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專題能力訓練6 函數(shù)與方程及函數(shù)的應用
一、能力突破訓練
1.f(x)=- +log2x的一個零點落在下列哪個區(qū)間( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
2.設(shè)函數(shù)f(x)的零點為x1,函數(shù)g(x)=4x+2x-2的零點為x2,若|x1-x2|>,則f(x)可以是( )
A.f(x)=2x- B.f(x)=-x2+x-
C.f(x)=1-10x D.f(x)=ln(8x-2)
3.如圖,有一直角墻角,兩邊的長度足夠長,若P處有一棵樹與兩墻的距離分別是4 m和a m(0
0),雨速沿E移動方向的分速度為c(c∈R).E移動時單位時間內(nèi)的淋雨量包括兩部分:①P或P的平行面(只有一個面淋雨)的淋雨量,假設(shè)其值與|v-c|S成正比,比例系數(shù)為110;②其他面的淋雨量之和,其值為.記y為E移動過程中的總淋雨量.當移動距離d=100,面積S=時,
(1)寫出y的表達式;
(2)設(shè)02,函數(shù)g(x)=3-f(2-x),則函數(shù)y=f(x)-g(x)的零點個數(shù)為( )
A.2 B.3 C.4 D.5
13.設(shè)函數(shù)f(x)=2x-a,x<1,4(x-a)(x-2a),x≥1.
(1)若a=1,則f(x)的最小值為 ;
(2)若f(x)恰有2個零點,則實數(shù)a的取值范圍是 .
14.已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬元,每生產(chǎn)1千件需另投入2.7萬元.設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完,每千件的銷售收入為R(x)萬元,且R(x)=10.8-130x2,010.
(1)寫出年利潤W(單位:萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(單位:千件)的函數(shù)解析式;
(2)當年產(chǎn)量為多少千件時,該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大.(注:年利潤=年銷售收入-年總成本)
15.甲方是一農(nóng)場,乙方是一工廠,由于乙方生產(chǎn)須占用甲方的資源,因此甲方有權(quán)向乙方索賠以彌補經(jīng)濟損失并獲得一定凈收入,在乙方不賠付的情況下,乙方的年利潤x(單位:元)與年產(chǎn)量q(單位:t)滿足函數(shù)關(guān)系:x=2 000q.若乙方每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲方s元(以下稱s為賠付價格).
(1)將乙方的年利潤w(單位:元)表示為年產(chǎn)量q(單位:t)的函數(shù),并求出乙方獲得最大利潤的年產(chǎn)量;
(2)在乙方年產(chǎn)量為q(單位:t)時,甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟損失金額y=0.002q2(單位:元),在乙方按照獲得最大利潤的產(chǎn)量進行生產(chǎn)的前提下,甲方要在索賠中獲得最大凈收入,應向乙方要求的賠付價格s是多少?
專題能力訓練6 函數(shù)與方程及函數(shù)的應用
一、能力突破訓練
1.B 解析 由題意得f(x)單調(diào)遞增,f(1)=-1<0,f(2)= >0,所以f(x)=- +log2x的零點落在區(qū)間(1,2)內(nèi).
2.C 解析 依題意得g14=2+12-2<0,g12=1>0,則x2∈14,12.若f(x)=1-10x,
則有x1=0,此時|x1-x2|>14,因此選C.
3.B 解析 設(shè)AD長為x cm,則CD長為(16-x)cm,
又因為要將點P圍在矩形ABCD內(nèi),
所以a≤x≤12,則矩形ABCD的面積S=x(16-x).
當00恒成立,則函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)遞增的,
因為f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,所以函數(shù)f(x)的零點a∈(0,1).
由題意,知g(x)=1x+1>0,
則函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)遞增的.
又g(1)=ln 1+1-2=-1<0,g(2)=ln 2+2-2=ln 2>0,則函數(shù)g(x)的零點b∈(1,2).
綜上,可得0500,
整理,得y=x,0500.
∵0.9200=180>100,
∴A商品的價格為100元.∵0.9500=450,
∴B商品的價格為500元.當x=100+500=600時,y=100+0.7600=520,即若丙一次性購買A,B兩件商品,則應付款520元.
9.解 (1)g(x)=12|x|+2=12|x|+2,
因為|x|≥0,所以0<12|x|≤1,
即20時,由2x-12x-2=0整理,得(2x)2-22x-1=0,(2x-1)2=2,
解得2x=12.因為2x>0,所以2x=1+2,
即x=log2(1+2).
10.解 (1)由題意知,E移動時單位時間內(nèi)的淋雨量為320|v-c|+,故y=100v320|v-c|+12=5v(3|v-c|+10)(v>0).
(2)由(1)知,當02,所以f(2-x)=2+(2-x),2-x<0,2-(2-x),0≤2-x≤2,(2-x-2)2,2-x>2?f(2-x)=x2,x<0,x,0≤x≤2,4-x,x>2,
f(x)+f(2-x)=x2+x+2,x<0,2,0≤x≤2,x2-5x+8,x>2,
所以函數(shù)y=f(x)-g(x)=f(x)-3+f(2-x)=x2+x-1,x<0,-1,0≤x≤2,x2-5x+5,x>2.
其圖象如圖所示.
顯然函數(shù)圖象與x軸有2個交點,故函數(shù)有2個零點.
13.(1)-1 (2)12,1∪[2,+∞) 解析 (1)當a=1時,f(x)=2x-1,x<1,4(x-1)(x-2),x≥1,
當x<1時,2x-1∈(-1,1);
當x≥1時,4(x-1)(x-2)∈[-1,+∞).
故f(x)的最小值為-1.
(2)若函數(shù)f(x)=2x-a的圖象在x<1時與x軸有一個交點,則a>0,并且當x=1時,f(1)=2-a>0,所以010時,W=xR(x)-(10+2.7x)=98-1 0003x-2.7x.
故W=8.1x-x330-10,010.
(2)①當00;當x∈(9,10]時,W<0.
所以當x=9時,W取得最大值,
即Wmax=8.19-13093-10=38.6.
②當x>10時,W=98-1 0003x+2.7x≤98-21 0003x2.7x=38,
當且僅當1 0003x=2.7x,即x=1009時,W取得最大值38.
綜合①②知:當x=9時,W取得最大值38.6,
故當年產(chǎn)量為9千件時,該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲的年利潤最大.
15.解 (1)因為賠付價格為s元/噸,所以乙方的實際年利潤為w=2 000q-sq(q≥0).
因為w=2 000q-sq=-sq-1 000s2+1 0002s,
所以當q=1 000s2時,w取得最大值.所以乙方取得最大利潤的年產(chǎn)量q=1 000s2 t.
(2)設(shè)甲方凈收入為v元,則v=sq-0.002q2,
將q=1 000s2代入上式,得到甲方凈收入v與賠付價格s之間的函數(shù)關(guān)系式:
v=1 0002s-21 0003s4.
又v=-1 0002s2+81 0003s5=1 0002(8 000-s3)s5,
令v=0得s=20.當s<20時,v>0;當s>20時,v<0.所以當s=20時,v取得最大值.
因此甲方向乙方要求賠付價格s為20元/噸時,獲最大凈收入.
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