2019-2020年高中數(shù)學(xué)選修1-1教案：2-2橢圓的簡單幾何性質(zhì).doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué)選修1-1教案：2-2橢圓的簡單幾何性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)：(1)通過對橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的討論,理解并掌握橢圓的幾何性質(zhì);(2)能夠根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求焦點(diǎn)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、離心率并能根據(jù)其性質(zhì)畫圖;(3)培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力,并為學(xué)習(xí)其它圓錐曲線作方法上的準(zhǔn)備.教學(xué)重點(diǎn):橢圓的幾何性質(zhì). 通過幾何性質(zhì)求橢圓方程并畫圖教學(xué)難點(diǎn):橢圓離心率的概念的理解.教學(xué)方法：講授法課型：新授課 教學(xué)工具：多媒體設(shè)備一、復(fù)習(xí)：1.橢圓的定義，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，焦距.2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.二、講授新課：（一）通過提出問題、分析問題、解決問題激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,在掌握新知識的同時(shí)培養(yǎng)能力. 在解析幾何里，是利用曲線的方程來研究曲線的幾何性質(zhì)的，我們現(xiàn)在利用焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來研究其幾何性質(zhì).已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：1.范圍我們要研究橢圓在直角坐標(biāo)系中的范圍，就是研究橢圓在哪個(gè)區(qū)域里，只要討論方程中x，y的范圍就知道了.問題1 方程中x、y的取值范圍是什么? 由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)都適合不等式1, 1即 x2a2, y2b2所以 |x|a， |y|b即 axa, byb這說明橢圓位于直線xa, yb所圍成的矩形里。2.對稱性 復(fù)習(xí)關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系： 點(diǎn)（x,y）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y)； 點(diǎn)（x,y）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x, y)；點(diǎn)（x,y）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y)；問題2 在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中以y代y以x代x同時(shí)以x代x、以y代y,你有什么發(fā)現(xiàn)?（1） 在曲線的方程里，如果以y代y方程不變，那么當(dāng)點(diǎn)P(x,y)在曲線上時(shí)，它關(guān)于x的軸對稱點(diǎn)P(x,y)也在曲線上，所以曲線關(guān)于x軸對稱。（2） 如果以x代x方程方程不變，那么說明曲線的對稱性怎樣呢？曲線關(guān)于y軸對稱。（3） 如果同時(shí)以x代x、以y代y，方程不變，這時(shí)曲線又關(guān)于什么對稱呢？曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱。歸納提問：從上面三種情況看出，橢圓具有怎樣的對稱性？橢圓關(guān)于x軸，y軸和原點(diǎn)都是對稱的。這時(shí)，橢圓的對稱軸是什么？坐標(biāo)軸橢圓的對稱中心是什么？原點(diǎn)橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心。3.頂點(diǎn) 研究曲線的上的某些特殊點(diǎn)的位置，可以確定曲線的位置。要確定曲線在坐標(biāo)系中的位置，常常需要求出曲線與x軸，y軸的交點(diǎn)坐標(biāo).問題3 怎樣求曲線與x軸、y軸的交點(diǎn)?在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程里，令x=0,得y=b。這說明了B1(0,b),B2(0,b)是橢圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)。令y=0,得x=a。這說明了A1(a,0),A2(a,0)是橢圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)。因?yàn)閤軸，y軸是橢圓的對稱軸，所以橢圓和它的對稱軸有四個(gè)交點(diǎn)，這四個(gè)交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)。線段A1A2,B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸。它們的長|A1A2|=2a,|B1B2|=2b (a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長)觀察圖形，由橢圓的對稱性可知，橢圓短軸的端點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離相等，且等于長半軸長，即|B1F1|=|B1F2|=|B2F1|=|B2F2|= a在RtOB2F2中，由勾股定理有 |OF2|2=|B2F2|2|OB2|2 ，即c2a2b2這就是在前面一節(jié)里，我們令a2c2b2的幾何意義。4.離心率定義：橢圓的焦距與長軸長的比e，叫做橢圓的離心率。 因?yàn)閍>c>0,所以0<e<1.問題4 觀察圖形,說明當(dāng)離心率e變化時(shí),橢圓形狀是怎樣隨之變化的? 調(diào)用幾何畫板，演示離心率變化(分越接近1和越接近0兩種情況討論)對橢圓形狀的影響得出結(jié)論：(1)e越接近1時(shí)，則c越接近a，從而b越小，因此橢圓越扁；(2)e越接近0時(shí)，則c越接近0，從而b越接近于a，這時(shí)橢圓就越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，c0，這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合于橢圓的中心，圖形變成圓。當(dāng)e1時(shí)，圖形變成了一條線段。為什么？留給學(xué)生課后思考5.例題 例1求橢圓16x2+25y2=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo),并用描點(diǎn)法畫出它的圖形.根據(jù)剛剛學(xué)過的橢圓的幾何性質(zhì)知，橢圓長軸長2a，短軸長2b，該方程中的a？b？c？因?yàn)轭}目給出的橢圓方程不是標(biāo)準(zhǔn)方程，所以必須先把它轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再討論它的幾何性質(zhì)解：把已知方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程, 這里a5，b4，所以c3因此，橢圓的長軸和短軸長分別是2a10，2b8離心率e兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1(3,0),F2(3,0)，四個(gè)頂點(diǎn)分別是A1(5,0) A1(5,0) A1(0,4) F1(0,4).提問：怎樣用描點(diǎn)法畫出橢圓的圖形呢？我們可以根據(jù)橢圓的對稱性，先畫出第一象限內(nèi)的圖形。 將已知方程變形為 ，根據(jù)在0x5的范圍內(nèi)算出幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)x012345y43.93.73.22.40先描點(diǎn)畫出橢圓的一部分，再利用橢圓的對稱性畫出整個(gè)橢圓（如圖）說明：本題在畫圖時(shí)，利用了橢圓的對稱性。利用圖形的幾何性質(zhì)，可以簡化畫圖過程，保證圖形的準(zhǔn)確性。根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，用下面的方法可以快捷地畫出反映橢圓基本形狀和大小的草圖：(1) 以橢圓的長軸、短軸為鄰邊畫矩形；(2) 由矩形四邊的中點(diǎn)確定橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)；(3) 用平滑的曲線將四個(gè)頂點(diǎn)連成一個(gè)橢圓。畫圖時(shí)要注意它們的對稱性及頂點(diǎn)附近的平滑性（四）練習(xí) 填空：已知橢圓的方程是9x2+25y2=225,(1) 將其化為標(biāo)準(zhǔn)方程是_.(2) a=_,b=_,c=_.(3) 橢圓位于直線_和_所圍成的_區(qū)域里.橢圓的長軸、短軸長分別是_和_,離心率e_,兩個(gè)焦點(diǎn)分別是_、_,四個(gè)頂點(diǎn)分別是_、_、_、_.例2、求符合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)經(jīng)過點(diǎn)(-3,0)、(0,-2);(2)長軸的長等于20,離心率等于0.6例3 點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到直線的距離之比是常數(shù)，求點(diǎn)的軌跡. （教師分析示范書寫）例4、如圖，一種電影放映燈泡的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面） 的一部分。過對稱軸的截口ABC是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F1上，片門位于另一個(gè)焦點(diǎn)F2上，由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F1發(fā)出的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個(gè)焦點(diǎn)F2。已知ACF1F2，|F1A|=2.8cm，|F1F2|=4.5cm,求截口ABC所在橢圓的方程。三、課堂練習(xí)：比較下列每組橢圓的形狀，哪一個(gè)更圓，哪一個(gè)更扁？與 與（學(xué)生口答，并說明原因）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.經(jīng)過點(diǎn)長軸長是短軸長的倍，且經(jīng)過點(diǎn)焦距是，離心率等于（學(xué)生演板，教師點(diǎn)評）焦點(diǎn)在x軸、y軸上的橢圓的幾何性質(zhì)對比. 四、小結(jié)(1)理解橢圓的簡單幾何性質(zhì)，給出方程會求橢圓的焦點(diǎn)、頂點(diǎn)和離心率;(2)了解離心率變化對橢圓形狀的影響;(3)通過曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)并畫圖是解析幾何的基本方法.五、布置作業(yè) 課本習(xí)題2.1 的6、7、8題課后思考：1、橢圓上到焦點(diǎn)和中心距離最大和最小的點(diǎn)在什么地方？2、點(diǎn)M（x，y）與定點(diǎn)F（c，0）的距離和它到定直線l：x= 的距離的比是常數(shù) （ac0），求點(diǎn)M軌跡，并判斷曲線的形狀。3、接本學(xué)案例3，問題2，若過焦點(diǎn)F2作直線與AB垂直且與該橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)F1MN的面積為70時(shí)，求該橢圓的方程。