《兩角和與差的正弦余弦正切公式》一課一練

3.1 兩角和與差的正弦、余弦正切公式1261262a.2A.一B.22nD. sin12一、選擇題：25 n 11 n 11 n 5 n1. sin cos cos sin 的值疋()C. sin 122 .右 sin ( a+ ® cos 3 cos ( a+ 3) sin 3=0,A. 1B . 1、解答題3.n , 3 n已知V aV,n0v 3v , cos (444(a+ 3)的值.則 sin ( a+2 3) +si n (a 2 3 等于()C. 0D. ±n33 n 、5+ a) = 一 , sin (+ 3)=，求 sin454135.已知0 VnaV ,sin ( n a)=，求413cos2-的值.).n asinbcos8 n =ta n求b4 .已知非零常數(shù) a、b滿足5-5nacos-nbsin15a556.已知 sin ( a+ ® = 2 , sin ( a- 3)= 3，求-ta 的值.3 4 tan7.已知A、B、C是厶ABC的三個內(nèi)角且IgsinA IgsinB lgcosC=lg2 .試判斷此三角形 的形狀特征.&化簡sin 7 cos 15 sin 8cos7 sin15 sin89. 求值：(1) sin75 ；(2) sin13 °os17°+cos13°sin17 °7 n 2 n n . 2 n10. 求 sin cos sin sin 的值.1899911. 在足球比賽中，甲方邊鋒從乙方半場帶球過人沿直線前進（如下圖），試問甲方邊鋒在何處射門命中乙方球門的可能性最大？（設(shè)乙方球門兩個端點分別為A、B）12 已知V aV 3 n , cos ( a 3) = , sin ( a+ 3) = 3，求 sin2 a 的值.2 413513. 證明 sin(o+ ® sin( a 3)=sin2a sin2 3,并利用該式計算 sin220 °sin80 °n40的值.14. 化簡：:2sin 50 +si n10 ° 1+J3ta n10 ° 2 si n2 8015. 已知函數(shù) y=sinx+cosx+2sinxcosx+2,(1)若x R,求函數(shù)的最大值和最小值；(2)若x 0,上,求函數(shù)的最大值和最小值.2參考答案1. B3.解： n <a< 3n4 4.n n < + a< n2 4又 cos(n + a = 3 ,45n4 sin ( + a)=.45/ 0< 3< n ,4.3 n , 3 n-<+ n443 n、5又 sin ( + 3)=,4 13 cos ( 3n + 3)= I2 ,4 13n3 n sin ( a+ 3) = sin n + ( a+ 3) = sin ( + a) + (+ 3)44=sin ( n + a) cos ( 3 + 3 +cos ( n + a) sin (匕 + 3)b，用主、n的三角函數(shù)a 1554444整理，有ba.8 nn8 n.nsincoscossin1551558 nn . 8 n.ncoscossinsin155155sin(8n15cos(8n15n)=ta n n = - 3 n 3 5)35 n_ 63X:51365:-X(空)513.nn.nbn.nbna sin bcos sincossincos-解：由于5-55a5則5a5 A 8 n tannnnb.nnb n15a cosbsi ncossincos-sin555a55a54.分析：這道題看起來復(fù)雜，但是只要能從式子中整理出 表示出來，再利用兩角和與差的正、余弦公式計算即可.5.分析：這道題的選題意圖是考查兩角和與差的正、余弦公式和誘導(dǎo)公式的綜合運用 以及變角技巧.解題過程中，需要注意到（ n + a） + （ n a） = n，并且（n + a） 一（衛(wèi)一44244a） =2 a.解：cos （ + a） =cos 上一（a =s in （ n a）=,424413又由于0< a< n ,4則 0 <n aV n,44nv n + aV n 442所以 cos（ n- a）=十曲吁）/（13）212,sin (n4cos2 (n41213cos(n4nncos( a)()44cos(n)45 1212 5=13 1313 1324=513 136分析：當題中有異角、異名時，常需化角、化名，有時將單角轉(zhuǎn)化為復(fù)角（和或差）.題是將復(fù)角化成單角，正（余）切和正（余）弦常常互化.欲求 的值，需化切為弦，即 -sin_cos ，可再求 si nacos cos os in B的值.tantan cos sin2 2解: v sin （ a+ B = ，二 sin acos供cos asin 護一.3 33 3/ sin （ a B =-，二 sin acos B cos asinB=Y .4 4由（+）+（）得也=_ 17.tan7.分析：從角與角的關(guān)系探究三角函數(shù)間的關(guān)系；反之，利用三角函數(shù)間的關(guān)系去判 斷角的大小及關(guān)系，這是常用的基本方法.可以先化去對數(shù)符號，將對數(shù)式轉(zhuǎn)化為有理式， 然后再考察A、B、C的關(guān)系及大小，據(jù)此判明形狀特征.解：由于 lgsinA lgsinB lgcosC=lg2 ,可得 lgsinA=lg2+lgsin B+lgcosC,即 lgsinA=lg2sinBcosC,sinA=2s in BcosC.根據(jù)內(nèi)角和定理，A+B+C=nA= n （ B+C）./ sin （B+C） =2sinBcosC,即 sinBcosC+cosBsinC=2sin BcosC.移項化為 sinCcosB sinBcosC=0,即 sin ( B C) =0.在厶 ABC 中，C=B. ABC為等腰三角形.&分析：這道題要觀察出7°8°15 °解題過程中還需要應(yīng)用兩角和與差的正弦、余弦公式.解: sin 7cos15 sin8cos7sin15 sin 8_ sin(158)cos15sin 8cos(158 )sin 15sin 8_ sin15cos8cos15sin8cos15sin8cos15cos8sin15sin8sin15sin8 sin 15cos15_2 3 .9 .解：(1)原式 _sin (30 °45 ° _ sin30c6s45 +cos30 sin45 _ 丄 上 + 仝2 2 2(2)原式 _ sin (13°+17°) _sin30 丄丄.7 n182n n10解：觀察分析這些角的聯(lián)系，會發(fā)現(xiàn)上_上927 n 2 n . n 2 n sin cos sin sin18999.7 n2 n/ n7 n2 n_si ncossin(-)sin1892189.7 n2 n7 n2 n_si ncoscossin189189_sin ( 18.n_si n611.解：設(shè)邊鋒為C, C到足球門AB所在的直線的距離為CO_x, OB_b, OA_a (a>b> 0, a、b 為定值)，/ ACO_ a, / BCO_ 3, / ACB_ a 3= y (0< y< n ),2則 tana_a , tan3_© (x>0,型 > 0).xxx所以 tan Ytan ( a 3)=tan tan1 tan tanx x abab ab 1 ab x x 2. ab1 子當且僅當x= ab，即x=、ab時，上述等式成立.又x0<Y n, ta門丫為增函數(shù)，所以當2x= . ab時，ta門丫達到最大，從而/ACB達到最大值barcta n2jab所以邊鋒C距球門AB所在的直線距離為一 ab時，射門可以命中球門的可能性最大.12 .解：此題考查變角”的技巧.由分析可知2«= ( a 3) + ( a+ 3).由于 n < a< 3< 3n，可得到 < a+ 3< n , 0 < a 3< n .24244 .5-COS ( a+ 3 = , sin ( a 3 =.5 13 sin2 a=sin ( a+ 3 + ( a 3)=Sin ( a+ 3) cos ( a 3) +COS ( a+ 3) sin ( a 3)=(3)12-+(彳)-5513513_566513.證明:sin (a+ 3) sin ( a 3)= (sin acos 3+cos as in 3 (sin acos 3 cos asin 3=sin2 acos2 3 cos2 osin2 3=sin2 a (1 sin23) ( 1 sin2 a) sin2 3=sin2 a sin2 asin2 3 sin2 3+sin2 osin2 3=sin2 a sin2 3,所以左邊=右邊，原題得證.計算sin220 °sin80 °in40 :需要先觀察角之間的關(guān)系.經(jīng)觀察可知80 °60 °20 °40 °60 ° 20 °所以 sin220 °sin80 °in40 =sin220 °sin ( 60 °20 ° in (60。一 20 °=si n220 °s in 260 ° si n220 °=si n260 °3 .4分析：此題目要靈活運用化切為弦”的方法，再利用兩角和與差的三角函數(shù)關(guān)系式整理 化簡.14. 解：原式=:2sin50 +sin10 ° 1+J3tan10 ° 2sin280cos10=:2sin50 +sin10 ° 1+后 sin10 ) 2 cos210=2sin50 +sin10 ° 如° 弱1。) 盂吋 coslO=(2sin50 +2sin10 °COS50 ) 2 cos10°coslO=2 .2 (sin50 CoslO +sin10 °os50 °15. 解：(1)設(shè) t=sinx+cosx=、2 sin (x+ n ) . 2 ,、2 ,4則 t2=i+2sinxcosx./ 2sin xcosx=t2 1.y=t2+t +仁(t+- ) 2+3 2 , 3+ 2 :244-ymax=3+ I- 2 , ymin=.4(2)若 x 0,上,則 t 1,農(nóng).2 y 3, 3+ . 2 L即 ymax=3+ *：2 ymin=3 .