浙江省2019年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 微專題五 以特殊三角形為背景的計算與證明訓(xùn)練.doc
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浙江省2019年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 微專題五 以特殊三角形為背景的計算與證明訓(xùn)練.doc
微專題五以特殊三角形為背景的計算與證明姓名:_班級:_用時:_分鐘1如圖,在RtABC中,ACB90,BAC30,E為AB邊的中點,以BE為邊作等邊BDE,連結(jié)AD,CD.(1)求證:ADECDB;(2)若BC,在AC邊上找一點H,使得BHEH最小,并求出這個最小值2如圖,在等邊ABC中,點D,E,F(xiàn)分別同時從點A,B,C出發(fā),以相同的速度在AB,BC,CA上運(yùn)動,連結(jié)DE,EF,DF.(1)證明:DEF是等邊三角形;(2)在運(yùn)動過程中,當(dāng)CEF是直角三角形時,試求的值3從三角形(不是等腰三角形)一個頂點引出一條射線與對邊相交,頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形,如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形,另一個與原三角形相似,我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線(1)如圖1,在ABC中,CD為角平分線,A40,B60,求證:CD為ABC的完美分割線;(2)在ABC中,A48,CD是ABC的完美分割線,且ACD為等腰三角形,求ACB的度數(shù);(3)如圖2,在ABC中,AC2,BC,CD是ABC的完美分割線,且ACD是以CD為底邊的等腰三角形,求完美分割線CD的長4如圖,ABC和ADE是有公共頂點的等腰直角三角形,BACDAE90,點P為射線BD,CE的交點(1)求證:BDCE;(2)若AB2,AD1,把ADE繞點A旋轉(zhuǎn),當(dāng)EAC90時,求PB的長5如圖,直角ABC中,A為直角,AB6,AC8.點P,Q,R分別在AB,BC,CA邊上同時開始作勻速運(yùn)動,2秒后三個點同時停止運(yùn)動,點P由點A出發(fā)以每秒3個單位的速度向點B運(yùn)動,點Q由點B出發(fā)以每秒5個單位的速度向點C運(yùn)動,點R由點C出發(fā)以每秒4個單位的速度向點A運(yùn)動,在運(yùn)動過程中:(1)求證:APR,BPQ,CQR的面積相等;(2)求PQR面積的最小值;(3)用t(秒)(0t2)表示運(yùn)動時間,是否存在t,使PQR90?若存在,請直接寫出t的值;若不存在,請說明理由6問題:(1)如圖1,在RtABC中,ABAC,D為BC邊上一點(不與點B,C重合),將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90得到AE,連結(jié)EC,則線段BC,DC,EC之間滿足的等量關(guān)系式為_;探索:(2)如圖2,在RtABC與RtADE中,ABAC,ADAE,將ADE繞點A旋轉(zhuǎn),使點D落在BC邊上,試探索線段AD,BD,CD之間滿足的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;應(yīng)用:(3)如圖3,在四邊形ABCD中,ABCACBADC45.若BD9,CD3,求AD的長 參考答案1(1)證明:在RtABC中,BAC30,E為AB邊的中點,BCEA,ABC60.DEB為等邊三角形,DBDE,DEBDBE60,DEA120,DBC120,DEADBC,ADECDB.(2)解:如圖,作點E關(guān)于直線AC對稱點E,連結(jié)BE交AC于點H,連結(jié)EH,AE,則點H即為符合條件的點由作圖可知,EHHE,AEAE,EACBAC30,EAE60,EAE為等邊三角形,EEEAAB,AEB90.在RtABC中,BAC30,BC,AB2,AEAE,BE3,BHEH的最小值為3.2(1)證明:ABC是等邊三角形,ABC60,ABBCCA.ADBECF,BDCEAF.在ADF,BED和CFE中,ADFBEDCFE,F(xiàn)DDEEF,DEF是等邊三角形(2)解:ABC和DEF是等邊三角形,DEFABC.當(dāng)DEBC時(EFBC時,同理),BDE30,BEBD,即BEBC,CEBC.EFECsin 60BCBC,()2()2.3(1)證明:A40,B60,ACB80,ABC不是等腰三角形CD平分ACB,ACDBCDACB40,ACDA40,ACD為等腰三角形DCBA40,CBDABC,BCDBAC,CD是ABC的完美分割線 (2)解:當(dāng)ADCD時,如圖,則ACDA48.BDCBCA,BCDA48,ACBACDBCD96.當(dāng)ADAC時,如圖,則ACDADC66.BDCBCA,BCDA48,ACBACDBCD114.當(dāng)ACCD時,如圖,則ADCA48.BDCBCA,BCDA48.ADCBCD48與ADC>BCD矛盾,ACCD不成立綜上所述,ACB96或114.(3)解:由已知得ADAC2.BCDBAC,.設(shè)BDx(x>0),則()2x(x2),解得x1(負(fù)值舍去),CD2.4(1)證明:ABC和ADE是等腰直角三角形,BACDAE90,ABAC,ADAE,DABEAC,ADBAEC,BDCE.(2)解:如圖,當(dāng)點E在AB上時,BEABAE1.EAC90,CE.同(1)可證ADBAEC,DBAECA.PEBAEC,PEBAEC,PB.如圖,當(dāng)點E在BA延長線上時,BE3.EAC90,CE.同(1)可證ADBAEC,DBAECA.BEPCEA,PEBAEC,PB.綜上所述,PB的長為或.5(1)證明:在RtABC中,AB6,AC8,BC10,sinB,sinC.如圖,過點Q作QEAB于點E,作QDAC于點D.在RtBQE中,BQ5t,sinB,QE4t.在RtCDQ中,CQBCBQ105t,QDCQsinC(105t)3(2t),QEBQsinB5t4t.由運(yùn)動知AP3t,CR4t,BPABAP63t3(2t),ARACCR84t4(2t),SAPRAPAR3t4(2t)6t(2t),SBPQBPQE3(2t)4t6t(2t),SCQRCRQD4t3(2t)6t(2t),SAPRSBPQSCQR,APR,BPQ,CQR的面積相等(2)解:由(1)知,SAPRSBPQSCQR6t(2t)AB6,AC8,SPQRSABC(SAPRSBPQSCQR)6836t(2t)2418(2tt2)18(t1)26.0t2,當(dāng)t1時,SPQR最小6.(3)解:存在由(1)知QE4t,QD3(2t),AP3t,CR4t,AR4(2t),BPABAP63t3(2t),ARACCR84t4(2t)A90,四邊形AEQD是矩形,AEDQ3(2t),ADQE4t,DR|ADAR|4t4(2t)|4(2t2)|,PE|APAE|3t3(2t)|3(2t2)|.DQE90,PQR90,DQREQP,tanDQRtanEQP.在RtDQR中,tanDQR,在RtEQP中,tanEQP,t或1.6解:(1) BCDCEC(2)BD2CD22AD2,理由如下:如圖,連結(jié)CE.BACBADDAC90,DAECAEDAC90,BADCAE.在BAD與CAE中,BADCAE,BDCE,ACEB,DCE90,CE2CD2ED2.在RtADE中,AD2AE2ED2,ADAE,BD2CD2ED2,EDAD,BD2CD22AD2.(3)如圖,作AEAD,使AEAD,連結(jié)CE,DE.BACCADDAECAD,即BADCAE.在BAD與CAE中,BADCAE(SAS),BDCE9.ADC45,EDA45,EDC90,DE6.DAE90,ADAEDE6.