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1、建鄴高級(jí)中學(xué)講學(xué)稿 選修4—5
5.4.1柯西不等式
一、引入：
除了前面已經(jīng)介紹的貝努利不等式外，本節(jié)還將討論柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。這些不等式不僅形式優(yōu)美、應(yīng)用廣泛，而且也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要工具。
1、什么是柯西不等式：
定理1：（柯西不等式的代數(shù)形式）設(shè)均為實(shí)數(shù)，則
，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。
幾何意義：設(shè)，為平面上以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量，它們的終點(diǎn)分別為A（），B（），那么它們的數(shù)量積為，
而，，所以柯西不等式
2、的幾何意義就，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)向量方向相同或相反（即兩個(gè)向量共線(xiàn)）時(shí)成立。
2、定理2：（柯西不等式的向量形式）設(shè)，為平面上的兩個(gè)向量，則，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)向量方向相同或相反（即兩個(gè)向量共線(xiàn)）時(shí)成立。
3、定理3：（三角形不等式）設(shè)為任意實(shí)數(shù)，則：
思考：三角形不等式中等號(hào)成立的條件是什么？
4、定理4：（柯西不等式的推廣形式）：設(shè)為大于1的自然數(shù)，（1，2，…，）為任意實(shí)數(shù)，則：，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立（當(dāng)時(shí)，約定，1，2，…，）。
柯西不等式有兩個(gè)很好的變式：
變式1 設(shè) ，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)
變式2 設(shè)ai，bi同號(hào)且不為0（i=1，2，…，n），則：，等號(hào)
3、成立當(dāng)且僅當(dāng)。
二、典型例題：
例1、已知，，求證：。
例2、設(shè)，求證：。
例3、設(shè)為平面上的向量，則。
例4、已知均為正數(shù)，且，求證：。
方法1： 方法2：（應(yīng)用柯西不等式）
例5：已知，，…，為實(shí)數(shù)，求證：。
推論：在個(gè)實(shí)數(shù)，，…，的和為定值為S時(shí)，它們的平方和不小于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，平方和取最小值。
三、小結(jié)：
四、練習(xí)：
1、設(shè)x1，x2，…，xn >0, 則
2、設(shè)（i=1，2，…，n）且 求證: ．
3、設(shè)a為實(shí)常數(shù),試求函數(shù) (x∈R)的最大值．
4、求函數(shù)在上的最大值,其中a，b為正常數(shù)．
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柯西不等式 (6)
