備考20142013高考數(shù)學(xué) 真題模擬新題分類匯編 立體幾何 文

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1、立體幾何 G1　空間幾何體的結(jié)構(gòu)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8．G1，G6[2013·北京卷] 如圖1－2，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為對(duì)角線BD1的三等分點(diǎn)，P到各頂點(diǎn)的距離的不同取值有(　　) 圖1－2 A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè) 8．B　[解析] 設(shè)棱長(zhǎng)為1，∵BD1＝，∴BP＝，D1P＝.聯(lián)結(jié)AD1，B1D1，CD1，得△ABD1≌△CBD1≌△B1BD1， ∴∠ABD1＝∠CBD1＝∠B1BD1，且cos∠ABD1＝， 聯(lián)結(jié)AP，PC，PB1，則有△ABP≌△CBP≌△B1BP， ∴AP＝CP＝B1P＝，同理

2、DP＝A1P＝C1P＝1， ∴P到各頂點(diǎn)的距離的不同取值有4個(gè)． 18．G1，G4，G5[2013·廣東卷] 如圖1－4(1)，在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)G，將△ABF沿AF折起，得到如圖1－4(2)所示的三棱錐A－BCF，其中BC＝. 圖1－4 (1)證明：DE∥平面BCF； (2)證明：CF⊥平面ABF； (3)當(dāng)AD＝時(shí)，求三棱錐F－DEG的體積． 18．解： G2　空間幾何體的三視圖和直觀圖　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10．G2，G7[2013·北京卷] 某四棱錐的

3、三視圖如圖1－3所示，該四棱錐的體積為________． 圖1－3 10．3　[解析] 正視圖的長(zhǎng)為3，側(cè)視圖的長(zhǎng)為3，因此，該四棱錐底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，且高為1，因此V＝×(3×3)×1＝3. 18．G2，G4[2013·福建卷] 如圖1－3，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC＝3，AD＝4，∠PAD＝60°. (1)當(dāng)正視方向與向量的方向相同時(shí)，畫出四棱錐P－ABCD的正視圖(要求標(biāo)出尺寸，并寫出演算過程)； (2)若M為PA的中點(diǎn)，求證：DM∥平面PBC； (3)求三棱錐D－PBC的體積． 圖1－3 18

4、．解：(1)在梯形ABCD中，過點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E. 由已知得，四邊形ADCE為矩形，AE＝CD＝3， 在Rt△BEC中，由BC＝5，CE＝4，依勾股定理得BE＝3，從而AB＝6. 又由PD⊥平面ABCD得，PD⊥AD. 從而在Rt△PDA中，由AD＝4，∠PAD＝60°，得PD＝4 . 正視圖如圖所示． (2)方法一：取PB中點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)MN，CN.在△PAB中，∵M(jìn)是PA中點(diǎn)，∴MN∥AB，MN＝AB＝3. 又CD∥AB，CD＝3，∴MN∥CD，MN＝CD， ∴四邊形MNCD為平行四邊形，∴DM∥CN. 又DM平面PBC，CN平面PBC， ∴DM∥平面

5、PBC. 方法二：取AB的中點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)ME，DE. 在梯形ABCD中，BE∥CD，且BE＝CD， ∴四邊形BCDE為平行四邊形， ∴DE∥BC.又DE平面PBC，BC平面PBC， ∴DE∥平面PBC. 又在△PAB中，ME∥PB， ME平面PBC，PB平面PBC，∴ME∥平面PBC. 又DE∩ME＝E，∴平面DME∥平面PBC. 又DM平面DME，∴DM∥平面PBC. (3)VD－PBC＝VP－DBC＝S△DBC·PD， 又S△DBC＝6，PD＝4 ，所以VD－PBC＝8 . 6．G2[2013·廣東卷] 某三棱錐的三視圖如圖1－2所示，則該三棱錐的體

6、積是(　　) 圖1－2 A. B. C. D．1 6．B　[解析] 由三視圖得三棱錐的高是2，底面是一個(gè)腰為1的等腰直角三角形，故體積是××1×1×2＝，選B. 5．G2[2013·廣東卷] 執(zhí)行如圖1－1所示的程序框圖，若輸入n的值為3，則輸出s的值是(　　) 圖1－1 A．1 B．2 C．4 D．7 5．C　[解析] 1≤3，s＝1＋0＝1，i＝2；2≤3，s＝1＋1＝2，i＝3；s＝2＋2＝4，i＝4；4>3，故輸出s＝4，選C. 7．G2[2013·湖南卷] 已知正方體的棱長(zhǎng)為1，其俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，側(cè)視圖是一個(gè)面積為的矩形，則該

7、正方體的正視圖的面積等于(　　) A. B．1 C.D. 7．D　[解析] 由題可知，其俯視圖恰好是正方形，而側(cè)視圖和正視圖則應(yīng)該都是正方體的對(duì)角面，故面積為，選D. 8．G2[2013·江西卷] 一幾何體的三視圖如圖1－2所示，則該幾何體的體積為(　　) 圖1－2 A．200＋9π B．200＋18π C．140＋9π D．140＋18π 8．A　[解析] 該幾何體上面是半圓柱，下面是長(zhǎng)方體，半圓柱體積為π·32·2＝9π，長(zhǎng)方體體積為10×5×4＝200.故選A. 13．G2[2013·遼寧卷] 某幾何體的三視圖如圖1－3所示，則該幾何體的體積是________

8、． 圖1－3 13．16π－16　[解析] 由三視圖可知該幾何體是一個(gè)圓柱里面挖去了一個(gè)長(zhǎng)方體，所以該幾何體的體積為V＝4π×4－16＝16π－16. 9．G2[2013·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ] 一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中的坐標(biāo)分別是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，畫該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以zOx平面為投影面，則得到的正視圖可以為(　　) 圖1－3 9．A　[解析] 在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中畫出三棱錐，由已知可知三棱錐O－ABC為題中所描敘的四面體，而其在zOx平面上的投影為正方形EBDO，故選A. 圖1－4 4．

9、G2[2013·山東卷] 一個(gè)四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，底面是正方形，其正(主)視圖如圖1－1所示，則該四棱錐側(cè)面積和體積分別是(　　) 圖1－1 A．4 ，8 B．4 ， C．4(＋1)， D．8，8 4．B　[解析] 由正視圖知該幾何體的高為2，底面邊長(zhǎng)為2，斜高為＝，∴側(cè)面積＝4××2×＝4 ，體積為×2×2×2＝. 12．G2[2013·陜西卷] 某幾何體的三視圖如圖1－2所示，則其表面積為________． 圖1－2 12．3π　[解析] 由三視圖得該幾何體為半徑為1的半個(gè)球，則表面積為半球面＋底面圓，代入數(shù)據(jù)計(jì)算為S＝×4π×12＋π×12＝3π. 11

10、．G2[2013·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ] 某幾何體的三視圖如圖1－3所示，則該幾何體的體積為(　　) 圖1－3 A．16＋8π B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π 11．A　[解析] 該空間幾何體的下半部分是一個(gè)底面半徑為2，母線長(zhǎng)為4的半圓柱，上半部分是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2、高為4的正四棱柱．這個(gè)空間幾何體的體積是×π×4×4＋2×2×4＝16＋8π. 5．G2[2013·浙江卷] 已知某幾何體的三視圖(單位： cm)如圖1－1所示，則該幾何體的體積是(　　) 圖1－1 A．108 cm3 B．100 cm3 C．92 cm3 D．84 cm3 5．B

11、　[解析] 此直觀圖是由一個(gè)長(zhǎng)方體挖去一個(gè)三棱錐而得，如圖所示其體積為3×6×6－××3×4×4＝108－8＝100(cm3)．所以選擇B. 19．G2和G5[2013·重慶卷] 如圖1－4所示，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2 ，BC＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝. (1)求證：BD⊥平面PAC； (2)若側(cè)棱PC上的點(diǎn)F滿足PF＝7FC，求三棱錐P－BDF的體積． 圖1－4 19．解：(1)證明：因?yàn)锽C＝CD，即△BCD為等腰三角形，又∠ACB＝∠ACD，故BD⊥AC. 因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以PA⊥BD，從而BD與平面PAC內(nèi)兩條相交直線PA，A

12、C都垂直，所以BD⊥平面PAC. (2)三棱錐P－BCD的底面BCD的面積S△BCD＝BC·CD·sin∠BCD＝·2·2·sin＝. 由PA⊥底面ABCD，得 VP－BCD＝·S△BCD·PA＝××2 ＝2. 由PF＝7FC，得三棱錐F－BCD的高為PA，故VF－BCD＝·S△BCD·PA＝×××2 ＝， 所以VP－BDF＝VP－BCD－VF－BCD＝2－＝. 8．G2和G7[2013·重慶卷] 某幾何體的三視圖如圖1－3所示，則該幾何體的表面積為(　　) 圖1－3 A．180 B．200 C．220 D．240 8．D　[解析] 該幾何體為直四棱柱，其高為1

13、0，底面是上底為2，下底為8，高為4，其腰為5的等腰梯形，所以底面面積和為(2＋8)×4×2＝40.四個(gè)側(cè)面的面積和為(2＋8＋5×2)×10＝200，所以該直四棱柱的表面積為S＝40＋200＝240，故選D. G3　平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 G4　空間中的平行關(guān)系　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 17．G4，G5，G7[2013·北京卷] 如圖1－5，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)．求證： (1)PA⊥底面ABCD；

14、 (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD. 圖1－5 17．證明：(1)因?yàn)槠矫鍼AD⊥底面ABCD，且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線AD，所以PA⊥底面ABCD. (2)因?yàn)锳B∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點(diǎn)， 所以AB∥DE，且AB＝DE， 所以ABED為平行四邊形， 所以BE∥AD. 又因?yàn)锽E平面PAD，AD平面PAD， 所以BE∥平面PAD. (3)因?yàn)锳B⊥AD，而且ABED為平行四邊形， 所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD， 所以PA⊥CD. 又因?yàn)锳D∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD， 所以CD⊥

15、PD. 因?yàn)镋和F分別是CD和PC的中點(diǎn)， 所以PD∥EF， 所以CD⊥EF， 所以CD⊥平面BEF， 所以平面BEF⊥平面PCD. 18．G2，G4[2013·福建卷] 如圖1－3，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC＝3，AD＝4，∠PAD＝60°. (1)當(dāng)正視方向與向量的方向相同時(shí)，畫出四棱錐P－ABCD的正視圖(要求標(biāo)出尺寸，并寫出演算過程)； (2)若M為PA的中點(diǎn)，求證：DM∥平面PBC； (3)求三棱錐D－PBC的體積． 圖1－3 18．解：(1)在梯形ABCD中，過點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E. 由已

16、知得，四邊形ADCE為矩形，AE＝CD＝3， 在Rt△BEC中，由BC＝5，CE＝4，依勾股定理得BE＝3，從而AB＝6. 又由PD⊥平面ABCD得，PD⊥AD. 從而在Rt△PDA中，由AD＝4，∠PAD＝60°，得PD＝4 . 正視圖如圖所示． (2)方法一：取PB中點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)MN，CN.在△PAB中，∵M(jìn)是PA中點(diǎn)，∴MN∥AB，MN＝AB＝3. 又CD∥AB，CD＝3，∴MN∥CD，MN＝CD， ∴四邊形MNCD為平行四邊形，∴DM∥CN. 又DM平面PBC，CN平面PBC， ∴DM∥平面PBC. 方法二：取AB的中點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)ME，DE. 在梯形ABC

17、D中，BE∥CD，且BE＝CD， ∴四邊形BCDE為平行四邊形， ∴DE∥BC.又DE平面PBC，BC平面PBC， ∴DE∥平面PBC. 又在△PAB中，ME∥PB， ME平面PBC，PB平面PBC，∴ME∥平面PBC. 又DE∩ME＝E，∴平面DME∥平面PBC. 又DM平面DME，∴DM∥平面PBC. (3)VD－PBC＝VP－DBC＝S△DBC·PD， 又S△DBC＝6，PD＝4 ，所以VD－PBC＝8 . 18．G1，G4，G5[2013·廣東卷] 如圖1－4(1)，在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，AF與D

18、E交于點(diǎn)G，將△ABF沿AF折起，得到如圖1－4(2)所示的三棱錐A－BCF，其中BC＝. 圖1－4 (1)證明：DE∥平面BCF； (2)證明：CF⊥平面ABF； (3)當(dāng)AD＝時(shí)，求三棱錐F－DEG的體積． 18．解： 8．G4、G5[2013·廣東卷] 設(shè)l為直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是(　　) A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若l⊥α，l⊥β，則α∥β C．若l⊥α，l∥β，則α∥β D．若α⊥β，l∥α，則l⊥β 8．B　[解析] 根據(jù)空間平行、垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)，易知選B. 16．G4，G5[2013·江蘇卷] 如圖1－2，

19、在三棱錐S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.過A作AF⊥SB，垂足為F，點(diǎn)E，G分別是棱SA，SC的中點(diǎn)． 求證：(1)平面EFG∥平面ABC； (2)BC⊥SA. 圖1－2 16．證明：(1)因?yàn)锳S＝AB，AF⊥SB，垂足為F，所以F是SB的中點(diǎn)．又因?yàn)镋是SA的中點(diǎn)，所以EF∥AB. 因?yàn)镋F平面ABC，AB平面ABC， 所以EF∥平面ABC. 同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E， 所以平面EFG∥平面ABC. (2)因?yàn)槠矫鍿AB⊥平面SBC，且交線為SB， 又AF平面SAB，AF⊥SB， 所以AF⊥平面SBC. 因?yàn)?/p>

20、BC平面SBC，所以AF⊥BC. 又因?yàn)锳B⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB平面SAB，所以BC⊥平面SAB. 因?yàn)镾A平面SAB，所以BC⊥SA. 15．G4[2013·江西卷] 如圖1－5所示，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，則直線EF與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為________． 圖1－5 15．4　[解析] 直線EF與正方體左右兩個(gè)面平行，與其他四個(gè)面相交． 圖1－4 18．G4，G5[2013·遼寧卷] 如圖1－4，AB是圓O的直徑，PA垂直圓O所在的平面，C是圓O上的點(diǎn)． (1)求證：BC⊥平面PAC； (2

21、)設(shè)Q為PA的中點(diǎn)，G為△AOC的重心，求證：QG∥平面PBC. 18．證明：(1)由AB是圓O的直徑，得AC⊥BC. 由PA⊥平面ABC，BC平面ABC，得PA⊥BC. 又PA∩AC＝A，PA平面PAC，AC平面PAC， 所以BC⊥平面PAC. (2)聯(lián)結(jié)OG并延長(zhǎng)交AC于M，聯(lián)結(jié)QM，QO， 由G為△AOC的重心，得M為AC中點(diǎn)， 由Q為PA中點(diǎn)，得QM∥PC. 又O為AB中點(diǎn)，得OM∥BC. 因?yàn)镼M∩MO＝M，QM平面QMO. MO平面QMO， BC∩PC＝C，BC平面PBC，PC平面PBC， 所以平面QMO∥平面PBC. 因?yàn)镼G平面QM

22、O， 所以QG∥平面PBC. 18．G4，G7，G11[2013·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ] 如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)． (1)證明：BC1∥平面A1CD； (2)設(shè)AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2，求三棱錐C－A1DE的體積． 圖1－7 18．解：(1)證明：聯(lián)結(jié)AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1中點(diǎn)．又D是AB中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DF，則BC1∥DF.因?yàn)镈F平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD. 圖1－8 (2)因?yàn)锳BC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.由已知AC＝CB，D為AB的中點(diǎn)，所以CD⊥A

23、B.又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1. 由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2 得∠ACB＝90°，CD＝，A1D＝，DE＝，A1E＝3， 故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D. 所以VC－A1DE＝××××＝1. 19．G4，G5[2013·山東卷] 如圖1－5，四棱錐P—ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點(diǎn)． (1)求證：CE∥平面PAD； (2)求證：平面EFG⊥平面EMN. 圖1－6 19．證明：(1)證法一：取PA的中點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)EH，DH. 因?yàn)镋為PB的中

24、點(diǎn)， 所以EH∥AB，EH＝AB. 又AB∥CD，CD＝AB， 所以EH∥CD，EH＝CD. 因此四邊形DCEH是平行四邊形． 所以CE∥DH. 又DH平面PAD，CE平面PAD， 因此CE∥平面PAD. 證法二：聯(lián)結(jié)CF. 因?yàn)镕為AB的中點(diǎn)， 所以AF＝AB. 又CD＝AB， 所以AF＝CD. 又AF∥CD， 所以四邊形AFCD為平行四邊形． 因此CF∥AD. 又CF平面PAD， 所以CF∥平面PAD. 因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)， 所以EF∥PA. 又EF平面PAD， 所以EF∥平面PAD. 因?yàn)镃F∩EF＝F， 故平面CE

25、F∥平面PAD. 又CE平面CEF， 所以CE∥平面PAD. (2)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)， 所以EF∥PA. 又AB⊥PA， 所以AB⊥EF. 同理可證AB⊥FG. 又EF∩FG＝F，EF平面EFG，F(xiàn)G平面EFG， 因此AB⊥平面EFG. 又M，N分別為PD，PC的中點(diǎn)， 所以MN∥CD. 又AB∥CD， 所以MN∥AB， 因此MN⊥平面EFG. 又MN平面EMN， 所以平面EFG⊥平面EMN. 18．G4，G11[2013·陜西卷] 如圖1－5，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，

26、AB＝AA1＝. 圖1－5 (1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1； (2)求三棱柱ABD－A1B1D1的體積． 18．解： (1)證明：由題設(shè)知，BB1瘙綊DD1， ∴四邊形BB1D1D是平行四邊形， ∴BD∥B1D1. 又BD平面CD1B1， ∴BD∥平面CD1B1. ∵A1D1瘙綊B1C1瘙綊BC， ∴四邊形A1BCD1是平行四邊形， ∴A1B∥D1C. 又A1B平面CD1B1， ∴A1B∥平面CD1B1. 又∵BD∩A1B＝B， ∴平面A1BD∥平面CD1B1. (2)∵A1O⊥平面ABCD， ∴A1O是三棱柱ABD－A1B1D1的高．

27、 又∵AO＝AC＝1，AA1＝， ∴A1O＝＝1， 又∵S△ABD＝××＝1， ∴VABD－A1B1D1＝S△ABD·A1O＝1. 19．G4，G5，G7，G11[2013·四川卷] 圖1－8 如圖1－8，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1＝2，∠BAC＝120°，D，D1分別是線段BC，B1C1的中點(diǎn)，P是線段AD上異于端點(diǎn)的點(diǎn)． (1)在平面ABC內(nèi)，試作出過點(diǎn)P與平面A1BC平行的直線l，說明理由，并證明直線l⊥平面ADD1A1； (2)設(shè)(1)中的直線l交AC于點(diǎn)Q，求三棱錐A1－QC1D的體積．(錐體體積公式：V＝Sh

28、，其中S為底面面積，h為高) 19．解：(1)如圖，在平面ABC內(nèi)，過點(diǎn)P作直線l∥BC，因?yàn)閘在平面A1BC外，BC在平面A1BC內(nèi)，由直線與平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC. 由已知，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)， 所以，BC⊥AD，則直線l⊥AD. 因此AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥直線l. 又因?yàn)锳D，AA1在平面ADD1A1內(nèi)，且AD與AA1相交， 所以直線l⊥平面ADD1A1. (2)過D作DE⊥AC于E. 因?yàn)锳A1⊥平面ABC，所以DE⊥AA1. 又因?yàn)锳C，AA1在平面AA1C1C內(nèi)，且AC與AA1相交， 所以DE⊥平面AA1C1C. 由AB

29、＝AC＝2，∠BAC＝120°，有AD＝1，∠DAC＝60°， 所以在△ACD中，DE＝AD＝. 又S△A1QC1＝A1C1·AA1＝1，所以 VA1－QC1D＝VD－A1QC1＝DE·S△A1QC1＝××1＝. 因此三棱錐A1－QC1D的體積是. 17．G4，G5、G11[2013·天津卷] 如圖1－3所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABC，且各棱長(zhǎng)均相等，D，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC，A1C1的中點(diǎn)． (1)證明EF∥平面A1CD； (2)證明平面A1CD⊥平面A1ABB1； (3)求直線BC與平面A1CD所成角的正弦值． 圖1－3 17

30、．解：(1)證明：如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，聯(lián)結(jié)ED，在△ABC中，因?yàn)镈，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以DE＝AC且DE∥AC，又因?yàn)镕為A1C1的中點(diǎn)，可得A1F＝DE，且A1F∥DE，即四邊形A1DEF為平行四邊形，所以EF∥DA1.又EF平面A1CD，DA1平面A1CD，所以，EF∥平面A1CD. (2)證明：由于底面ABC是正三角形，D為AB的中點(diǎn)，故CD⊥AB，又由于側(cè)棱AA1⊥底面ABC，CD平面ABC，所以A1A⊥CD，又A1A∩AB＝A，因此CD⊥平面A1ABB1，而CD平面A1CD，所以平面A1CD⊥平面A1ABB

31、1. (3)在平面A1ABB1內(nèi)，過點(diǎn)B作BG⊥A1D交直線A1D于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)CG，由于平面A1CD⊥平面A1ABB1，而直線A1D是平面A1CD與平面A1ABB1的交線，故BG⊥平面A1CD，由此得∠BCG為直線BC與平面A1CD所成的角． 設(shè)三棱柱各棱長(zhǎng)為a，可得A1D＝，由△A1AD∽△BGD，易得BG＝.在Rt△BGC中，sin∠BCG＝＝. 所以直線BC與平面A1CD所成角的正弦值為. 4．G4，G5[2013·浙江卷] 設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面(　　) A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m∥α，m∥β，則α∥β C．若m∥n，m⊥α，則n⊥

32、α D．若m∥α，α⊥β，則m⊥β 4．C　[解析] 對(duì)于選項(xiàng)C，若m∥n，m⊥α，易得n⊥α.所以選擇C. G5　空間中的垂直關(guān)系　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 圖1－5 18．G5[2013·安徽卷] 如圖1－5，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD＝60°，已知PB＝PD＝2，PA＝. (1)證明：PC⊥BD； (2)若E為PA的中點(diǎn)，求三棱錐P－BCE的體積． 18．解：(1)證明：聯(lián)結(jié)AC，交BD于O點(diǎn)，聯(lián)結(jié)PO. 因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，所以AC⊥BD，BO＝DO. 由PB＝PD知，PO⊥BD.再由PO∩AC＝O

33、知，BD⊥面APC，又PC平面APC，因此BD⊥PC. (2)因?yàn)镋是PA的中點(diǎn)，所以VP－BCE＝VC－PEB＝ VC－PAB＝VB－APC. 由PB＝PD＝AB＝AD＝2知，△ABD≌△PBD. 因?yàn)椤螧AD＝60°， 所以PO＝AO＝，AC＝2，BO＝1.又PA＝，故PO2＋AO2＝PA2，即PO⊥AC. 故S△APC＝PO·AC＝3. 由(1)知，BO⊥面APC，因此VP－BCE＝VB－APC＝··S△APC·BO＝. 17．G4，G5，G7[2013·北京卷] 如圖1－5，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，P

34、A⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)．求證： (1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD. 圖1－5 17．證明：(1)因?yàn)槠矫鍼AD⊥底面ABCD，且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線AD，所以PA⊥底面ABCD. (2)因?yàn)锳B∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點(diǎn)， 所以AB∥DE，且AB＝DE， 所以ABED為平行四邊形， 所以BE∥AD. 又因?yàn)锽E平面PAD，AD平面PAD， 所以BE∥平面PAD. (3)因?yàn)锳B⊥AD，而且ABED為平行四邊形， 所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD， 所

35、以PA⊥CD. 又因?yàn)锳D∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD， 所以CD⊥PD. 因?yàn)镋和F分別是CD和PC的中點(diǎn)， 所以PD∥EF， 所以CD⊥EF， 所以CD⊥平面BEF， 所以平面BEF⊥平面PCD. 19．G5、G11[2013·全國(guó)卷] 如圖1－3所示，四棱錐P—ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形． 圖1－3 (1)證明：PB⊥CD； (2)求點(diǎn)A到平面PCD的距離． 19．解：(1)證明：取BC的中點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)DE，則四邊形ABED為正方形．過P作PO⊥平面ABCD，垂足為O.聯(lián)結(jié)OA，OB，OD

36、，OE.由△PAB和△PAD都是等邊三角形知PA＝PB＝PD， 所以O(shè)A＝OB＝OD，即點(diǎn)O為正方形ABED對(duì)角線的交點(diǎn)．故OE⊥BD，從而PB⊥OE.因?yàn)镺是BD的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)，所以O(shè)E∥CD. 因此PB⊥CD. (2)取PD的中點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)OF，則OF∥PB. 由(1)知，PB⊥CD，故OF⊥CD. 又OD＝BD＝，OP＝＝， 故△POD為等腰三角形，因此OF⊥PD. 又PD∩CD＝D，所以O(shè)F⊥平面PCD. 因?yàn)锳E∥CD，CD平面PCD，AE平面PCD，所以AE∥平面PCD. 因此O到平面PCD的距離OF就是A到平面PCD的距離，而OF＝PB＝1， 所

37、以點(diǎn)A到平面PCD的距離為1. 18．G1，G4，G5[2013·廣東卷] 如圖1－4(1)，在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)G，將△ABF沿AF折起，得到如圖1－4(2)所示的三棱錐A－BCF，其中BC＝. 圖1－4 (1)證明：DE∥平面BCF； (2)證明：CF⊥平面ABF； (3)當(dāng)AD＝時(shí)，求三棱錐F－DEG的體積． 18．解： 8．G4、G5[2013·廣東卷] 設(shè)l為直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是(　　) A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若l⊥α，l⊥β，則α∥β

38、C．若l⊥α，l∥β，則α∥β D．若α⊥β，l∥α，則l⊥β 8．B　[解析] 根據(jù)空間平行、垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)，易知選B. 16．G4，G5[2013·江蘇卷] 如圖1－2，在三棱錐S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.過A作AF⊥SB，垂足為F，點(diǎn)E，G分別是棱SA，SC的中點(diǎn)． 求證：(1)平面EFG∥平面ABC； (2)BC⊥SA. 圖1－2 16．證明：(1)因?yàn)锳S＝AB，AF⊥SB，垂足為F，所以F是SB的中點(diǎn)．又因?yàn)镋是SA的中點(diǎn)，所以EF∥AB. 因?yàn)镋F平面ABC，AB平面ABC， 所以EF∥平面ABC. 同理EG

39、∥平面ABC.又EF∩EG＝E， 所以平面EFG∥平面ABC. (2)因?yàn)槠矫鍿AB⊥平面SBC，且交線為SB， 又AF平面SAB，AF⊥SB， 所以AF⊥平面SBC. 因?yàn)锽C平面SBC，所以AF⊥BC. 又因?yàn)锳B⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB平面SAB，所以BC⊥平面SAB. 因?yàn)镾A平面SAB，所以BC⊥SA. 19．G5，G7[2013·江西卷] 如圖1－7所示，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝，AA1＝3，E為CD上一點(diǎn)，DE＝1，EC＝3. (1)證明：BE⊥平面BB1C1C； (2)求點(diǎn)B1到平面EA

40、1C1的距離． 圖1－7 19．解：(1)證明：過B作CD的垂線交CD于F，則BF＝AD＝，EF＝AB－DE＝1，F(xiàn)C＝2. 在Rt△BEF中，BE＝. 在Rt△CFB中，BC＝. 在△BEC中，因?yàn)锽E2＋BC2＝9＝EC2，故BE⊥BC. 由BB1⊥平面ABCD得BE⊥BB1. 所以BE⊥平面BB1C1C. (2)三棱錐E－A1B1C1的體積V＝·AA1·S△A1B1C1＝. 在Rt△A1D1C1中，A1C1＝＝3 . 同理，EC1＝＝3 ，A1E＝＝2 . 故S△A1C1E＝3 . 設(shè)點(diǎn)B1到平面EA1C1的距離為d，則三棱錐B1－A1C1E的體積 V＝

41、·d·S△A1C1E＝d， 從而d＝，d＝. 圖1－4 18．G4，G5[2013·遼寧卷] 如圖1－4，AB是圓O的直徑，PA垂直圓O所在的平面，C是圓O上的點(diǎn)． (1)求證：BC⊥平面PAC； (2)設(shè)Q為PA的中點(diǎn)，G為△AOC的重心，求證：QG∥平面PBC. 18．證明：(1)由AB是圓O的直徑，得AC⊥BC. 由PA⊥平面ABC，BC平面ABC，得PA⊥BC. 又PA∩AC＝A，PA平面PAC，AC平面PAC， 所以BC⊥平面PAC. (2)聯(lián)結(jié)OG并延長(zhǎng)交AC于M，聯(lián)結(jié)QM，QO， 由G為△AOC的重心，得M為AC中點(diǎn)， 由Q為PA中點(diǎn)，得QM

42、∥PC. 又O為AB中點(diǎn)，得OM∥BC. 因?yàn)镼M∩MO＝M，QM平面QMO. MO平面QMO， BC∩PC＝C，BC平面PBC，PC平面PBC， 所以平面QMO∥平面PBC. 因?yàn)镼G平面QMO， 所以QG∥平面PBC. 19．G4，G5[2013·山東卷] 如圖1－5，四棱錐P—ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點(diǎn)． (1)求證：CE∥平面PAD； (2)求證：平面EFG⊥平面EMN. 圖1－6 19．證明：(1)證法一：取PA的中點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)EH，DH. 因?yàn)镋為

43、PB的中點(diǎn)， 所以EH∥AB，EH＝AB. 又AB∥CD，CD＝AB， 所以EH∥CD，EH＝CD. 因此四邊形DCEH是平行四邊形． 所以CE∥DH. 又DH平面PAD，CE平面PAD， 因此CE∥平面PAD. 證法二：聯(lián)結(jié)CF. 因?yàn)镕為AB的中點(diǎn)， 所以AF＝AB. 又CD＝AB， 所以AF＝CD. 又AF∥CD， 所以四邊形AFCD為平行四邊形． 因此CF∥AD. 又CF平面PAD， 所以CF∥平面PAD. 因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)， 所以EF∥PA. 又EF平面PAD， 所以EF∥平面PAD. 因?yàn)镃F∩EF＝F， 故

44、平面CEF∥平面PAD. 又CE平面CEF， 所以CE∥平面PAD. (2)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)， 所以EF∥PA. 又AB⊥PA， 所以AB⊥EF. 同理可證AB⊥FG. 又EF∩FG＝F，EF平面EFG，F(xiàn)G平面EFG， 因此AB⊥平面EFG. 又M，N分別為PD，PC的中點(diǎn)， 所以MN∥CD. 又AB∥CD， 所以MN∥AB， 因此MN⊥平面EFG. 又MN平面EMN， 所以平面EFG⊥平面EMN. 19．G4，G5，G7，G11[2013·四川卷] 圖1－8 如圖1－8，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面AB

45、C，AB＝AC＝2AA1＝2，∠BAC＝120°，D，D1分別是線段BC，B1C1的中點(diǎn)，P是線段AD上異于端點(diǎn)的點(diǎn)． (1)在平面ABC內(nèi)，試作出過點(diǎn)P與平面A1BC平行的直線l，說明理由，并證明直線l⊥平面ADD1A1； (2)設(shè)(1)中的直線l交AC于點(diǎn)Q，求三棱錐A1－QC1D的體積．(錐體體積公式：V＝Sh，其中S為底面面積，h為高) 19．解：(1)如圖，在平面ABC內(nèi)，過點(diǎn)P作直線l∥BC，因?yàn)閘在平面A1BC外，BC在平面A1BC內(nèi)，由直線與平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC. 由已知，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)， 所以，BC⊥AD，則直線l⊥AD. 因此

46、AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥直線l. 又因?yàn)锳D，AA1在平面ADD1A1內(nèi)，且AD與AA1相交， 所以直線l⊥平面ADD1A1. (2)過D作DE⊥AC于E. 因?yàn)锳A1⊥平面ABC，所以DE⊥AA1. 又因?yàn)锳C，AA1在平面AA1C1C內(nèi)，且AC與AA1相交， 所以DE⊥平面AA1C1C. 由AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，有AD＝1，∠DAC＝60°， 所以在△ACD中，DE＝AD＝. 又S△A1QC1＝A1C1·AA1＝1，所以 VA1－QC1D＝VD－A1QC1＝DE·S△A1QC1＝××1＝. 因此三棱錐A1－QC1D的體積是. 17．G4，G5、

47、G11[2013·天津卷] 如圖1－3所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABC，且各棱長(zhǎng)均相等，D，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC，A1C1的中點(diǎn)． (1)證明EF∥平面A1CD； (2)證明平面A1CD⊥平面A1ABB1； (3)求直線BC與平面A1CD所成角的正弦值． 圖1－3 17．解：(1)證明：如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，聯(lián)結(jié)ED，在△ABC中，因?yàn)镈，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以DE＝AC且DE∥AC，又因?yàn)镕為A1C1的中點(diǎn)，可得A1F＝DE，且A1F∥DE，即四邊形A1DEF為平行四邊形，所以EF∥

48、DA1.又EF平面A1CD，DA1平面A1CD，所以，EF∥平面A1CD. (2)證明：由于底面ABC是正三角形，D為AB的中點(diǎn)，故CD⊥AB，又由于側(cè)棱AA1⊥底面ABC，CD平面ABC，所以A1A⊥CD，又A1A∩AB＝A，因此CD⊥平面A1ABB1，而CD平面A1CD，所以平面A1CD⊥平面A1ABB1. (3)在平面A1ABB1內(nèi)，過點(diǎn)B作BG⊥A1D交直線A1D于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)CG，由于平面A1CD⊥平面A1ABB1，而直線A1D是平面A1CD與平面A1ABB1的交線，故BG⊥平面A1CD，由此得∠BCG為直線BC與平面A1CD所成的角． 設(shè)三棱柱各棱長(zhǎng)為a，可得A1D＝，

49、由△A1AD∽△BGD，易得BG＝.在Rt△BGC中，sin∠BCG＝＝. 所以直線BC與平面A1CD所成角的正弦值為. 19．G5[2013·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ] 如圖1－5所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°. (1)證明：AB⊥A1C； (2)若AB＝CB＝2，A1C＝，求三棱柱ABC－A1B1C1的體積． 圖1－5 19．解：(1)取AB的中點(diǎn)O，聯(lián)結(jié)OC，OA1，A1B， 因?yàn)镃A＝CB，所以O(shè)C⊥AB. 由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B為等邊三角形，所以O(shè)A1⊥AB. 因?yàn)镺C∩OA1＝O，所以

50、AB⊥平面OA1C. 又A1C平面OA1C，故AB⊥A1C. (2)由題設(shè)知△ABC與△AA1B都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以O(shè)C＝OA1＝. 又A1C＝，則A1C2＝OC2＋OA，故OA1⊥OC. 因?yàn)镺C∩AB＝O，所以O(shè)A1⊥平面ABC，OA1為三棱柱ABC－A1B1C1的高． 又△ABC的面積S△ABC＝，故三棱柱ABC－A1B1C1的體積V＝S△ABC·OA1＝3. 4．G4，G5[2013·浙江卷] 設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面(　　) A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m∥α，m∥β，則α∥β C．若m∥n，m⊥α，則n⊥α D．若m

51、∥α，α⊥β，則m⊥β 4．C　[解析] 對(duì)于選項(xiàng)C，若m∥n，m⊥α，易得n⊥α.所以選擇C. 19．G2和G5[2013·重慶卷] 如圖1－4所示，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2 ，BC＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝. (1)求證：BD⊥平面PAC； (2)若側(cè)棱PC上的點(diǎn)F滿足PF＝7FC，求三棱錐P－BDF的體積． 圖1－4 19．解：(1)證明：因?yàn)锽C＝CD，即△BCD為等腰三角形，又∠ACB＝∠ACD，故BD⊥AC. 因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以PA⊥BD，從而BD與平面PAC內(nèi)兩條相交直線PA，AC都垂直，所以BD⊥平面PAC. (

52、2)三棱錐P－BCD的底面BCD的面積S△BCD＝BC·CD·sin∠BCD＝·2·2·sin＝. 由PA⊥底面ABCD，得 VP－BCD＝·S△BCD·PA＝××2 ＝2. 由PF＝7FC，得三棱錐F－BCD的高為PA，故VF－BCD＝·S△BCD·PA＝×××2 ＝， 所以VP－BDF＝VP－BCD－VF－BCD＝2－＝. G6三垂線定理 8．G1，G6[2013·北京卷] 如圖1－2，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為對(duì)角線BD1的三等分點(diǎn)，P到各頂點(diǎn)的距離的不同取值有(　　) 圖1－2 A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè) 8．B　

53、[解析] 設(shè)棱長(zhǎng)為1，∵BD1＝，∴BP＝，D1P＝.聯(lián)結(jié)AD1，B1D1，CD1，得△ABD1≌△CBD1≌△B1BD1， ∴∠ABD1＝∠CBD1＝∠B1BD1，且cos∠ABD1＝， 聯(lián)結(jié)AP，PC，PB1，則有△ABP≌△CBP≌△B1BP， ∴AP＝CP＝B1P＝，同理DP＝A1P＝C1P＝1， ∴P到各頂點(diǎn)的距離的不同取值有4個(gè)． G7　棱柱與棱錐　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 17．G4，G5，G7[2013·北京卷] 如圖1－5，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是C

54、D和PC的中點(diǎn)．求證： (1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD. 圖1－5 17．證明：(1)因?yàn)槠矫鍼AD⊥底面ABCD，且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線AD，所以PA⊥底面ABCD. (2)因?yàn)锳B∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點(diǎn)， 所以AB∥DE，且AB＝DE， 所以ABED為平行四邊形， 所以BE∥AD. 又因?yàn)锽E平面PAD，AD平面PAD， 所以BE∥平面PAD. (3)因?yàn)锳B⊥AD，而且ABED為平行四邊形， 所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD， 所以PA⊥CD. 又因?yàn)?/p>

55、AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD， 所以CD⊥PD. 因?yàn)镋和F分別是CD和PC的中點(diǎn)， 所以PD∥EF， 所以CD⊥EF， 所以CD⊥平面BEF， 所以平面BEF⊥平面PCD. 10．G2，G7[2013·北京卷] 某四棱錐的三視圖如圖1－3所示，該四棱錐的體積為________． 圖1－3 10．3　[解析] 正視圖的長(zhǎng)為3，側(cè)視圖的長(zhǎng)為3，因此，該四棱錐底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，且高為1，因此V＝×(3×3)×1＝3. 8．G7[2013·江蘇卷] 如圖1－1，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，AA1的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐F－ADE的體積為V

56、1，三棱柱A1B1C1－ABC的體積為V2，則V1∶V2＝________． 圖1－1 8．1∶24　[解析] 設(shè)三棱柱的底面積為S，高為h，則V2＝Sh，又D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，AA1的中點(diǎn)，所以S△AED＝S，且三棱錐F－ADE的高為h，故V1＝S△AED·h＝·S·h＝Sh，所以V1∶V2＝1∶24. 19．G5，G7[2013·江西卷] 如圖1－7所示，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝，AA1＝3，E為CD上一點(diǎn)，DE＝1，EC＝3. (1)證明：BE⊥平面BB1C1C； (2)求點(diǎn)B1到平面EA1C1的距離． 圖

57、1－7 19．解：(1)證明：過B作CD的垂線交CD于F，則BF＝AD＝，EF＝AB－DE＝1，F(xiàn)C＝2. 在Rt△BEF中，BE＝. 在Rt△CFB中，BC＝. 在△BEC中，因?yàn)锽E2＋BC2＝9＝EC2，故BE⊥BC. 由BB1⊥平面ABCD得BE⊥BB1. 所以BE⊥平面BB1C1C. (2)三棱錐E－A1B1C1的體積V＝·AA1·S△A1B1C1＝. 在Rt△A1D1C1中，A1C1＝＝3 . 同理，EC1＝＝3 ，A1E＝＝2 . 故S△A1C1E＝3 . 設(shè)點(diǎn)B1到平面EA1C1的距離為d，則三棱錐B1－A1C1E的體積 V＝·d·S△A1C1E＝d

58、， 從而d＝，d＝. 18．G4，G7，G11[2013·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ] 如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)． (1)證明：BC1∥平面A1CD； (2)設(shè)AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2，求三棱錐C－A1DE的體積． 圖1－7 18．解：(1)證明：聯(lián)結(jié)AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1中點(diǎn)．又D是AB中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DF，則BC1∥DF.因?yàn)镈F平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD. 圖1－8 (2)因?yàn)锳BC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.由已知AC＝CB，D為AB的中點(diǎn)，所以CD⊥AB.又A

59、A1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1. 由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2 得∠ACB＝90°，CD＝，A1D＝，DE＝，A1E＝3， 故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D. 所以VC－A1DE＝××××＝1. 19．G4，G5，G7，G11[2013·四川卷] 圖1－8 如圖1－8，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1＝2，∠BAC＝120°，D，D1分別是線段BC，B1C1的中點(diǎn)，P是線段AD上異于端點(diǎn)的點(diǎn)． (1)在平面ABC內(nèi)，試作出過點(diǎn)P與平面A1BC平行的直線l，說明理由，并證明直線l⊥平面ADD1A1；

60、(2)設(shè)(1)中的直線l交AC于點(diǎn)Q，求三棱錐A1－QC1D的體積．(錐體體積公式：V＝Sh，其中S為底面面積，h為高) 19．解：(1)如圖，在平面ABC內(nèi)，過點(diǎn)P作直線l∥BC，因?yàn)閘在平面A1BC外，BC在平面A1BC內(nèi)，由直線與平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC. 由已知，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)， 所以，BC⊥AD，則直線l⊥AD. 因此AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥直線l. 又因?yàn)锳D，AA1在平面ADD1A1內(nèi)，且AD與AA1相交， 所以直線l⊥平面ADD1A1. (2)過D作DE⊥AC于E. 因?yàn)锳A1⊥平面ABC，所以DE⊥AA1. 又因?yàn)锳C

61、，AA1在平面AA1C1C內(nèi)，且AC與AA1相交， 所以DE⊥平面AA1C1C. 由AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，有AD＝1，∠DAC＝60°， 所以在△ACD中，DE＝AD＝. 又S△A1QC1＝A1C1·AA1＝1，所以 VA1－QC1D＝VD－A1QC1＝DE·S△A1QC1＝××1＝. 因此三棱錐A1－QC1D的體積是. 8．G2和G7[2013·重慶卷] 某幾何體的三視圖如圖1－3所示，則該幾何體的表面積為(　　) 圖1－3 A．180 B．200 C．220 D．240 8．D　[解析] 該幾何體為直四棱柱，其高為10，底面是上底為2，下底為8，

62、高為4，其腰為5的等腰梯形，所以底面面積和為(2＋8)×4×2＝40.四個(gè)側(cè)面的面積和為(2＋8＋5×2)×10＝200，所以該直四棱柱的表面積為S＝40＋200＝240，故選D. G8　多面體與球　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10．G8[2013·天津卷] 已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若球的體積為，則正方體的棱長(zhǎng)為________． 10.　[解析] 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則π＝π，解之得a＝. 15．G8[2013·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ] 已知正四棱錐O－ABCD的體積為，底面邊長(zhǎng)為，則以O(shè)為球心，OA為半徑的球的表面積為________． 15．

63、24π　[解析] 設(shè)O到底面的距離為h，則×3×h＝h＝，OA＝＝，故球的表面積為4π×()2＝24π. 16．G8[2013·湖北卷] 我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測(cè)雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中積水深九寸，則平地降雨量是________寸． (注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸) 16．3　[解析] 積水深度為盆深的一半，故此時(shí)積水部分的圓臺(tái)上底面直徑為二尺，圓臺(tái)的高為九寸，故此時(shí)積水的體積是π(102＋62＋10×6)×9＝196×3π(立方寸)，盆口的面積是π

64、×142＝196π，所以平均降雨量是＝3寸． 15．G8[2013·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ] 已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn)，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O所得截面的面積為π，則球O的表面積為________． 15.　[解析] 截面為圓，由已知得該圓的半徑為1.設(shè)球的半徑為r，則AH＝r，所以O(shè)H＝r，所以r2＋12＝r2，r2＝，所以球的表面積是4πr2＝. G9　空間向量及運(yùn)算　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 G10　空間向量解決線面位置關(guān)系　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 G11　空間有與距離的求法　　　　　　　　　　　　　　　

65、　　　　 19．G5、G11[2013·全國(guó)卷] 如圖1－3所示，四棱錐P—ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形． 圖1－3 (1)證明：PB⊥CD； (2)求點(diǎn)A到平面PCD的距離． 19．解：(1)證明：取BC的中點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)DE，則四邊形ABED為正方形．過P作PO⊥平面ABCD，垂足為O.聯(lián)結(jié)OA，OB，OD，OE.由△PAB和△PAD都是等邊三角形知PA＝PB＝PD， 所以O(shè)A＝OB＝OD，即點(diǎn)O為正方形ABED對(duì)角線的交點(diǎn)．故OE⊥BD，從而PB⊥OE.因?yàn)镺是BD的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)，所以O(shè)E∥C

66、D. 因此PB⊥CD. (2)取PD的中點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)OF，則OF∥PB. 由(1)知，PB⊥CD，故OF⊥CD. 又OD＝BD＝，OP＝＝， 故△POD為等腰三角形，因此OF⊥PD. 又PD∩CD＝D，所以O(shè)F⊥平面PCD. 因?yàn)锳E∥CD，CD平面PCD，AE平面PCD，所以AE∥平面PCD. 因此O到平面PCD的距離OF就是A到平面PCD的距離，而OF＝PB＝1， 所以點(diǎn)A到平面PCD的距離為1. 11．G11[2013·全國(guó)卷] 已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于(　　) A. B. C. D. 11．A　[解析] 如圖，聯(lián)結(jié)AC，交BD于點(diǎn)O.由于BO⊥OC，BO⊥CC1，可得BO⊥平面OCC1，從而平面OCC1⊥平面BDC1，過點(diǎn)C作OC1的垂線交OC1于點(diǎn)E，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得CE⊥平面BDC1，∠CDE即為所求的線面角．設(shè)AB＝2，則OC＝，OC1＝＝3，所以CE＝＝＝，所以sin ∠CDE＝＝. 22．G11[2013·江蘇卷] 如圖1－2所示，在直三棱柱A1