高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十章概率與統(tǒng)計(jì)第二節(jié)古典概型與幾何概型課件文.ppt

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文數(shù)課標(biāo)版 第二節(jié)古典概型與幾何概型 1 基本事件的特點(diǎn) 1 任何兩個(gè)基本事件是 互斥的 2 任何事件 除不可能事件外 都可以表示成 基本事件的和 2 古典概型 1 具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型 簡稱為古典概型 i 試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件 只有有限個(gè) ii 每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性 相等 2 古典概型的概率公式 P A 教材研讀 3 幾何概型 1 如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度 面積或體積 成比例 則稱這樣的概率模型為幾何概率模型 簡稱為幾何概型 2 幾何概型中 事件A的概率計(jì)算公式為P A 判斷下列結(jié)論的正誤 正確的打 錯(cuò)誤的打 1 在適宜條件下 種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽 屬于古典概型 其基本事件是 發(fā)芽與不發(fā)芽 2 擲一枚硬幣兩次 出現(xiàn) 兩個(gè)正面 一正一反 兩個(gè)反面 這三個(gè)結(jié)果是等可能的 3 與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān) 4 從區(qū)間 1 10 內(nèi)任取一個(gè)數(shù) 取到1的概率是P 1 甲 乙 丙三名同學(xué)站成一排 甲站在中間的概率是 A B C D 答案C甲 乙 丙三名同學(xué)站成一排共有如下6種情況 甲乙丙 甲丙乙 乙甲丙 乙丙甲 丙甲乙 丙乙甲 而甲站在中間的共有乙甲丙 丙甲乙兩種情況 因此 甲站在中間的概率為 2 從 1 2 3 4 5 中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為a 從 1 2 3 中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為b 則b a的概率是 A B C D 答案D令選取的a b組成實(shí)數(shù)對 a b 則共有 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 4 1 4 2 4 3 5 1 5 2 5 3 15種情況 其中b a有 1 2 1 3 2 3 3種情況 所以b a的概率為 故選D 3 2016課標(biāo)全國 8 5分 某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn) 紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒 若一名行人來到該路口遇到紅燈 則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為 A B C D 答案B行人在紅燈亮起的25秒內(nèi)到達(dá)該路口 即滿足至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈 根據(jù)幾何概型的概率公式知所求事件的概率P 故選B 4 2016課標(biāo)全國 5 5分 小敏打開計(jì)算機(jī)時(shí) 忘記了開機(jī)密碼的前兩位 只記得第一位是M I N中的一個(gè)字母 第二位是1 2 3 4 5中的一個(gè)數(shù)字 則小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是 A B C D 答案C小敏輸入密碼前兩位的所有可能情況如下 M 1 M 2 M 3 M 4 M 5 I 1 I 2 I 3 I 4 I 5 N 1 N 2 N 3 N 4 N 5 共15種 而能開機(jī)的密碼只有一種 所以小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率為 5 如圖所示 矩形長為6 寬為4 在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒300顆黃豆 數(shù)得落在橢圓外的黃豆顆數(shù)為96 以此試驗(yàn)數(shù)據(jù)為依據(jù)可以估計(jì)橢圓的面積為 答案16 32解析由隨機(jī)模擬的思想方法 可得黃豆落在橢圓內(nèi)的概率為 0 68 由幾何概型的概率計(jì)算公式 可得 0 68 而S矩形 6 4 24 則S橢圓 0 68 24 16 32 考點(diǎn)一古典概型典例1 2016山東 16 12分 某兒童樂園在 六一 兒童節(jié)推出了一項(xiàng)趣味活動 參加活動的兒童需轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次 每次轉(zhuǎn)動后 待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時(shí) 記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù) 設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x y 獎勵(lì)規(guī)則如下 若xy 3 則獎勵(lì)玩具一個(gè) 若xy 8 則獎勵(lì)水杯一個(gè) 其余情況獎勵(lì)飲料一瓶 假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻 四個(gè)區(qū)域劃分均勻 小亮準(zhǔn)備參加此項(xiàng)活動 1 求小亮獲得玩具的概率 2 請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小 并說明理由 考點(diǎn)突破 解析用數(shù)對 x y 表示兒童參加活動先后記錄的數(shù) 則基本事件空間 與點(diǎn)集S x y x N y N 1 x 4 1 y 4 一一對應(yīng) 因?yàn)镾中元素的個(gè)數(shù)是4 4 16 所以基本事件總數(shù)n 16 1 記 xy 3 為事件A 則事件A包含的基本事件數(shù)共5個(gè) 即 1 1 1 2 1 3 2 1 3 1 所以P A 即小亮獲得玩具的概率為 2 記 xy 8 為事件B 3 所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率 規(guī)律總結(jié)解決關(guān)于古典概型的概率問題的關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件中包含的基本事件數(shù) 1 基本事件總數(shù)較少時(shí) 可用列舉法把所有基本事件一一列出 但要做到不重復(fù) 不遺漏 2 當(dāng)所求事件含有 至少 至多 或分類情況較多時(shí) 通常考慮用對立事件的概率公式P A 1 P 求解 1 1 2016課標(biāo)全國 3 5分 為美化環(huán)境 從紅 黃 白 紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中 余下的2種花種在另一個(gè)花壇中 則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是 A B C D 答案C從紅 黃 白 紫4種顏色的花中任選2種有以下選法 紅黃 紅白 紅紫 黃白 黃紫 白紫 共6種 其中紅色和紫色的花不在同一花壇 亦即黃色和白色的花不在同一花壇 的選法有4種 所以所求事件的概率P 故選C 1 2在一個(gè)不透明的箱子里裝有5個(gè)完全相同的小球 球上分別標(biāo)有數(shù)字1 2 3 4 5 甲先從箱子中摸出一個(gè)小球 記下球上所標(biāo)數(shù)字后 再將該小球放回箱子中搖勻后 乙從該箱子中摸出一個(gè)小球 1 若甲 乙兩人誰摸出的球上標(biāo)的數(shù)字大誰就獲勝 若數(shù)字相同則為平局 求甲獲勝的概率 2 若規(guī)定兩人摸出的球上所標(biāo)數(shù)字之和小于6 則甲獲勝 否則乙獲勝 這樣規(guī)定公平嗎 解析用 x y x表示甲摸出的球上標(biāo)的數(shù)字 y表示乙摸出的球上標(biāo)的數(shù)字 表示甲 乙各摸一球構(gòu)成的基本事件 則基本事件有 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 共25個(gè) 1 設(shè)甲獲勝為事件A 則事件A包含的基本事件有 2 1 3 1 3 2 4 1 4 2 4 3 5 1 5 2 5 3 5 4 共10個(gè) 則P A 2 設(shè)甲獲勝為事件B 乙獲勝為事件C 事件B所包含的基本事件有 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 4 1 共10個(gè) 則P B 所以P C 1 P B 因?yàn)镻 B P C 所以這樣規(guī)定不公平 考點(diǎn)二幾何概型命題角度一與長度 角度有關(guān)的幾何概型典例2 1 某公司的班車在7 30 8 00 8 30發(fā)車 小明在7 50至8 30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車 且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的 則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是 A B C D 2 在等腰直角三角形ABC中 過直角頂點(diǎn)C在 ACB內(nèi)部任作一條射線CM 與AB交于點(diǎn)M 則AM AC的概率為 答案 1 B 2 解析 1 解法一 7 30的班車小明顯然是坐不到的 當(dāng)小明在7 50之后 8 00之前到達(dá) 或者8 20之后8 30之前到達(dá)時(shí) 他等車的時(shí)間將不超過10分鐘 故所求概率為 故選B 解法二 當(dāng)小明到達(dá)車站的時(shí)刻超過8 00 但又不到8 20時(shí) 等車時(shí)間將超過10分鐘 7 50 8 30的其他時(shí)刻到達(dá)車站時(shí) 等車時(shí)間將不超過10分鐘 故等車時(shí)間不超過10分鐘的概率為1 2 如圖 過點(diǎn)C作CN交AB于點(diǎn)N 使AN AC 顯然當(dāng)射線CM處于 ACN內(nèi)部時(shí) AM AC 又 A 45 所以 ACN 67 5 故所求概率P 典例3 2015福建 8 5分 如圖 矩形ABCD中 點(diǎn)A在x軸上 點(diǎn)B的坐標(biāo)為 1 0 且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f x 的圖象上 若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn) 則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于 A B C D 命題角度二與面積有關(guān)的幾何概型 答案B解析易知點(diǎn)C的坐標(biāo)為 1 2 點(diǎn)D的坐標(biāo)為 2 2 所以矩形ABCD的面積為6 陰影部分的面積為 故所求概率為 典例4某校早上8 00開始上課 假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7 30 7 50之間到校 且每人在該時(shí)間段的任何時(shí)刻到校是等可能的 則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為 用數(shù)字作答 答案解析設(shè)小張和小王到校的時(shí)間分別為x和y 則則滿足條件的區(qū)域如圖中陰影部分所示 故所求概率P 命題角度三與線性規(guī)劃交匯的幾何概型 典例5在棱長為2的正方體ABCD A1B1C1D1中 點(diǎn)O為底面ABCD的中心 在正方體ABCD A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P 則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為 A B 1 C D 1 答案B解析點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的點(diǎn)位于以O(shè)為球心 以1為半徑的半球的外部 記點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1為事件A 則P A 1 命題角度四與體積有關(guān)的幾何概型 2 1在矩形ABCD中 AB 2 AD 1 點(diǎn)P為矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn) 則使得 1的概率為 A B C D 答案D建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系 則A 0 0 C 2 1 則 2 1 設(shè)P x y 則 x y 故 2x y 故由題設(shè)可得2x y 1 則符合條件的點(diǎn)P所在區(qū)域是四邊形EBCD及其內(nèi)部 四邊形EBCD的面積S 2 S矩形ABCD 2 故所求概率P 故選D 2 2如圖 在半徑為2R 弧長為R的扇形OAB中 以O(shè)A為直徑作一個(gè)半圓 若在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn) 則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是 A B C D 答案B陰影部分的面積為S1 2R R2 R2 扇形OAB的面積為S2 R2 所以在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn) 則此點(diǎn)取自陰影部分的概 率P 故選B