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1)=(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1)=(xy-1)(xy-x-y+1)=(xy-1)(xy-x-y+1)=(xy-1)(x-1)(y-1),=(xy-1)(x-1)(y-1),由條件由條件x1,y1x1,y1可知可知x-10,y-10,xy-10,x-10,y-10,xy-10,所以所以(xy-1)(x-1)(y-1)0,(xy-1)(x-1)(y-1)0,從而所要證明的不等式成立從而所要證明的不等式成立. .【加固訓練【加固訓練】已知已知ABCABC的三邊長分別是的三邊長分別是a,b,ca,b,c且且m m為正數為正數, ,求證求證: :【證明【證明】要證要證 只需證只需證a(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)-c(a+m)(b+ma(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)-c(a+m)(b+m)0,)0,即證即證abc+abm+acm+amabc+abm+acm+am2 2+abc+abm+bcm+bm+abc+abm+bcm+bm2 2-abc-acm-abc-acm-bcm-cmbcm-cm2 20,0,abc.a m b mc mabc,a m b mc m即證即證abc+2abm+(a+b-c)mabc+2abm+(a+b-c)m2 20.0.由于由于a,b,ca,b,c分別是分別是ABCABC的三邊長的三邊長, ,故有故有a+ba+bc.c.因為因為m0,m0,所以所以(a+b-c)m(a+b-c)m2 20,0,所以所以abc+2abm+(a+b-c)mabc+2abm+(a+b-c)m2 200是成立的是成立的, ,因此因此 成立成立. .abca m b mc m