連續(xù)介質力學復習題1

連續(xù)介質力學復習題(1) 1.10,1.19令D(x)=CxmxxM(x)=°(x)kD()d=0(x-)kCxmd二kC(=kC(=kC1.m1xm11m1x-m111-m2x)|0Um*2)(m1)(m2)所以：2_2m .x 二const(2) 2.13,考察一個被約束在圓形軌道上作勻速運動的質點。設v是任意時刻的速度，質點的加速度是多少，即力量dv/dt是多少？答案；在橫坐標中速度矢量廿可以表示如下=設八分別表示以產(chǎn)為原點沿餞向、切1相而不，仙FY面的仆I，4*的單位矢匕以側122.卜！M，"中【足仁的港門值,因此,微分后有由于”是常數(shù)，最后一項為零。為了計算注意。是單位矢量,因此，它僅能改變方向(保注：而大小始終不變八所以rdO/df聿直于矢量京，即平行于心設如為質點對物道中心的ffi速度t顯嬤5以v/a的速率忖動.因此T方/dT/GJdw由=一圖P2.13廁形軌道上運行的粒子速度圖2 M 螺旋軌道2.19,兩個矢量u=(Ui,U2,u)和v=(mN2N3)的矢量積是矢量w=uxv其分量為證明上式可以簡寫為i=徐UjVk證明：反證法：有產(chǎn)；脹叫vk所以有1=；ljkUjVk.'2=；2jkUjVk.'3=；3jkUjVk1="111U1V1+112uiv2+，113uiv3+,123u2v3+-12iu2v1+132u3v2+122u2v2+131u3v1+733U3v32=211u1V1+212U1v2+213U1V2+221U2V1+-222u2v2+-223u2v3+231u3v1+-232u3v2+-233u3v313=-311u1v1+312u1v2+313u1v3+321u2v1+322u2v2+323u2v3+331u3v1+332U3v2+333u3v3，產(chǎn)u2v373v2由止匕得出：2=U3v1-U1v33=u1v2-U2vl2-Uk ki) - Xi = ； 1-2v k，) i ft22.37將下列方程寫出展開的形式G(Ui,kkG(&G啜1*F2Uk+*-1-2vxkxi-2,)+Xi=：F一t當i=1時。.2.2U1- 從G( + T二 x1Cx222G(二十Ex二 y同理i=2,3有：2U11 *+ 21 +x31-2v.2.2/ 二 Ui二 U2(+ +.2二 U3-x1 x1; x2 ：xi二 x3：xi-2)+xi=：tG(G(22二 v 2 v2 +2 +x二 y 2-2二 w : w+ fz2+1-2v.2.2.2.2/ U 二 v 二 w U(二 +)+X1=PJx : yx zx二 t-2、,v-2+ :z2 1-2v-2, 二 u2x + +*x:y；z 1-2v-2w v +y:x 2二 v.2二 w 、+)+X2 = P；z x. 22- +:x；y.x£v；:t2)+X3 = ：zxj2wft2(3) 3.9,在無體力情況下，如下應力分布是否處于平衡狀態(tài):答：根據(jù)亞+Xi=0得到處于平衡狀態(tài)。yx ' c即一L + y- + 一zx=0 ,fxyzz.巴+色y+2=0, y 二 x二 z:二二二:zfz.oooooooooP3.22。令內(nèi)筒T ,作用在外筒3.22庫埃特流動。兩個同心圓筒間的空間中充滿了流體，如圖靜止，外筒以每秒w弧度的角速度旋轉。若測得內(nèi)筒的扭矩為的扭矩是多少？為什么？速度場：vr=0;v1-v(r);vz=0不可壓縮流體連續(xù)方程：22、2 2,、1 >'(rvr)1"z=0r；:rrz不計體力，并按抽對稱旋轉進行計算，環(huán)向運動方程為:2dvg+1dvg與odr2-2( J2 - 1ri )r . r2。(, '1 - -2)r2 -rirrdrr2易證明，ve=r;vH=L均滿足以上方程所以其一般解為Q=Ar +B(A, B為常數(shù))設g r2為內(nèi)外筒的半徑；B .r1 = Ar1 ; r2 = Ar2r孫，切2為內(nèi)外筒的半徑B+2r12222,、八 _ ，2r2 '1r1 . D _ r2 r1 ( ' '1 1 '2 ) A =22; B =22r2- r1也-r12222,.-相.r2 r ( '1 - '2) 1 v 7122 r22r2 fr2 -ri r壁面剪應力為.="(口二drr222-ri當叫=0,切2=0或眄=6，82=。時，單位長度扭矩為:4出屏為222-ri=常數(shù)所以內(nèi)外筒扭矩相等。為T(4) 4.12用錘子打擊一個無限大的彈性體，應該設置什么樣的邊界條件?解：5場條件：變形處處為零.可能于打需時，邊界急件是：（a）在平表面上，但不在儺TFtT*=0（i=123）（b）半無限體在無限遠處的條件，令片是物體變形引起的位移分量必是虛力則（“）-0*（%）aQ（£不1,九3）M在錘子下的震聞處,垂亶于表面的應力矢量與位移都必須一致.因此若用（T）和分別表示桌子和錘子,則在共同界而上必有（金/，=a,嚴,&tyn=設法。垂直于界面界面可以用方程工n/Cr*力/來描述.則M1力，打-"標士KUk膽是,我們并不知道函數(shù)/a*了/）.它只有在將怪了和耒子一起求解辭個應力分布間嬉后才能嚴格地硒定.為了代替精確解，可以提出一個近似附題.例如，可以假設；當伸T打擊桌面時，應力矢瓜巾TQ栗子的分量遠大于切向分量.于是T若略去后一分量（這種情況秫為“有潤滑”的推擊3則鐐子下的辿界條件可以寫為%=0.1k0,五一FQ,y）&其中風心是狄拉克（DiraG單位脈沖函數(shù)，當，為由限時它等于零.但當£*（）時它趨于8,而H將（）從一啟到丑對f積分正好等于I-盤個正數(shù).F5,川）未加.可£茍單偏設為FtX.*）:-COlK*提示：或許等于馬桌面之同是不規(guī)則的接觸局部破壞滑移等.如果要認真對待這些時能性，那就必須精確地給定它伯,然后研究它們的后果.(5)分別推導拉格朗日應變張量和歐拉應變張量，答：變形前物體中有三個相鄰點p、p'、p"。變形后他們移到QQ、Q'點?？疾爝B接點p(a1,a2,a3)和相鄰點p'(a1+da1,a2+da2,a3+da3)的無限小線元。初始構形中線元pp'長度ds。的平方ds02;da12da22da32;2.2.2.2ds=dX1dX2dX3;,ai,dXi=daj,dai=dXjxjxj=ds02=da12da22da32=ijdaidaj=、jW-dX1dxmXXmds2=dX12dX22dX32=ijdXidXj=、jXxX-daldamaiam二ds2-dso2；:x：:x：,.X-：:xi、，,C一-daidaj-cjdajdaj=（、，：-、j）daidaj'aiaj'aiajORds2-dso2xjfa-aIdXidXj=（、j-、一：）dXidXjXXjeijEij/:x'x：(,一一-飛)aiajXiXj5.2血管是不可壓縮的，即其體積不會變化。在通常情況下，血管可以看作一個圓柱殼。假設因某種原因人的血壓上升了，使該血管的內(nèi)徑由a增力口至a+da,而軸向長度不變。試計算因血壓升高引起的血管內(nèi)環(huán)向和徑向應變的變化。解：設血管外徑為b,血壓上升后外徑b=b+Ab則有：Mb2-a2)=冗(b+Ab)2-(a+Aa)222一b+2b*b-2a*a-：a=0,-2b+4b2+4(2a*.a+.a2)22b=:=-b+.b2+2a*.：a+.：a22err=b-a=-b-a+.b2+2a*.a+.a2血管為圓形截面根據(jù)對稱性，七=0,=Jr(r)e=1(1.+不二)=072rrr-r1'aae：B=-+-=rra5.95,9在一次JMt研究中瑞利（LorH曲）研究了彈性力學線性化方程的如下彩式解答a-Ac七xpuKj*-tr）JvBe-+'vxpI法fjt-a）j=y若用號面r（h發(fā)示地面了表示距總表的深度”表示地球內(nèi)受點的位移.喇瑞利承走示波葭速度沿工方向的傳播.11黃懦山指數(shù)展律庭焉開地面而妾發(fā)鼠設續(xù)產(chǎn)生了地理內(nèi)部.地理左曲H由*即作用于地表處的應力矢量為零.在號察運動方程和邊界集忤后,瑞科技且了密數(shù)A./hb和一并得目如解，u=A（*'i43-0.5773±*工*11*上（工一）r-八（-0.8"5（：7卬小+L46?93k科T如公m上（一r.i覆.9幅口表彼府用”稱為陶利波速,若泊松出為14它巧I用切夜建的。IX倍.也解滿足在1ml由及朝尸丫”的羋無限大彈件體內(nèi)族傅搞的茶櫛.屋點Hg平兩內(nèi)運動.其鼓幅隨高Fl11&愉的班離埴大而減?。ㄈ鐖DF嗎峭小小利癡足相生地醺時能從地侵記錄曲戰(zhàn)中馴的鼠主要的波之一.（4）試畫必波形tb）憂西出白由表面？工口上幾個1；同，伯處質點的遇動路徑.試對位？不同的：v0佛處的幾個疑點也畫出其運動路徑.（c）試證明血點的運動是逆行的.（d）試場定在任意給定可發(fā)生最人生以皆的地意.并給出選應變值.部分螂1Cd）因為爾%只有值變分%不于等.筠敷函數(shù)阜蟲其中心M）黑刪人竄一及乂號數(shù)的最大值發(fā)生在處.丐（1。時,談平向hfi心.一金二一AH1-657普）&in虹Hjt乙、=吧=At|-6847511,4679»5成筋、E3dyr一羋久一口.取75-0,5773X0,3*）3314（-0,8475+I.467弘"抬=02因此*最大主應變?yōu)閠21=工。.4227八小，工（14打9也八上6J考察物體的流動，其速度分量口和罩由勢函數(shù)力導出：u=-tfJx而分量w恒為零.試畫出下列勢函數(shù)所描述的速度場;(a)單=log(M，+y*=，k>"4jt/it(b)中=工事(c)fpAcosnO(。一airifi”提示：可以由1勢函數(shù)奴工*以)導出速度分量的流場稱為勢流。在本題所給的例子中，有幾種情況是中用極坐標而表示的.如果我們注意到，速度矢球皿小)就是標量函數(shù)(b)(c)(d)(a) Ur =二 r2二 r ln a;u=°UrUr三二1;vxcC*=Anr.:r.:rncosni;u? vSBJ- = -Anrn sin ni c6sin 16.6花二維平密應變場中，位移由HCrXr.）描述，而沿z軸的明恒等尸零.工了"是一組笛卡兒直角坐標系.<a) .(b)(c)試用m&示應變分吊:Ej/a試推導對應變系，L，中的勢調方程.卜列應變系是否協(xié)調？,kr y , ev. = k ryetrhd-y?）其中KS是常數(shù).其余應變分量均為零。（C）的答案,若l=則協(xié)凋.(a)1 Juj eL2(M:ui-)xj-u=exx=-(b)2_ 也 _ ：:uT 2 -2y二x：y2：x2eyy：V.Gy1-U二V、一2二72.；7二二(-272一)x二x二y二x：y21x：y二x:y二"Gy_1/-0.一：x.:y2；:y2（c）將已知（c）中的式子代入（b）中得:-2kLxy由（b）中知若要協(xié)調則有&a.2一2一2一一yxxy即-2k=2k'即k'=-k則應變系是協(xié)調的(7)給出牛頓流體和非牛頓流體的本構方程D,：,., 各向同性時，jkl答：牛頓流體本構方程5=p&j+DjkiVki(粘性效應與變形率呈線性關系)='、力、"1,'¥)-P;ij-,Vkk-j-2%平均正應力1/3。卜卜與體積膨脹率Vkk無關2,-ij=-pj.ij+2uVij-3Vkk；ij不可壓-j=-pj+2UVj非牛頓流體本構方程7.14航天員上了月球，并帶回一些巖石樣本。我們很關心這些巖石的力學性能。試設計一個實驗大綱，以使用這些少量的巖石得到盡可能多的信息。答：硬度：刻痕抗拉：a,制成標準試件受拉b,劈裂抗壓：a,單軸抗壓圓柱形試件半徑4.8-5.2cm,H=(2-3)倍半徑長方體試件：變長L=4.8-5.2cm,H=(2-2.5)L抗剪：單面剪切、雙面剪切、沖擊剪切彈性模量E,剪切模量G,被送比u:標準試件作應力應變曲線，觀察曲線特征剛度試驗機F應力應變曲線(8)8.1區(qū)別均勻和各向同性兩個詞(a)如果你涉及高空探測火箭，你是否認為大氣是均勻的或各向同性的？(b)如果問題涉及圍繞火箭鄰區(qū)域的流動，該火箭以不產(chǎn)生激波的速度飛行，能否把空氣處理為均勻的或各向同性的？(c)如果在(b)問題中發(fā)生了激波，又該怎樣考慮？答：均勻性是指某種物理特性在空間各點測量結果相同，可以看作平移對稱性，各向同性是指力學性質和方向無關的，可以看作空間轉動對稱性例如流動的河水是均勻的，但不是各向同性的(a)不考慮緊鄰區(qū)域流動，火箭速度不產(chǎn)生激波，則可處理為均勻，各相同性。(b)考慮緊鄰區(qū)域流動，不產(chǎn)生激波速度飛行，可處理為均勻，各向異性。(c)考慮緊鄰區(qū)域流動，產(chǎn)生激波速度飛行，不均勻，各向異性。8.5,說出三種非各向同性的液體答：(纖維油漆、牛奶、血液、液晶)8.15,在有些組受拉、其余組分受壓而整體處于平衡的復合材料中，殘余應力是改進力學性質的很好途徑。例如，預應力鋼筋增強的混凝土，高強纖維增強的金屬和塑料都是改進的結構材料。若希望實現(xiàn)復合材料的各向同性或橫觀各向同性（在遠大于單根纖維直徑的尺度上），纖維應按合乎需要的幾何圖形來鋪設。試設計一種以高強度和各向同性為目的的復合材料。答：（1）模壓板材復合材料，將浸有樹脂的隨機短纖維模壓、由于短纖維的方向隨機，因此是橫觀各向同性。（2）三疊層板（m=3、4、5.oo）o由復合材料力學知，滿足mh2f（sin2B,cos28,sin4e,cos48）dz=0的疊層板是準各向同性疊層板。h2固化制成復合材料。而二疊層板滿足上m式。（9）9.8考慮具有麥克斯韋模型、有方程（9-6-1）描述的粘彈性材料。把一個正弦變化的力F=asincot加到物體上。其穩(wěn)態(tài)擾度u是什么？tu = 0(awcoswt a sin wt)dtF=asint;aaau=sinwtcoswtwwaw ., a , awu =sin wt 一一 coswt =aw a()(a) sin( wt - ：)aJ22(aw) (a)A-u=sin(wt-)sin-waw2,工2I11其中A=(-)+(-),tan:=-(10)導出雷諾系數(shù)，說明雷諾系數(shù)的意義，解釋為什么雷諾系數(shù)很大時，需要邊界層理論；答：雷諾數(shù)表示慣性力與剪應力的比值慣性力量級：V2V剪應力量級：L慣性力'V 2剪應力 v/L-vL -二Rn大雷諾數(shù)表示慣性力效應占優(yōu)勢，小雷諾數(shù)表示剪切效應占優(yōu)勢'一'，噌+不/1,2,3)2,RNTm時，除非二階導數(shù)VU1極大，否則最后一項總可以略去。在速度及其導數(shù)為有限值的一般流場中，當Re趨于無限時，粘性效應即不存在。然而，由于無滑移條件的關系，在固體壁附近，速度會發(fā)生迅速變化，有自由由流速變?yōu)楣腆w速度。如果此轉變層很薄，即使雷諾系數(shù)很大，也不能忽略最后一項。即在邊界層內(nèi)，即使雷諾數(shù)非常大，粘性影響亦是很明顯的那個流體區(qū)域。口，1量級分析。=0()RnP：jL，一，一Re=。雷諾數(shù)控制了流體的動力相似性，表征了流體的流動狀態(tài)。雷諾數(shù)代表慣性力和粘性力(剪切力相關)的比值。雷諾數(shù)小時，粘性力占主導地位；雷諾數(shù)大時，慣性力占優(yōu)勢。當其很大時，粘性效應消失，但是由于固體表面無滑移條件，邊界層的粘性效應還是存在，需要考慮。(11) 11.11如果空氣真是無粘性的，飛機能夠飛行嗎？鳥和昆蟲能飛行嗎？為什么？答：飛機能飛，機翼上下空氣流動速度不一樣，上面流動得快，下面流動得慢，使機翼上下面產(chǎn)生向上壓力差，給飛機上升的力，所以飛機能飛鳥和昆蟲不能飛，鳥和昆蟲的飛行是扇動翅膀依靠空氣給翅膀的反作用力飛行，如果空氣沒有粘性，就無法提供這個反作用力，所以鳥和昆蟲不能飛行(12)寫出均勻各向同性彈性體的基本方程,邊界條件應變張量:1 MFUk：lkej力一,-)2 ：xicXj一xi一Xj質點速度：-vjNivi二一vi一nl).rv.tCXj質點加速度：ai-：MNvjZJC.t二Xj連續(xù)性方程：*(%)n二0，t:佻歐拉運動方程：- ij：XjXi各向均勻同性彈性材料胡克定律二ij='ekk-ij'2GeijM(x)kD3C2(m1)(m2)=2-2m=0.=m=1.