遼寧省北票市高中數(shù)學 第三章 基本初等函數(shù)(Ⅰ)3.2.3 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關系（1）課件 新人教B版必修1

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1、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關系數(shù)的關系(1) 一般地，把函數(shù)一般地，把函數(shù) 叫做對數(shù)函數(shù)，其中叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義是自變量，函數(shù)的定義域是域是 , 01, 0logaaxya且 一般地,函數(shù) (a0且a1)叫做指數(shù)函數(shù),其中x是自變量. 函數(shù)的定義域是 (-,+). xay 1.指數(shù)函數(shù)的概念對數(shù)函數(shù)的概念值域是值域是(-,+)值域是值域是(0,+) 一般地，把函數(shù)一般地，把函數(shù) 叫做對數(shù)函數(shù)，其中叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義是自變量，函數(shù)的定義域是域是 , 01, 0logaaxya且 一般地,函數(shù) (a0且a1)叫做指數(shù)函數(shù),其中x是自變量. 函數(shù)

2、的定義域是 (-,+). xay 1.指數(shù)函數(shù)的概念對數(shù)函數(shù)的概念值域是值域是(-,+)值域是值域是(0,+) 對比同以a(a0且a)為底數(shù)的對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)，看看自變量與函數(shù)值之間有什么關系？兩函數(shù)的定義域和值域交叉對應。兩函數(shù)的定義域和值域交叉對應。0a1a1圖圖象象定義域R值域(0,+(0,+) )性質(zhì)(1)過定點（0，1），即x0時，y1。(2)在R上是減函數(shù)(2)在R上是增函數(shù)Oxy(0,1)y=1xay Oxy(0,1)y=1xay 圖圖 象象定義域定義域值值 域域性性 質(zhì)質(zhì)a10a1 x=y x y O y=logax y=ax 0a1 x=y xay xyalog函數(shù)與的圖象

3、關于關于xy對稱對稱 對比同以a(a0且a)為底數(shù)的對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)，看看兩函數(shù)的圖像之間有什么關系？兩函數(shù)的圖像總是關于直線兩函數(shù)的圖像總是關于直線y=x對稱。對稱。 同以a(a0且a)為底數(shù)的對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)，看看自變量與函數(shù)值之間、兩函數(shù)的兩函數(shù)的圖像之間圖像之間有什么關系：兩函數(shù)的定義域和值域交叉對應；兩函數(shù)的定義域和值域交叉對應；兩函數(shù)的圖像總是關于直線兩函數(shù)的圖像總是關于直線y=x對稱。對稱。 像這樣以a為底的對數(shù)函數(shù)，自變量x和函數(shù)值y分別是以a為底的指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值和自變量，我們稱有這種特殊關系的兩個函數(shù)互為反函數(shù) 1.反函數(shù)定義反函數(shù)定義 一般地，函數(shù)一般地，函數(shù)y=f(

4、x) (x A),設它的值域為設它的值域為C,我們根據(jù)這個函數(shù)中我們根據(jù)這個函數(shù)中x,y的關系，用的關系，用y把把x表示表示出，得到出，得到x= (y) ,如果對于如果對于 y在在 C中的任何一個中的任何一個值，通過值，通過x= (y) ,x在在A中都有中都有唯一唯一的值和它對應，的值和它對應，那么，那么，x= (y) 就表示就表示y是自變量，是自變量，x是自變量是自變量y的的函數(shù)，這樣的函數(shù)函數(shù)，這樣的函數(shù)x= (y) （y C)叫做函數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)(xA)的反函數(shù)的反函數(shù).記作：記作：x=f-1(y). 反函數(shù)反函數(shù)x=f-1(y)中，中，x為因變量，為因變量，y為自變量，為自變量

5、，為和習慣一致，將為和習慣一致，將x,y互換得：互換得： y=f-1(x) ( xC).知識要點知識要點思考：是否所有的函數(shù)都有反函數(shù)？f(x)=x2有沒有反函數(shù)？f(x)=x2， 有沒有反函數(shù)？ 1 , 0 x結論：只有函數(shù)對應的映射是一一映射時，才有反函數(shù)。小試牛刀小試牛刀2.求反函數(shù)的方法步驟求反函數(shù)的方法步驟：求出原函數(shù)的求出原函數(shù)的值域值域；即求出反函數(shù)的定義域；即求出反函數(shù)的定義域；由由 y = f ( x ) 反解反解出出 x = f 1 ( y )(把把 x 用用 y 表表 示示出來出來)；將將 x = f 1 ( y ) 改寫成改寫成 y = f 1 ( x )，并寫出反，并

6、寫出反函數(shù)的函數(shù)的 定義域定義域(對調(diào)對調(diào) x = f 1 ( y ) 中的中的 x、y).如何求一個函數(shù)的反函數(shù)呢？如何求一個函數(shù)的反函數(shù)呢？提示：一定要注意原函數(shù)的值域。在求解反函數(shù)時，提示：一定要注意原函數(shù)的值域。在求解反函數(shù)時，往往都要寫出相應的定義域。往往都要寫出相應的定義域。范例范例例例1 求下列函數(shù)的反函數(shù)：求下列函數(shù)的反函數(shù)：3(2)1();23(3)1(0);(4)(,1)(11)31();yxxRxyxxyxRxxyxxR且,3113yxxy解得：由).(31Rxxy原函數(shù)的反函數(shù)為：解：解：例例1 求下列函數(shù)的反函數(shù)：求下列函數(shù)的反函數(shù)：3(1)31();23(3)1(0

7、);(4)(,1)1(2)1();yxxRxyxxyxRxxyxxR且解：解：, 1133yxxy解得：由).(13Rxxy原函數(shù)的反函數(shù)為：范例范例例例1 求下列函數(shù)的反函數(shù)：求下列函數(shù)的反函數(shù)：3(1)31();(2)1();2(3)1(0)3(4)(,1)1;yyxxRyxxRxxxyxRxx且解：解：21(0),(1) (1),yxxxyy由解得：2(1) (1).yxx原函數(shù)的反函數(shù)為：范例范例例例1 求下列函數(shù)的反函數(shù)：求下列函數(shù)的反函數(shù)：3(1)31();(2)1();(3)1(0)23(4)(,1)1;yxxRyxxRyxyxRxxxx且解：解：233(1)(2),12xyyx

8、xyxy由解得：3(,2),.2xyxR xx原函數(shù)的反函數(shù)為：范例范例3.原函數(shù)與反函數(shù)的聯(lián)系原函數(shù)與反函數(shù)的聯(lián)系AC值域值域CA定義域定義域反函數(shù)反函數(shù)函數(shù)函數(shù))(xfy )(1xfy 4.互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關系互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關系 一般地，函數(shù)一般地，函數(shù)y=f(x)的圖像和它的的圖像和它的反函數(shù)反函數(shù)y= f-1(x) 的圖的圖像關于直線像關于直線y=x對稱對稱.其增減性相同其增減性相同.釋意：釋意：如果點如果點(a,b)在函數(shù)在函數(shù)y=f(x)的圖的圖像上，那么點像上，那么點(b,a)必然在它的反函必然在它的反函數(shù)數(shù)y=f-1(x)的圖像上。換言之，如果的圖像上。換言之

9、，如果函數(shù)函數(shù)y=f(x)的圖像上有點的圖像上有點(a,b)，那么那么它的反函數(shù)它的反函數(shù)y=f-1(x)的圖像上必然有的圖像上必然有點點(b,a).知識要點知識要點例例2 函數(shù)函數(shù)f(x)loga (x1)(a0且且a1)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(1, 4)，求，求a的值的值. 若函數(shù)若函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過點的圖象經(jīng)過點(a, b)，則其反函數(shù)的圖象經(jīng)過點則其反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(b, a).小小 結：結：解解:依題意依題意,得得) 14(log1a. 3, 13log:a即a 思考如下問題：1、互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的單調(diào)性有怎樣的關系？2、如果一個函數(shù)是偶函數(shù)，它有沒有反函數(shù)？奇函數(shù)呢？如果有，它的反函數(shù)的奇偶性是怎樣的？關于反函數(shù)，你認識到了多少呢？請列出關于反函數(shù)，你認識到了多少呢？請列出幾個重要的結論 1、互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的單調(diào)性一致； 2、若一奇函數(shù)有反函數(shù)，則它的反函數(shù)也是奇函數(shù)；若函數(shù)為偶函數(shù)，則它沒有反函數(shù)； 3、若點P(m,n)在y=f(x)的圖象上，則點P(n,m)在其反函數(shù)的圖象上。快樂體驗快樂體驗