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小題標準練(三)
(40分鐘 80分)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|-5
2}.所以A∪B=R.
2.已知直線l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:x+ay+2=0,則“l(fā)1∥l2”是“a=-1”的 ( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
【解析】選B.由l1∥l2,可得aa=(a+2)1,解得a=2或a=-1,所以“l(fā)1∥l2”是“a=-1”的必要不充分條件.
3.向量a,b的夾角是60,|a|=2,|b|=1,則|2a-b|= ( )
A.13 B.13 C.7 D.7
【解析】選B.依題意,|2a-b|2=4a2-4ab+b2=16-4+1=13,故|2a-b|=13.
4.設(shè)x,y滿足約束條件3x+2y-6≤0,x≥0,y≥0,則z=x-y的取值范圍是 ( )
A.[-3,0] B.[-3,2]
C.[0,2] D.[0,3]
【解析】選B.繪制不等式組表示的可行域,結(jié)合目標函數(shù)的幾何意義可得函數(shù)在點A(0,3) 處取得最小值z=0-3=-3 . 在點B(2,0) 處取得最大值z=2-0=2.
5.已知角α的終邊上的一點的坐標為35,45,則cos2α1+sin2α= ( )
A.-17 B.17 C.-7 D.7
【解析】選A.由題意知tan α=43,所以cos2α1+sin2α=cos2α-sin2α1+2sinαcosα =cosα-sinαcosα+sinα=1-tanα1+tanα=1-431+43=-17.
6.某程序框圖如圖所示,若輸出的S=120,則判斷框內(nèi)為 ( )
A.k>4? B.k>5?
C.k>6? D.k>7?
【解析】選B.依題意,進行第一次循環(huán)時,k=1+1=2,S=21+2=4;進行第二次循環(huán)時,k=2+1=3,S=24+3=11;進行第三次循環(huán)時,k=3+1=4,S=211+4=26;進行第四次循環(huán)時,k=4+1=5,S=226+5=57;進行第五次循環(huán)時,k=5+1=6,S=257+6=120,
此時結(jié)束循環(huán),因此判斷框內(nèi)應(yīng)為“k>5?”.
7.一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是 ( )
A.64 B.72 C.80 D.112
【解析】選C.由三視圖得該幾何體為一個棱長為4的正方體與一個以正方體的一個面為底面,高為3的四棱錐的組合體,故其體積為43+13423=80.
8.已知等比數(shù)列{an}中,各項都是正數(shù),且a1,12a3,2a2成等差數(shù)列,則a9+a10a7+a8= ( )
A.1+2 B.1-2
C.3+22 D.3-22
【解析】選C.因為a1,12a3,2a2成等差數(shù)列,所以12a32=a1+2a2,即a1q2=a1+2a1q,所以q2=1+2q,解得q=1+2或q=1-2(舍去),所以a9+a10a7+a8=a1q8(1+q)a1q6(1+q)=q2=(1+2)2=3+22.
9.已知函數(shù)f(x)=(-x)12,x≤0,log5x,x>0, 函數(shù)g(x)是周期為2的偶函數(shù)且當(dāng)x∈[0,1]時,g(x)=2x-1,則函數(shù)y=f(x)-g(x)的零點個數(shù)是 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【解析】選B.在同一坐標系中作出y=f(x)和y=g(x)的圖象如圖所示,由圖象可知當(dāng)x>0時,有4 個零點,當(dāng)x≤0時,有2個零點,所以一共有6個零點.
10.已知函數(shù)f(x)=ln x+(x-b)2(b∈R)在12,2上存在單調(diào)遞增區(qū)間,則實數(shù)b的取值范圍是 ( )
A.-∞,32 B.-∞,3
C.-∞,2 D.-∞,94
【解析】選D.由題意得f′(x)=1x+2(x-b)=1x+2x-2b,因為函數(shù)f(x)在12,2上存在單調(diào)遞增區(qū)間,所以f′(x)=1x+2x-2b>0在12,2上有解,所以b<12x+xmax, x∈12,2,由函數(shù)的性質(zhì)易得當(dāng)x=2時,12x+x取得最大值,即12x+xmax =122+2=94,所以b的取值范圍為-∞,94.
11.已知圓C過點(-1,0),且圓心在x軸的負半軸上,直線l:y=x+1被該圓所截得的弦長為22,則圓C的標準方程為 ( )
A.(x-3)2+y2=2 B.(x+3)2+y2=2
C.(x-3)2+y2=4 D.(x+3)2+y2=4
【解析】選D.設(shè)圓C的圓心C的坐標為(a,0),a<0,則圓C的標準方程為(x-a)2+y2=r2.圓心C到直線l:y=x+1的距離為d=|a+1|2,又因為該圓過點(-1,0),所以其半徑為r=|a+1|.由直線l:y=x+1被該圓所截得的弦長為22知,d2+2222=r2,即|a+1|22+2=|a+1|2,解得a=-3或a=1(舍去).所以r=|a+1| =2,所以圓C的標準方程為(x+3)2+y2=4.
12.已知在銳角△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且A,B,C成等差數(shù)列,△ABC的面積等于3,則b的取值范圍為 ( )
A.[2,6) B.[2,6)
C.[2,6) D.[4,6)
【解析】選A.因為A,B,C成等差數(shù)列,所以2B=A+C,又A+B+C=180,所以
3B=180,即B=60.
因為S=12acsin B=12acsin 60=34ac=3,所以ac=4.
方法一:由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-2accos 60=a2+c2-ac,又△ABC為銳角三角形,所以a2+b2>c2,且b2+c2>a2,因為b2=a2+c2-ac,所以b2+c2<(a2+c2-ac) +(a2+b2),整理得2a>c,且b2+a2<(a2+c2-ac)+(b2+c2),整理得2c>a,所以c210,因此坐標平面內(nèi)不存在黃金直線;
②當(dāng)a=5時,|PM|+|PN|=10=|MN|,因此線段MN上的點都滿足上式,因此坐標平面內(nèi)有無數(shù)條黃金直線,正確;
③當(dāng)a=3時,|PM|+|PN|=10>6=|MN|,黃金點的軌跡是個橢圓,正確;
④當(dāng)a=0時,點M與N重合為(0,0),|PM|+|PN|=10=2|PM|,點P在以原點為圓心、5為半徑的圓上,因此坐標平面內(nèi)有無數(shù)條黃金直線.
答案:①②③
16.若直角坐標平面內(nèi)兩點P,Q滿足條件:①P,Q都在函數(shù)f(x)的圖象上;②P,Q關(guān)于原點對稱,則點對(P,Q)是函數(shù)f(x)的一個“友好點對”(點對(P,Q)與點對(Q,P)看作同一個“友好點對”).已知函數(shù)f(x)=2x2+4x+1,x<0,2ex,x≥0,則f(x)的“友好點對”的個數(shù)是____________.
【解析】設(shè)P(x,y),Q(-x,-y)(x>0)為函數(shù)f(x)的“友好點對”,則y=2ex,-y=2(-x)2+4(-x)+1=2x2-4x+1,所以2ex+2x2-4x+1=0,在同一坐標系中作函數(shù)y1=2ex、y2=-2x2+4x-1的圖象,y1,y2的圖象有兩個交點,所以f(x)有2個“友好點對”.
答案:2
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