高中數(shù)學(xué) 第四章 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式4本講整合課件 新人教A版選修45

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1、本講整合答案：證明整除問題證明幾何問題伯努利不等式 專題一專題二專題一:對數(shù)學(xué)歸納法原理及步驟的理解1.數(shù)學(xué)歸納法的證明過程共有兩步,缺一不可,其中,第一步是奠基,第二步是假設(shè)與遞推.2.第一步是證明n取第一個(gè)可取值時(shí)命題成立,但不一定就是n=1.3.第二步證明過程中,必須用上歸納假設(shè),否則就不是用數(shù)學(xué)歸納法證明.專題一專題二例1用數(shù)學(xué)歸納法證明“對于任意x0的實(shí)數(shù),以及正整數(shù)n,都有xn+xn-2+xn-4+ n+1”時(shí),需驗(yàn)證的使命題成立的最小正整數(shù)值n0應(yīng)為 ()A.n0=1B.n0=2C.n0=1,2D.以上答案均不正確分析：根據(jù)n的取值條件以及不等式是否成立進(jìn)行確定.解析：由于nN+

2、,則n的最小值為n0=1.答案：A專題一專題二變式訓(xùn)練1某個(gè)命題與正整數(shù)有關(guān),如果當(dāng)n=k時(shí),該命題不成立,那么可推得當(dāng)n=k+1時(shí)命題也不成立,現(xiàn)在當(dāng)n=5時(shí),該命題成立,那么可推得()A.當(dāng)n=6時(shí)該命題不成立B.當(dāng)n=6時(shí)該命題成立C.當(dāng)n=4時(shí)該命題不成立D.當(dāng)n=4時(shí)該命題成立解析：依題意當(dāng)n=4時(shí)該命題不成立,則當(dāng)n=5時(shí),該命題也不成立.而當(dāng)n=5時(shí),該命題成立卻無法判斷n=6時(shí)該命題是不是成立,故選D.答案：D專題一專題二專題二:數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用分析：注意到這是與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明.專題一專題二專題一專題二變式訓(xùn)練2求證:2n+2n2,nN+. 證明：(

3、1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=21+2=4;右邊=1,左邊右邊;當(dāng)n=2時(shí),左邊=22+2=6,右邊=22=4,所以左邊右邊;當(dāng)n=3時(shí),左邊=23+2=10,右邊=32=9,所以左邊右邊.因此當(dāng)n=1,2,3時(shí),不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k3)時(shí)不等式成立,即2k+2k2.當(dāng)n=k+1時(shí),2k+1+2=22k+2=2(2k+2)-22k2-2=k2+2k+1+k2-2k-3=(k2+2k+1)+(k+1)(k-3)k2+2k+1=(k+1)2.所以2k+1+2(k+1)2.故當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立.由(1)(2)可知,不等式2n+2n2對于任何nN+都成立.專題一專題二例3已知y=f(x)

4、滿足f(n-1)=f(n)-lg an-1(n2,nN),且f(1)=-lg a,是否存在實(shí)數(shù),使f(n)=(n2+n-1)lg a,對任意nN+都成立?證明你的結(jié)論.分析：可先根據(jù)f(1),f(2)的值,建立關(guān)于,的方程組,求得,的值,然后再利用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論.解：由已知得f(n)=f(n-1)+lg an-1.令n=2,f(2)=f(1)+lg a=-lg a+lg a=0.又f(1)=(-1)lg a,專題一專題二專題一專題二變式訓(xùn)練3設(shè)Pn=(1+x)n,Qn=1+nx+ x2,nN+,x(-1,+),試比較Pn與Qn的大小,并加以證明. 解：(1)當(dāng)n=1,2時(shí),Pn=Qn.(2

5、)當(dāng)n3時(shí),若x(0,+),顯然有PnQn;若x=0,則Pn=Qn;若x(-1,0),則P3-Q3=x30,所以P3Q3.P4-Q4=4x3+x4=x3(4+x)0,所以P4Q4.猜想當(dāng)k3時(shí),PkQk.用數(shù)學(xué)歸納法證明如下.當(dāng)k=3時(shí),P3Q3成立.假設(shè)當(dāng)k=m時(shí)不等式成立,即PmQm.當(dāng)k=m+1時(shí),Pm+1=(1+x)Pm(1+x)Qm專題一專題二即當(dāng)k=m+1時(shí),不等式成立.所以當(dāng)n3,且x(-1,0)時(shí),PnQn.1234考點(diǎn):數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用1.(2017浙江高考)已知數(shù)列xn滿足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(nN+).證明:當(dāng)nN+時(shí),(1)0 xn+10.當(dāng)

6、n=1時(shí),x1=10,假設(shè)n=k時(shí),xk0,那么n=k+1時(shí),若xk+10,則00.因此xn0(nN+).所以xn=xn+1+ln(1+xn+1)xn+1.因此0 xn+10,即x0時(shí),f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)f(x)0時(shí),f(x)單調(diào)遞減.故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,0),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+).當(dāng)x0時(shí),f(x)f(0)=0,即1+xex.1234下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.()當(dāng)n=1時(shí),左邊=右邊=2,成立.1234所以當(dāng)n=k+1時(shí),也成立.根據(jù)()(),可知對一切正整數(shù)n都成立.1234.(2014陜西高考節(jié)選)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x),g(x)=xf(x),x0,其中f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x),nN+,求gn(x)的表達(dá)式.4