Jwixcl高考數(shù)學難點突破 難點24 直線與圓錐曲線

秋風清，秋月明,落葉聚還散,寒鴉棲復驚。難點24 直線與圓錐曲線直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等.突出考查了數(shù)形結合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉化等數(shù)學思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計算能力較高，起到了拉開考生“檔次”，有利于選拔的功能.難點磁場()已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在坐標軸上，直線y=x+1與橢圓交于P和Q，且OPOQ，|PQ|=，求橢圓方程.案例探究例1如圖所示，拋物線y2=4x的頂點為O，點A的坐標為(5，0)，傾斜角為的直線l與線段OA相交(不經過點O或點A)且交拋物線于M、N兩點，求AMN面積最大時直線l的方程，并求AMN的最大面積.命題意圖：直線與圓錐曲線相交，一個重要的問題就是有關弦長的問題.本題考查處理直線與圓錐曲線相交問題的第一種方法“韋達定理法”.屬級題目.知識依托：弦長公式、三角形的面積公式、不等式法求最值、函數(shù)與方程的思想.錯解分析：將直線方程代入拋物線方程后，沒有確定m的取值范圍.不等式法求最值忽略了適用的條件.技巧與方法：涉及弦長問題，應熟練地利用韋達定理設而不求計算弦長，涉及垂直關系往往也是利用韋達定理，設而不求簡化運算.解：由題意，可設l的方程為y=x+m,5m0.由方程組,消去y,得x2+(2m4)x+m2=0 直線l與拋物線有兩個不同交點M、N，方程的判別式=(2m4)24m2=16(1m)0,解得m1,又5m0,m的范圍為(5，0)設M(x1,y1),N(x2,y2)則x1+x2=42m，x1·x2=m2,|MN|=4.點A到直線l的距離為d=.S=2(5+m),從而S2=4(1m)(5+m)2=2(22m)·(5+m)(5+m)2()3=128.S8,當且僅當22m=5+m,即m=1時取等號.故直線l的方程為y=x1，AMN的最大面積為8.例2已知雙曲線C：2x2y2=2與點P(1，2)(1)求過P(1，2)點的直線l的斜率取值范圍，使l與C分別有一個交點，兩個交點，沒有交點.(2)若Q(1，1)，試判斷以Q為中點的弦是否存在.命題意圖：第一問考查直線與雙曲線交點個數(shù)問題，歸結為方程組解的問題.第二問考查處理直線與圓錐曲線問題的第二種方法“差分法”，屬級題目.知識依托：二次方程根的個數(shù)的判定、兩點連線的斜率公式、中點坐標公式.錯解分析：第一問，求二次方程根的個數(shù)，忽略了二次項系數(shù)的討論.第二問，算得以Q為中點弦的斜率為2，就認為所求直線存在了.技巧與方法：涉及弦長的中點問題，常用“差分法”設而不求，將弦所在直線的斜率，弦的中點坐標聯(lián)系起來，相互轉化.解：(1)當直線l的斜率不存在時，l的方程為x=1,與曲線C有一個交點.當l的斜率存在時，設直線l的方程為y2=k(x1),代入C的方程，并整理得(2k2)x2+2(k22k)xk2+4k6=0 (*)()當2k2=0,即k=±時，方程(*)有一個根，l與C有一個交點()當2k20,即k±時=2(k22k)24(2k2)(k2+4k6)=16(32k)當=0,即32k=0,k=時，方程(*)有一個實根，l與C有一個交點.當0,即k,又k±,故當k或k或k時，方程(*)有兩不等實根，l與C有兩個交點.當0，即k時，方程(*)無解，l與C無交點.綜上知：當k=±,或k=，或k不存在時，l與C只有一個交點；當k,或k,或k時，l與C有兩個交點；當k時，l與C沒有交點.(2)假設以Q為中點的弦存在，設為AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，則2x12y12=2,2x22y22=2兩式相減得：2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=22(x1x2)=y1y1即kAB=2但漸近線斜率為±,結合圖形知直線AB與C無交點，所以假設不正確，即以Q為中點的弦不存在.例3如圖，已知某橢圓的焦點是F1(4，0)、F2(4，0)，過點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且|F1B|+|F2B|=10，橢圓上不同的兩點A(x1,y1),C(x2,y2)滿足條件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列.(1)求該弦橢圓的方程；(2)求弦AC中點的橫坐標；(3)設弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m，求m的取值范圍.命題意圖：本題考查直線、橢圓、等差數(shù)列等基本知識，一、二問較簡單，第三問巧妙地借助中垂線來求參數(shù)的范圍，設計新穎，綜合性，靈活性強，屬級題目.知識依托：橢圓的定義、等差數(shù)列的定義，處理直線與圓錐曲線的方法.錯解分析：第三問在表達出“k=y0”時，忽略了“k=0”時的情況，理不清題目中變量間的關系.技巧與方法：第一問利用橢圓的第一定義寫方程；第二問利用橢圓的第二定義(即焦半徑公式)求解，第三問利用m表示出弦AC的中點P的縱坐標y0,利用y0的范圍求m的范圍.解：(1)由橢圓定義及條件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b=3.故橢圓方程為=1.(2)由點B(4,yB)在橢圓上，得|F2B|=|yB|=.因為橢圓右準線方程為x=,離心率為，根據(jù)橢圓定義，有|F2A|=(x1),|F2C|=(x2)，由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列，得(x1)+(x2)=2×,由此得出：x1+x2=8.設弦AC的中點為P(x0,y0),則x0=4.(3)解法一：由A(x1,y1),C(x2,y2)在橢圓上.得得9(x12x22)+25(y12y22)=0,即9×=0(x1x2)將 (k0)代入上式，得9×4+25y0()=0(k0)即k=y0(當k=0時也成立).由點P(4，y0)在弦AC的垂直平分線上，得y0=4k+m,所以m=y04k=y0y0=y0.由點P(4，y0)在線段BB(B與B關于x軸對稱)的內部，得y0,所以m.解法二：因為弦AC的中點為P(4,y0)，所以直線AC的方程為yy0=(x4)(k0)將代入橢圓方程=1,得(9k2+25)x250(ky0+4)x+25(ky0+4)225×9k2=0所以x1+x2=8,解得k=y0.(當k=0時也成立)(以下同解法一).錦囊妙計1.直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題，實際上是研究它們的方程組成的方程是否有實數(shù)解成實數(shù)解的個數(shù)問題，此時要注意用好分類討論和數(shù)形結合的思想方法.2.當直線與圓錐曲線相交時：涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設而不求計算弦長(即應用弦長公式)；涉及弦長的中點問題，常用“差分法”設而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯(lián)系起來，相互轉化.同時還應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關系靈活轉化，往往就能事半功倍.殲滅難點訓練一、選擇題1.()斜率為1的直線l與橢圓+y2=1相交于A、B兩點，則|AB|的最大值為( )A.2B.C.D.2.()拋物線y=ax2與直線y=kx+b(k0)交于A、B兩點，且此兩點的橫坐標分別為x1,x2,直線與x軸交點的橫坐標是x3,則恒有( )A.x3=x1+x2B.x1x2=x1x3+x2x3C.x1+x2+x3=0D.x1x2+x2x3+x3x1=0二、填空題3.()已知兩點M(1，)、N(4，)，給出下列曲線方程：4x+2y1=0,x2+y2=3,+y2=1,y2=1,在曲線上存在點P滿足|MP|=|NP|的所有曲線方程是_.4.()正方形ABCD的邊AB在直線y=x+4上，C、D兩點在拋物線y2=x上，則正方形ABCD的面積為_.5.()在拋物線y2=16x內，通過點(2，1)且在此點被平分的弦所在直線的方程是_.三、解答題6.()已知拋物線y2=2px(p0),過動點M(a,0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B，且|AB|2p.(1)求a的取值范圍.(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點N，求NAB面積的最大值.7.()已知中心在原點，頂點A1、A2在x軸上，離心率e=的雙曲線過點P(6，6).(1)求雙曲線方程.(2)動直線l經過A1PA2的重心G，與雙曲線交于不同的兩點M、N，問：是否存在直線l,使G平分線段MN，證明你的結論.8.()已知雙曲線C的兩條漸近線都過原點，且都以點A(，0)為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線的一個頂點A1與A點關于直線y=x對稱.(1)求雙曲線C的方程.(2)設直線l過點A，斜率為k,當0k1時，雙曲線C的上支上有且僅有一點B到直線l的距離為，試求k的值及此時B點的坐標.參考答案難點磁場解：設橢圓方程為mx2+ny2=1(m0,n0)，P(x1,y1),Q(x2,y2)由 得(m+n)x2+2nx+n1=0,=4n24(m+n)(n1)0,即m+nmn0,由OPOQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,+1=0,m+n=2又22,將m+n=2,代入得m·n=由、式得m=,n=或m=,n=故橢圓方程為+y2=1或x2+y2=1.殲滅難點訓練一、1.解析：弦長|AB|=.答案：C2.解析：解方程組,得ax2kxb=0,可知x1+x2=,x1x2=,x3=,代入驗證即可.答案：B二、3.解析：點P在線段MN的垂直平分線上，判斷MN的垂直平分線于所給曲線是否存在交點.答案：4.解析：設C、D所在直線方程為y=x+b,代入y2=x,利用弦長公式可求出|CD|的長，利用|CD|的長等于兩平行直線y=x+4與y=x+b間的距離，求出b的值，再代入求出|CD|的長.答案：18或505.解析：設所求直線與y2=16x相交于點A、B，且A(x1,y1),B(x2,y2),代入拋物線方程得y12=16x1,y22=16x2,兩式相減得，(y1+y2）(y1y2)=16(x1x2).即kAB=8.故所求直線方程為y=8x15.答案：8xy15=0三、6.解：(1)設直線l的方程為：y=xa,代入拋物線方程得(xa)2=2px,即x22(a+p)x+a2=0|AB|=2p.4ap+2p2p2,即4app2又p0,a.(2)設A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中點 C(x,y),由(1)知，y1=x1a,y2=x2a,x1+x2=2a+2p,則有x=p.線段AB的垂直平分線的方程為yp=(xap),從而N點坐標為(a+2p,0）點N到AB的距離為從而SNAB=當a有最大值時，S有最大值為p2.7.解：(1)如圖，設雙曲線方程為=1.由已知得,解得a2=9,b2=12.所以所求雙曲線方程為=1.(2)P、A1、A2的坐標依次為(6,6)、(3，0)、(3，0），其重心G的坐標為(2，2）假設存在直線l，使G(2，2)平分線段MN，設M(x1,y1)，N(x2,y2).則有，kl=l的方程為y= (x2)+2,由,消去y,整理得x24x+28=0.=164×280,所求直線l不存在.8.解：(1)設雙曲線的漸近線為y=kx,由d=1,解得k=±1.即漸近線為y=±x,又點A關于y=x對稱點的坐標為(0，).a=b,所求雙曲線C的方程為x2y2=2.(2)設直線l：y=k(x)(0k1,依題意B點在平行的直線l上，且l與l間的距離為.設直線l：y=kx+m,應有,化簡得m2+2km=2.把l代入雙曲線方程得(k21)x2+2mkx+m22=0,由=4m2k24(k21)(m22)=0.可得m2+2k2=2、兩式相減得k=m,代入得m2=,解設m=,k=,此時x=,y=.故B(2,).內容總結（1）秋風清，秋月明,落葉聚還散,寒鴉棲復驚