2019年高考數(shù)學二輪復習 專題六 直線、圓、圓錐曲線 專題能力訓練16 橢圓、雙曲線、拋物線 文.doc

專題能力訓練16橢圓、雙曲線、拋物線一、能力突破訓練1.(2018全國,文4)已知橢圓C:x2a2+y24=1的一個焦點為(2,0),則C的離心率為()A.B.C.22D.2232.已知F是雙曲線C:x2-y23=1的右焦點,P是C上一點,且PF與x軸垂直,點A的坐標是(1,3),則APF的面積為()A.B.C.D.3.已知O為坐標原點,F是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點,A,B分別為C的左、右頂點,P為C上一點,且PFx軸.過點A的直線l與線段PF交于點M,與y軸交于點E.若直線BM經(jīng)過OE的中點,則C的離心率為()A.B.C.D.4.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F,點A在雙曲線的漸近線上,OAF是邊長為2的等邊三角形(O為原點),則雙曲線的方程為()A.x24-y212=1B.x212-y24=1C.x23-y2=1D.x2-y23=15.(2018全國,文11)已知F1,F2是橢圓C的兩個焦點,P是C上的一點,若PF1PF2,且PF2F1=60,則C的離心率為()A.1-32B.2-3C.3-12D.3-16.設(shè)雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F,過點F作與x軸垂直的直線l交兩漸近線于A,B兩點,與雙曲線的一個交點為P,設(shè)O為坐標原點.若OP=mOA+nOB(m,nR),且mn=,則該雙曲線的離心率為()A.322B.355C.324D.7.已知雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).矩形ABCD的四個頂點在E上,AB,CD的中點為E的兩個焦點,且2|AB|=3|BC|,則E的離心率是.8.已知直線l1:x-y+5=0和l2:x+4=0,拋物線C:y2=16x,P是C上一動點,則點P到l1與l2距離之和的最小值為.9.如圖,已知拋物線C1:y=x2,圓C2:x2+(y-1)2=1,過點P(t,0)(t>0)作不過原點O的直線PA,PB分別與拋物線C1和圓C2相切,A,B為切點.(1)求點A,B的坐標;(2)求PAB的面積.注:直線與拋物線有且只有一個公共點,且與拋物線的對稱軸不平行,則稱該直線與拋物線相切,稱該公共點為切點.10.如圖,動點M與兩定點A(-1,0),B(1,0)構(gòu)成MAB,且直線MA,MB的斜率之積為4,設(shè)動點M的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程;(2)設(shè)直線y=x+m(m>0)與y軸相交于點P,與軌跡C相交于點Q,R,且|PQ|<|PR|,求|PR|PQ|的取值范圍.11.設(shè)橢圓x2a2+y23=1(a>3)的右焦點為F,右頂點為A.已知1|OF|+1|OA|=3e|FA|,其中O為原點,e為橢圓的離心率.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)過點A的直線l與橢圓交于點B(B不在x軸上),垂直于l的直線與l交于點M,與y軸交于點H.若BFHF,且MOA=MAO,求直線l的斜率.二、思維提升訓練12.(2018全國,文10)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2,則點(4,0)到C的漸近線的距離為()A.2B.2C.322D.2213.設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點M在C上,|MF|=5.若以MF為直徑的圓過點(0,2),則C的方程為()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x14.在平面直角坐標系xOy中,雙曲線x23-y2=1的右準線與它的兩條漸近線分別交于點P,Q,其焦點是F1,F2,則四邊形F1PF2Q的面積是.15.在平面直角坐標系xOy中,雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支與焦點為F的拋物線x2=2py(p>0)交于A,B兩點,若|AF|+|BF|=4|OF|,則該雙曲線的漸近線方程為.16.已知圓C:(x+1)2+y2=20,點B(1,0),點A是圓C上的動點,線段AB的垂直平分線與線段AC交于點P.(1)求動點P的軌跡C1的方程;(2)設(shè)M0,15,N為拋物線C2:y=x2上的一動點,過點N作拋物線C2的切線交曲線C1于P,Q兩點,求MPQ面積的最大值.17.已知動點C是橢圓:x2a+y2=1(a>1)上的任意一點,AB是圓G:x2+(y-2)2=的一條直徑(A,B是端點),CACB的最大值是314.(1)求橢圓的方程.(2)已知橢圓的左、右焦點分別為點F1,F2,過點F2且與x軸不垂直的直線l交橢圓于P,Q兩點.在線段OF2上是否存在點M(m,0),使得以MP,MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形?若存在,求實數(shù)m的取值范圍;若不存在,請說明理由.專題能力訓練16橢圓、雙曲線、拋物線一、能力突破訓練1.C解析 因為橢圓C的一個焦點為(2,0),所以其焦點在x軸上,c=2,所以a2-4=c2,所以a2=8,a=22,所以橢圓C的離心率e=ca=22.2.D解析 由c2=a2+b2=4,得c=2,所以點F的坐標為(2,0).將x=2代入x2-y23=1,得y=3,所以PF=3.又點A的坐標是(1,3),故APF的面積為3(2-1)=,故選D.3.A解析 由題意知,A(-a,0),B(a,0),根據(jù)對稱性,不妨令P-c,b2a,設(shè)l:x=my-a,M-c,a-cm,E0,am.直線BM:y=-a-cm(a+c)(x-a).又直線BM經(jīng)過OE的中點,(a-c)a(a+c)m=a2m,解得a=3c.e=ca=13,故選A.4.D解析 雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F(c,0),點A在雙曲線的漸近線上,且OAF是邊長為2的等邊三角形,不妨設(shè)點A在漸近線y=x上,c=2,ba=tan60,a2+b2=c2,解得a=1,b=3.所以雙曲線的方程為x2-y23=1.故選D.5.D解析 不妨設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分別為橢圓的左、右焦點,則|PF1|+|PF2|=2a.F2PF1=90,PF2F1=60,3c+c=2a,即(3+1)c=2a.e=ca=23+1=2(3-1)(3-1)(3+1)=3-1.6.C解析 在y=x中令x=c,得Ac,bca,Bc,-bca,在雙曲線x2a2-y2b2=1中令x=c得Pc,b2a.當點P的坐標為c,b2a時,由OP=mOA+nOB,得c=(m+n)c,b2a=mbca-nbca,則m+n=1,m-n=bc.由m+n=1,mn=29,得m=23,n=13或m=13,n=23(舍去),bc=13,c2-a2c2=19,e=324.同理,當點P的坐標為c,-b2a時,e=324.故該雙曲線的離心率為324.7. 2解析 由題意不妨設(shè)AB=3,則BC=2.設(shè)AB,CD的中點分別為M,N,如圖,則在RtBMN中,MN=2,故BN=BM2+MN2=322+22=52.由雙曲線的定義可得2a=BN-BM=52-32=1,而2c=MN=2,所以雙曲線的離心率e=2c2a=2.8.922解析 在同一坐標系中畫出直線l1,l2和曲線C如圖.P是C上任意一點,由拋物線的定義知,|PF|=d2,d1+d2=d1+|PF|,顯然當PFl1,即d1+d2=|FM|時,距離之和取到最小值.|FM|=922,所求最小值為922.9.解 (1)由題意知直線PA的斜率存在,故可設(shè)直線PA的方程為y=k(x-t),由y=k(x-t),y=14x2消去y,整理得:x2-4kx+4kt=0,由于直線PA與拋物線相切,得k=t.因此,點A的坐標為(2t,t2).設(shè)圓C2的圓心為D(0,1),點B的坐標為(x0,y0),由題意知:點B,O關(guān)于直線PD對稱,故y02=-x02t+1,x0t-y0=0,解得x0=2t1+t2,y0=2t21+t2.因此,點B的坐標為2t1+t2,2t21+t2.(2)由(1)知|AP|=t1+t2和直線PA的方程tx-y-t2=0.點B到直線PA的距離是d=t21+t2.設(shè)PAB的面積為S(t),所以S(t)=12|AP|d=t32.10.解 (1)設(shè)M的坐標為(x,y),當x=-1時,直線MA的斜率不存在;當x=1時,直線MB的斜率不存在.于是x1,且x-1.此時,MA的斜率為yx+1,MB的斜率為yx-1.由題意,有yx+1yx-1=4.整理,得4x2-y2-4=0.故動點M的軌跡C的方程為4x2-y2-4=0(x1).(2)由y=x+m,4x2-y2-4=0消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0.對于方程,其判別式=(-2m)2-43(-m2-4)=16m2+48>0,而當1或-1為方程的根時,m的值為-1或1.結(jié)合題設(shè)(m>0)可知,m>0,且m1.設(shè)Q,R的坐標分別為(xQ,yQ),(xR,yR),則xQ,xR為方程的兩根,因為|PQ|<|PR|,所以|xQ|<|xR|.因為xQ=m-2m2+33,xR=m+2m2+33,且Q,R在同一條直線上,所以|PR|PQ|=xRxQ=21+3m2+121+3m2-1=1+221+3m2-1.此時1+3m2>1,且1+3m22,所以1<1+221+3m2-1<3,且1+221+3m2-153,所以1<|PR|PQ|=xRxQ<3,且|PR|PQ|=xRxQ53.綜上所述,|PR|PQ|的取值范圍是1,5353,3.11.解 (1)設(shè)F(c,0).由1|OF|+1|OA|=3e|FA|,即1c+1a=3ca(a-c),可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.所以,橢圓的方程為x24+y23=1.(2)設(shè)直線l的斜率為k(k0),則直線l的方程為y=k(x-2).設(shè)B(xB,yB),由方程組x24+y23=1,y=k(x-2)消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2,或x=8k2-64k2+3,由題意得xB=8k2-64k2+3,從而yB=-12k4k2+3.由(1)知,F(1,0),設(shè)H(0,yH),有FH=(-1,yH),BF=9-4k24k2+3,12k4k2+3.由BFHF,得BFFH=0,所以4k2-94k2+3+12kyH4k2+3=0,解得yH=9-4k212k.因此直線MH的方程為y=-1kx+9-4k212k.設(shè)M(xM,yM),由方程組y=k(x-2),y=-1kx+9-4k212k消去y,解得xM=20k2+912(k2+1).在MAO中,MOA=MAO|MA|=|MO|,即(xM-2)2+yM2=xM2+yM2,化簡得xM=1,即20k2+912(k2+1)=1,解得k=-64,或k=64.所以,直線l的斜率為-64或64.二、思維提升訓練12.D解析 雙曲線C的離心率為2,e=ca=2,即c=2a,a=b.其漸近線方程為y=x,則(4,0)到C的漸近線距離d=|4|2=22.13.C解析 設(shè)點M的坐標為(x0,y0),由拋物線的定義,得|MF|=x0+=5,則x0=5-.因為點F的坐標為p2,0,所以以MF為直徑的圓的方程為(x-x0)x-p2+(y-y0)y=0.將x=0,y=2代入得px0+8-4y0=0,即y022-4y0+8=0,解得y0=4.由y02=2px0,得16=2p5-p2,解得p=2或p=8.所以C的方程為y2=4x或y2=16x.故選C.14.23解析 該雙曲線的右準線方程為x=310=31010,兩條漸近線方程為y=33x,得P31010,3010,Q31010,-3010,又c=10,所以F1(-10,0),F2(10,0),四邊形F1PF2Q的面積S=2103010=23.15.y=22x解析 拋物線x2=2py的焦點F0,p2,準線方程為y=-.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AF|+|BF|=y1+p2+y2+p2=y1+y2+p=4|OF|=4p2=2p.所以y1+y2=p.聯(lián)立雙曲線與拋物線方程得x2a2-y2b2=1,x2=2py,消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.所以y1+y2=2pb2a2=p,所以b2a2=12.所以該雙曲線的漸近線方程為y=22x.16.解 (1)由已知可得,點P滿足|PB|+|PC|=|AC|=25>2=|BC|,所以動點P的軌跡C1是一個橢圓,其中2a=25,2c=2.動點P的軌跡C1的方程為x25+y24=1.(2)設(shè)N(t,t2),則PQ的方程為y-t2=2t(x-t)y=2tx-t2.聯(lián)立方程組y=2tx-t2,x25+y24=1,消去y整理,得(4+20t2)x2-20t3x+5t4-20=0,有=80(4+20t2-t4)>0,x1+x2=20t34+20t2,x1x2=5t4-204+20t2.而|PQ|=1+4t2|x1-x2|=1+4t280(4+20t2-t4)4+20t2,點M到PQ的高為h=15+t21+4t2,由SMPQ=12|PQ|h代入化簡,得SMPQ=510-(t2-10)2+104510104=1305,當且僅當t2=10時,SMPQ可取最大值1305.17.解 (1)設(shè)點C的坐標為(x,y),則x2a+y2=1.連接CG,由CA=CG+GA,CB=CG+GB=CG-GA,又G(0,2),CG=(-x,2-y),可得CACB=CG2-GA2=x2+(y-2)2-94=a(1-y2)+(y-2)2-94=-(a-1)y2-4y+a+74,其中y-1,1.因為a>1,所以當y=42(1-a)-1,即1<a3時,取y=-1,得CACB有最大值-(a-1)+4+a+74=274,與條件矛盾;當y=42(1-a)>-1,即a>3時,CACB的最大值是4(1-a)a+74-164(1-a),由條件得4(1-a)a+74-164(1-a)=314,即a2-7a+10=0,解得a=5或a=2(舍去).綜上所述,橢圓的方程是x25+y2=1.(2)設(shè)點P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中點坐標為(x0,y0),則滿足x125+y12=1,x225+y22=1,兩式相減,整理,得y2-y1x2-x1=-x2+x15(y2+y1)=-x05y0,從而直線PQ的方程為y-y0=-x05y0(x-x0).又右焦點F2的坐標是(2,0),將點F2的坐標代入PQ的方程得-y0=-x05y0(2-x0),因為直線l與x軸不垂直,所以2x0-x02=5y02>0,從而0<x0<2.假設(shè)在線段OF2上存在點M(m,0)(0<m<2),使得以MP,MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形,則線段PQ的垂直平分線必過點M,而線段PQ的垂直平分線方程是y-y0=5y0x0(x-x0),將點M(m,0)代入得-y0=5y0x0(m-x0),得m=45x0,從而m0,85.