學案19 橢圓、雙曲線、拋物線

1.1.理解橢圓、拋物線的定義，幾何圖形理解橢圓、拋物線的定義，幾何圖形, ,標準方程及標準方程及 簡單性質(zhì)簡單性質(zhì). .2.2.了解雙曲線的定義、幾何圖形、標準方程、知道它了解雙曲線的定義、幾何圖形、標準方程、知道它 的簡單幾何性質(zhì)的簡單幾何性質(zhì). .3.3.理解數(shù)形結(jié)合思想理解數(shù)形結(jié)合思想. .4.4.掌握直線與橢圓、直線與雙曲線、直線與拋物線的掌握直線與橢圓、直線與雙曲線、直線與拋物線的 位置關(guān)系的判定及它們的解法位置關(guān)系的判定及它們的解法. .5.5.了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用. .6.6.會解有關(guān)圓錐曲線的最值問題會解有關(guān)圓錐曲線的最值問題. .7.7.能根據(jù)條件求解有關(guān)軌跡問題及軌跡方程能根據(jù)條件求解有關(guān)軌跡問題及軌跡方程. . 學案學案19 19 橢圓、雙曲線、拋物線橢圓、雙曲線、拋物線 1.(20091.(2009湖南湖南) )拋物線拋物線y y2 2=-8=-8x x的焦點坐標是的焦點坐標是 ( )( ) A.(2,0) B.(-2,0) C.(4,0) D.(-4,0) A.(2,0) B.(-2,0) C.(4,0) D.(-4,0) 解析解析 y y2 2=-8=-8x x,p p=4,=4,焦點坐標為焦點坐標為(-2,0).(-2,0).2.(20092.(2009江西江西) )過橢圓過橢圓 ( (a ab b0)0)的左焦點的左焦點 F F1 1作作x x軸的垂線交橢圓于點軸的垂線交橢圓于點P P, ,F F2 2為右焦點為右焦點, ,若若F F1 1PFPF2 2 =60=60, ,則橢圓的離心率為則橢圓的離心率為 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 12222byax22332131B B解析解析 由題意知點由題意知點P P的坐標為的坐標為 F F1 1PFPF2 2=60=60, ,答案答案 B B).(332, 322222cabacabc即),(),(22abcabc或).(333, 03232舍去或eeee3.(20093.(2009山東山東) )設(shè)雙曲線設(shè)雙曲線 的一條漸近線與的一條漸近線與 拋物線拋物線y y= =x x2 2+1+1只有一個公共點只有一個公共點, ,則雙曲線的離心率為則雙曲線的離心率為 ( )( ) A. B.5 C. D. A. B.5 C. D. 解析解析 不妨設(shè)雙曲線不妨設(shè)雙曲線 的一條漸近線為的一條漸近線為y y= = 由方程組由方程組 消去消去y y, ,得得x x2 2- +1=0- +1=0有有 唯一解唯一解, ,所以所以=12222byax12222byax, xab1,2xyxabyxab, 04)(2ab45255. 5)(1, 2222ababaaceab所以D D題型一題型一 圓錐曲線的方程與性質(zhì)圓錐曲線的方程與性質(zhì)【例【例1 1】已知橢圓】已知橢圓G G的中心在坐標原點的中心在坐標原點, ,長軸在長軸在x x軸上軸上, , 離心率為離心率為 兩個焦點分別為兩個焦點分別為F F1 1和和F F2 2, ,橢圓橢圓G G上一點到上一點到 F F1 1和和F F2 2的距離之和為的距離之和為12,12,圓圓C Ck k: :x x2 2+ +y y2 2+2+2kxkx-4-4y y-21=0(-21=0(k k R) R)的圓心為點的圓心為點A Ak k. . (1) (1)求橢圓求橢圓G G的方程的方程; ; (2) (2)求求A Ak kF F1 1F F2 2面積面積; ; (3) (3)問是否存在圓問是否存在圓C Ck k包圍橢圓包圍橢圓G G？請說明理由？請說明理由. . ,23解解 (1)(1)設(shè)橢圓設(shè)橢圓G G的方程為的方程為 ( (a ab b0),0),半焦半焦距為距為c c, ,則則所以所以b b2 2= =a a2 2- -c c2 2=36-27=9.=36-27=9.所求橢圓所求橢圓G G的方程為的方程為(2)(2)點點A Ak k的坐標為的坐標為(-(-k k,2).,2).12222byax, 33, 623,122caaca解得. 193622yx. 36236212|212121FFSFFAk(3)(3)若若k k0,0,由由6 62 2+0+02 2+12+12k k-0-21=15+12-0-21=15+12k k0,0,可知右端點可知右端點(6,0)(6,0)在圓在圓C Ck k外外; ;若若k k0,0,由由(-6)(-6)2 2+0+02 2-12-12k k-0-21=15-12-0-21=15-12k k0,0,可知左端點可知左端點(-6,0)(-6,0)在圓在圓C Ck k外外. .所以不論所以不論k k為何值為何值, ,圓圓C Ck k都不能包圍橢圓都不能包圍橢圓G G. .【探究拓展探究拓展】本小題考查了橢圓的定義、方程、性質(zhì)】本小題考查了橢圓的定義、方程、性質(zhì) 及曲線與曲線的位置關(guān)系及曲線與曲線的位置關(guān)系, ,在解答這類問題時在解答這類問題時, ,應(yīng)充應(yīng)充 分利用定義與性質(zhì)進行解答分利用定義與性質(zhì)進行解答, ,才能使問題得以快速解才能使問題得以快速解 決決. . 變式訓練變式訓練1 1 設(shè)設(shè)b b0,0,橢圓方程為橢圓方程為 拋物線方程為拋物線方程為x x2 2=8(=8(y y - -b b).).如圖所示如圖所示, ,過點過點F F(0,(0,b b+2)+2)作作 x x軸的平行線軸的平行線, ,與拋物線在第一象與拋物線在第一象 限的交點為限的交點為G G, ,已知拋物線在點已知拋物線在點G G的切線經(jīng)過橢圓的的切線經(jīng)過橢圓的 右焦點右焦點F F1 1. . (1) (1)求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程; ; (2) (2)設(shè)設(shè)A A, ,B B分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在 拋物線上是否存在點拋物線上是否存在點P P, ,使得使得ABPABP為直角三角形為直角三角形? ?若若 存在存在, ,請指出共有幾個這樣的點請指出共有幾個這樣的點? ?并說明理由并說明理由( (不必具不必具 體求出這些點的坐標體求出這些點的坐標). ). , 122222bybx解解 (1)(1)由由x x2 2=8(=8(y y- -b b),),得得當當y y= =b b+2,+2,得得x x= =4.4.G G點的坐標為點的坐標為(4,(4,b b+2),+2),y y= = x x, ,y y|x x=4=4=1,=1,過點過點G G的切線方程為的切線方程為y y-(-(b b+2)=+2)=x x-4,-4,即即y y= =x x+ +b b-2,-2,令令y y=0,=0,得得x x=2-=2-b b,F F1 1點的坐標為點的坐標為(2-(2-b b,0),0),由橢圓方程得由橢圓方程得F F1 1點的坐標為點的坐標為( (b b,0),0),2-2-b b= =b b, ,即即b b=1,=1,即橢圓和拋物線的方程分別為即橢圓和拋物線的方程分別為 和和x x2 2=8(=8(y y-1). -1). ,812bxy411222 yx(2)(2)過過A A作作x x軸的垂線與拋物線只有一個交點軸的垂線與拋物線只有一個交點P P, ,以以PABPAB為直角的為直角的RtRtABPABP只有一個只有一個, ,同理同理, ,以以PBAPBA為直角的為直角的RtRtABPABP只有一個只有一個. .若以若以APBAPB為直角為直角, ,設(shè)設(shè)P P點坐標為點坐標為A A、B B兩點的坐標分別為兩點的坐標分別為( ,0)( ,0)和和( ,0),( ,0),關(guān)于關(guān)于x x2 2的二次方程有一大于零的解的二次方程有一大于零的解,x x有兩解有兩解, ,即以即以APBAPB為直角的為直角的RtRtABPABP有兩個有兩個, ,因此拋物線上存因此拋物線上存在四個點使得在四個點使得ABPABP為直角三角形為直角三角形. . ),181,(2xx22. 0145641) 181(224222xxxxPBPA題型二題型二 直線與圓錐曲線之間的關(guān)系直線與圓錐曲線之間的關(guān)系【例【例2 2】(2009(2009全國全國)已知橢圓已知橢圓C C: : ( (a ab b0)0)的離心率為過右焦點的離心率為過右焦點F F的直線的直線l l與與C C相相 交于交于A A、B B兩點兩點, ,當當l l的斜率為的斜率為1 1時時, ,坐標原點坐標原點O O到到l l的距的距 離為離為 (1)(1)求求a a、b b的值的值; ; (2) (2)C C上是否存在點上是否存在點P P, ,使得當使得當l l繞繞F F轉(zhuǎn)到某一位置時轉(zhuǎn)到某一位置時, ,有有 成立成立? ?若存在若存在, ,求出所有的求出所有的P P的坐標與的坐標與l l 的方程的方程; ;若不存在若不存在, ,說明理由說明理由. . 12222byax,33.22OBOAOP解解 (1)(1)設(shè)設(shè)F F( (c c,0),0),當當l l的斜率為的斜率為1 1時時, ,其方程為其方程為x x- -y y- -c c=0,=0,坐標原點坐標原點O O到到l l的距離為的距離為(2)(2)C C上存在點上存在點P P, ,使得當使得當l l繞繞F F轉(zhuǎn)到某一位置時，轉(zhuǎn)到某一位置時，有有 成立成立. .由由(1)(1)知橢圓知橢圓C C的方程為的方程為2 2x x2 2+3+3y y2 2=6,=6,設(shè)設(shè)A A( (x x1 1, ,y y1 1),),B B( (x x2 2, ,y y2 2).). 2, 3,33. 1,222,22|00|22cabaacecccc得由故OBOAOP當當l l不垂直于不垂直于x x軸時軸時, ,設(shè)設(shè)l l的方程為的方程為y y= =k k( (x x-1).-1).C C上的點上的點P P使使 成立的充要條件是成立的充要條件是P P點的坐標為點的坐標為( (x x1 1+ +x x2 2, ,y y1 1+ +y y2 2),),且且2(2(x x1 1+ +x x2 2) )2 2+3(+3(y y1 1+ +y y2 2) )2 2=6, =6, 整理得整理得 又又A A、B B在在C C上上, ,即即 故故2 2x x1 1x x2 2+3+3y y1 1y y2 2+3=0 +3=0 將將y y= =k k( (x x-1)-1)代入代入2 2x x2 2+3+3y y2 2=6,=6,并化簡得并化簡得(2+3(2+3k k2 2) )x x2 2-6-6k k2 2x x+3+3k k2 2-6=0,-6=0,于是于是x x1 1+ +x x2 2= = x x1 1x x2 2= = OBOAOP. 6643232212122222121yyxxyxyx. 632 , 63222222121yxyx,3222kk.326322kky y1 1y y2 2= =k k2 2( (x x1 1-1)(-1)(x x2 2-1)=-1)=代入代入解得解得, ,k k= = , ,此時此時, ,x x1 1+ +x x2 2= =于是于是y y1 1+ +y y2 2= =k k( (x x1 1+ +x x2 2-2)=-2)=因此因此, ,當當k k= = 時時, , l l的方程為的方程為當當k k= = 時時, , l l的方程為的方程為 .32422kk).2,23(,2kPk即,2322),22,23(P. 022 yx2),22,23(P. 022 yx當當l l垂直于垂直于x x軸時軸時, ,由由 = =（2,0)2,0)知知C C上不存在上不存在點點P P使使 成立成立. .綜上綜上, ,C C上存在點上存在點 使使 成立成立, ,此此時時l l的方程為的方程為【探究拓展探究拓展】本題以橢圓為背景考查了圓錐曲線與直】本題以橢圓為背景考查了圓錐曲線與直 線、與向量相結(jié)合的知識線、與向量相結(jié)合的知識, ,解決這類問題的關(guān)鍵是將解決這類問題的關(guān)鍵是將 向量坐標化向量坐標化, ,然后將題目中的條件轉(zhuǎn)化為坐標之間的然后將題目中的條件轉(zhuǎn)化為坐標之間的 關(guān)系關(guān)系, ,使問題得以解決使問題得以解決. . OBOAOBOAOP),22,23(POBOAOP. 022 yx變式訓練變式訓練2 2 已知中心在原點的雙曲線已知中心在原點的雙曲線C C的一個焦點是的一個焦點是 F F1 1(-3,0),(-3,0),一條漸近線的方程是一條漸近線的方程是5 5x x-2-2y y=0.=0. (1) (1)求雙曲線求雙曲線C C的方程的方程; ; (2) (2)若以若以k k( (k k0)0)為斜率的直線為斜率的直線l l與雙曲線與雙曲線C C相交于兩相交于兩 個不同的點個不同的點MM, ,N N, ,且線段且線段MNMN的垂直平分線與兩坐標的垂直平分線與兩坐標 軸圍成的三角形的面積為軸圍成的三角形的面積為 求求k k的取值范圍的取值范圍. . 解解 (1)(1)設(shè)雙曲線設(shè)雙曲線C C的方程為的方程為 ( (a a0,0,b b0).0). 由題設(shè)得由題設(shè)得 所以雙曲線所以雙曲線C C的方程為的方程為 ,28112222byax. 5, 4,25, 92222baabba解得. 15422yx(2)(2)設(shè)直線設(shè)直線l l的方程為的方程為y y= =kxkx+ +m m ( (k k0). 0). 點點MM( (x x1 1, ,y y1 1),),N N( (x x2 2, ,y y2 2) )的坐標滿足方程組的坐標滿足方程組 將將式代入式代入式式, ,得得 整理得整理得(5-4(5-4k k2 2) )x x2 2-8-8kmxkmx-4-4m m2 2-20=0.-20=0.此方程有兩個不等實根此方程有兩個不等實根, ,于是于是5-45-4k k2 20,0,且且=(-8=(-8kmkm) )2 2+4(5-4+4(5-4k k2 2)(4)(4m m2 2+20)+20)0,0,整理得整理得m m2 2+5-4+5-4k k2 20. 0. 由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段MNMN的中點坐標的中點坐標( (x x0 0, ,y y0 0) )滿滿足足. 154,22yxmkxy, 15)(422mkxx.455,45422002210kmmkxykkmxxx從而線段從而線段MNMN的垂直平分線的方程為的垂直平分線的方程為此直線與此直線與x x軸、軸、y y軸的交點坐標分別為軸的交點坐標分別為由題設(shè)可得由題設(shè)可得整理得整理得將上式代入將上式代入式得式得整理得整理得(4(4k k2 2-5)(4-5)(4k k2 2-|-|k k|-5)|-5)0,0,k k0.0.解得解得所以所以k k的取值范圍是的取值范圍是).454(145522kkmxkkmy).459, 0(),0 ,459(22kmkkm.281|459|459|2122kmkkm. 0,|)45(222kkkm, 045|)45(222kkk.45|25|0kk或).,45()25, 0()0 ,25()45,(題型三題型三 軌跡與最值軌跡與最值【例【例3 3】(2009(2009湖南湖南) )在平面直角坐標系在平面直角坐標系xOyxOy中中, ,點點P P到到 點點F F(3,0)(3,0)的距離的的距離的4 4倍與它到直線倍與它到直線x x=2=2的距離的的距離的3 3倍之倍之 和記為和記為d d. .當點當點P P運動時運動時, ,d d恒等于點恒等于點P P的橫坐標與的橫坐標與1818之之 和和. . (1) (1)求點求點P P的軌跡的軌跡C C； (2)(2)設(shè)過點設(shè)過點F F的直線的直線l l與軌跡與軌跡C C相交于相交于MM、N N兩點兩點, ,求線求線 段段MNMN長度的最大值長度的最大值. . 解解 (1)(1)設(shè)點設(shè)點P P的坐標為的坐標為( (x x, ,y y),), . |2|3)3(422xyxd則由題設(shè)由題設(shè), ,d d=18+=18+x x, , 當當x x2 2時時, ,由由得得 化簡得化簡得 當當x x22時時, ,由由得得 化簡得化簡得y y2 2=12=12x x. .故點故點P P的軌跡的軌跡C C是由橢圓是由橢圓C C1 1 在直線在直線x x=2=2的右的右側(cè)部分與拋物線側(cè)部分與拋物線C C2 2y y2 2=12=12x x在直線在直線x x=2=2的左側(cè)部分的左側(cè)部分( (包括包括它與直線它與直線x x=2=2的交點的交點) )所組成的曲線所組成的曲線, ,如圖如圖(1)(1)所示所示. .18|2|3)3(422xxyx即.216)3(22xyx. 1273622yxxyx3)3(22. 1273622yx(2)(2)如圖如圖(2)(2)所示所示, ,易知直線易知直線x x=2=2與與C C1 1、C C2 2的交點都是的交點都是A A(2, ),(2, ),B B(2, ),(2, ),直線直線AFAF, ,BFBF的斜率分別為的斜率分別為k kAFAF= ,= ,k kBFBF= = 當點當點P P在在C C1 1上時上時, ,由由知知| |PFPF|= |= 當點當點P P在在C C2 2上時，上時，由由知知| |PFPF|=3+|=3+x x. . 若直線若直線l l的斜率的斜率k k存在存在, ,則直線則直線l l的方程的方程y y= =k k( (x x-3).-3).當當k kk kAFAF, ,或或k kk kBFBF, ,即即k k 或或k k 時時, ,直線直線l l與軌跡與軌跡C C的兩個交點的兩個交點MM( (x x1 1, ,y y1 1),),N N( (x x2 2, ,y y2 2) )都在都在C C1 1上上, ,此時此時由由知知| |MFMF|= |= |NFNF|=|=626262. 62.216x6262,2161x,2162x由由 得得(3+4(3+4k k2 2) )x x2 2-24-24k k2 2x x+36+36k k2 2-108=0.-108=0.則則x x1 1, ,x x2 2是這個方程的兩根是這個方程的兩根, ,所以所以因為當因為當k k 或或k k 時時, ,k k2 224,24,所以所以當且僅當當且僅當k k= = 時時, ,等號成立等號成立. .).(2112)216()216(|2121xxxxMN, 12736),3(22yxxky.1110042431212431212431212|222kkkMN6262.431212)(2112| ,432422212221kkxxMNkkxx62當當k kAEAEk kk kANAN, ,即或即或 時時, ,直線直線l l與軌跡與軌跡C C的兩個交點的兩個交點MM( (x x1 1, ,y y1 1),),N N( (x x2 2, ,y y2 2) )分別在分別在C C1 1, ,C C2 2上上, ,不妨不妨設(shè)點設(shè)點MM在在C C1 1上上, ,點點N N在在C C2 2上上. .則由則由知知,|,|MFMF|= |= |NFNF|=3+|=3+x x2 2, ,設(shè)直線設(shè)直線AFAF與橢圓與橢圓C C1 1的另一交點為的另一交點為E E( (x x0 0, ,y y0 0),),則則x x0 0 x x1 1, ,x x2 22.2.| |NFNF|=3+|=3+x x2 23+2=|3+2=|AFAF|,|,所以所以| |MNMN|=|=|MFMF|+|+|NFNF| | |EFEF|+|+|AFAF|=|=|AEAE|,|,而點而點A A、E E都在都在C C1 1上上, ,且且k kAEAE= = 6262k,2161x|,|216216|01EFxxMF. 62由由知知| |AEAE|= |= 所以所以| |MNMN| | 若直線若直線l l的斜率不存在的斜率不存在, ,則則x x1 1= =x x2 2=3.=3.此時此時| |MNMN|=12- (|=12- (x x1 1+ +x x2 2)=9)=9綜上所述，線段綜上所述，線段MNMN長度的最大值為長度的最大值為【探究拓展探究拓展】本小題考查了圓錐曲線的標準方程】本小題考查了圓錐曲線的標準方程, ,軌軌 跡方程以及求最值跡方程以及求最值, ,解析幾何中的最值問題、定值問解析幾何中的最值問題、定值問 題是近幾年高考命題的一大熱點，應(yīng)引起高度重視題是近幾年高考命題的一大熱點，應(yīng)引起高度重視. .,11100.11100.1110021.11100變式訓練變式訓練3 3 在平面直角坐標系在平面直角坐標系xOyxOy 中中, ,過定點過定點C C(0,(0,p p) )作直線與拋物線作直線與拋物線 x x2 2=2=2pypy ( (p p0)0)相交于相交于A A, ,B B兩點兩點. . (1) (1)若點若點N N是點是點C C關(guān)于坐標原點關(guān)于坐標原點O O的的 對稱點對稱點, ,求求ANBANB面積的最小值；面積的最小值； (2)(2)是否存在垂直于是否存在垂直于y y軸的直線軸的直線l l, ,使得使得l l被以被以ACAC為直徑為直徑 的圓截得的弦長恒為定值的圓截得的弦長恒為定值? ?若存在若存在, ,求出求出l l的方程的方程; ;若不若不 存在存在, ,說明理由說明理由. . 解解 (1)(1)依題意依題意, ,點點N N的坐標為的坐標為N N(0,-(0,-p p),), 可設(shè)可設(shè)A A( (x x1 1, ,y y1 1),),B B( (x x2 2, ,y y2 2),), 直線直線ABAB的方程為的方程為y y= =kxkx+ +p p, ,與與x x2 2=2=2pypy, ,聯(lián)立得聯(lián)立得, ,消去消去y y得得x x2 2-2-2pkxpkx-2-2p p2 2=0.=0.由韋達定理得由韋達定理得x x1 1+ +x x2 2=2=2pkpk, ,x x1 1x x2 2=-2=-2p p2 2. .于是于是S SABNABN= =S SBCNBCN+ +S SACNACN= =22p p| |x x1 1- -x x2 2| |當當k k=0=0時時,(,(S SABNABN) )minmin= =(2)(2)假設(shè)滿足條件的直線假設(shè)滿足條件的直線l l存在存在, ,其方程為其方程為y y= =a a, ,ACAC的中點為的中點為O O,l l與與ACAC為直徑的圓相交于點為直徑的圓相交于點P P, ,Q Q, ,PQPQ的中點為的中點為H H, ,則則O OH HPQPQ, ,O O點的坐標為點的坐標為 .,22pkxypyx21,22844)(|222222122121kppkppxxxxpxxp.222p).2,2(11pyx|PHPH| |2 2=|=|O OP P| |2 2-|-|O OH H| |2 2令令 得得 此時此時| |PQPQ|=|=p p為定值，為定值，故存在滿足條件的直線故存在滿足條件的直線l l, ,其方程為其方程為y y= = 即拋物線的通即拋物線的通徑所在的直線徑所在的直線. . ).()2(4|)|2(|),()2()2(41)(41122121221apaypaPHPQapaypapyapy|,2|21|2|,21)(21|21|112212121pyapyaHOpypyxACPO, 02pa,2pa ,2p題型四題型四 直線與圓錐曲線的綜合問題直線與圓錐曲線的綜合問題【例【例4 4】(2009(2009山東山東) )設(shè)橢圓設(shè)橢圓E E: (: (a a, ,b b0)0) 過點過點MM(2, ),(2, ),N N( ,1)( ,1)兩點兩點, ,O O為坐標原點為坐標原點. . (1) (1)求橢圓求橢圓E E的方程的方程; ; (2) (2)是否存在圓心在原點的圓是否存在圓心在原點的圓, ,使得該圓的任意一條使得該圓的任意一條 切線與橢圓切線與橢圓E E恒有兩個交點恒有兩個交點A A, ,B B, ,且且 ? ?若存在若存在, , 寫出該圓的方程寫出該圓的方程, ,并求并求| |ABAB| |的取值范圍的取值范圍; ;若不存在若不存在, ,說說 明理由明理由. . 12222byaxOBOA 26解解 (1)(1)將將MM、N N的坐標代入橢圓的坐標代入橢圓E E的方程得的方程得所以橢圓所以橢圓E E的方程為的方程為(2)(2)假設(shè)滿足題意的圓存在假設(shè)滿足題意的圓存在, ,其方程為其方程為x x2 2+ +y y2 2= =R R2 2, ,其中其中0 0R R2.2.設(shè)該圓的任意一條切線設(shè)該圓的任意一條切線ABAB和橢圓和橢圓E E交于交于A A( (x x1 1, ,y y1 1),),B B( (x x2 2, ,y y2 2）兩點）兩點, ,當直線當直線ABAB的斜率存在時的斜率存在時, ,令直線令直線ABAB的的方程為方程為y y= =kxkx+ +m m, , 將其代入橢圓將其代入橢圓E E的方程并整理得的方程并整理得(2(2k k2 2+1)+1)x x2 2+4+4kmxkmx+2+2m m2 2-8=0.-8=0. . 4, 8. 116, 124222222bababa解得. 14822yx由韋達定理得由韋達定理得 因為因為 所以所以x x1 1x x2 2+ +y y1 1y y2 2=0. =0. 由由代入代入并整理得并整理得(1+(1+k k2 2) )x x1 1x x2 2+ +kmkm( (x x1 1+ +x x2 2)+)+m m2 2=0.=0.聯(lián)立聯(lián)立得得 因為直線因為直線ABAB和圓相切和圓相切, ,因此因此 由由得得 所以存在圓所以存在圓 滿足題意滿足題意. .當切線當切線ABAB的斜率不存在時的斜率不存在時, ,易得易得.1282,1242221221kmxxkkmxx,OBOA ).1 (3822km,362R3822 yx,382221 xx,1|2kmR由橢圓由橢圓E E的方程得的方程得顯然顯然 綜上所述綜上所述, ,存在圓存在圓 滿足題意，滿足題意，方法一方法一 當切線當切線ABAB的斜率存在時的斜率存在時, ,由由得得 ,382221 yy3822 yx1213211212412824)124(14)(1)(1)()(|2222222222122122212221221kkkkkmkkmkxxxxkxxkyyxxAB當切線當切線ABAB的斜率不存在時的斜率不存在時, ,易得易得| |ABAB|= |= 所以所以 綜上所述綜上所述, ,存在圓心在原點的圓存在圓心在原點的圓 滿足題意滿足題意, ,且且 . 32|364,12|332.12)43(364)321 (32|, 121,12122222ABABtttABtkkt即所以因此則令. 32|364 AB,364. 32|364 AB3822 yx方法二方法二 過原點過原點O O作作ODODABAB, ,垂足為垂足為D D, ,則則D D為切點為切點. . 設(shè)設(shè)OABOAB= ,= ,則則 為銳角為銳角, , . 32|364,)1(362| ,2, 1 ;)1(362| , 1 ,22:,tan. 2tan22,22|2),tan1(tan362|,tan362| ,tan362|ABxxABxxxABxxOAABBDAD所以單調(diào)遞增時當單調(diào)遞減時當易證令所以因為所以且變式訓練變式訓練4 4 如圖所示如圖所示, ,橢圓橢圓C C的方程的方程 為為 ( (a ab b0),0),A A是橢圓是橢圓 C C的短軸左頂點的短軸左頂點, ,過過A A點作斜率為點作斜率為-1-1 的直線交橢圓于的直線交橢圓于B B點點, ,點點P P(1,0),(1,0),且且 BPBPy y軸軸, ,APBAPB的面積為的面積為 (1)(1)求橢圓求橢圓C C的方程的方程; ; (2) (2)在直線在直線ABAB上求一點上求一點MM, ,使得以橢圓使得以橢圓C C的焦點為焦的焦點為焦 點點, ,且過且過MM的雙曲線的雙曲線E E的實軸最長的實軸最長, ,并求此雙曲線并求此雙曲線E E的的 方程方程. . 12222bxay.29解解 (1)(1)S SAPBAPB= = APAPPBPB= = 又又PABPAB=45=45, ,APAP= =PBPB, ,故故APAP= =BPBP=3.=3.P P(1,0),(1,0),A A(-2,0),(-2,0),B B(1,-3).(1,-3).b b=2,=2,將將B B(1,-3)(1,-3)代入橢圓方程代入橢圓方程, ,得得 解得解得a a2 2=12,=12,所求橢圓的方程為所求橢圓的方程為 (2)(2)設(shè)橢圓設(shè)橢圓C C的焦點為的焦點為F F1 1, ,F F2 2, ,則易知則易知F F1 1(0, ),(0, ),F F2 2(0, ),(0, ),直線直線ABAB的方程為的方程為x x+ +y y+2=0,+2=0,因為因為MM在雙曲線在雙曲線E E上上, ,要使雙要使雙曲線曲線E E的實軸最長的實軸最長, ,只需只需|MFMF1 1|-|-|MFMF2 2|最大最大, ,21,29, 191, 222abb. 141222xy2222F F1 1(0, )(0, )關(guān)于直線關(guān)于直線ABAB的對稱點為的對稱點為F F1 1( ,( ,-2),-2),直線直線F F2 2F F1 1與直線與直線l l的交點為所求的交點為所求MMF F2 2F F1 1的方程為的方程為 聯(lián)立聯(lián)立又又2 2a a=|=|MFMF1 1|-|-|MFMF2 2|=|=|MFMF1 1|-|-|MFMF2 2|F F2 2F F1 1|故故a amaxmax= ,= ,b b= ,= ,故所求雙曲線的方程為故所求雙曲線的方程為22222, 022)223(xy),3, 1 (, 02, 022)223(Myxxy得,62)222()0222(2226. 12622xy【考題再現(xiàn)】【考題再現(xiàn)】(2009(2009遼寧遼寧) )已知已知, ,橢圓橢圓C C經(jīng)過點經(jīng)過點A(A(1, ),1, ),兩個焦點為兩個焦點為 (-1,0),(1,0).(-1,0),(1,0). (1) (1)求橢圓求橢圓C C的方程的方程; ; (2) (2)E E、F F是橢圓是橢圓C C上的兩個動點上的兩個動點, ,如果直線如果直線AEAE的斜率的斜率 與與AFAF的斜率互為相反數(shù)的斜率互為相反數(shù), ,證明證明: :直線直線EFEF的斜率為定值的斜率為定值, , 并求出這個定值并求出這個定值. .23【解題示范解題示范】解解 (1)(1)由題意由題意, ,知知c c=1,=1,可設(shè)橢圓方程為可設(shè)橢圓方程為 因為因為A A在橢圓上在橢圓上, ,所以所以 解得解得b b2 2=3,=3,b b2 2= (= (舍去舍去).).所以橢圓的方程為所以橢圓的方程為 4 4分分(2)(2)設(shè)直線設(shè)直線AEAE的方程為的方程為y y= =k k( (x x-1)+ -1)+ 代入代入得得(3+4(3+4k k2 2) )x x2 2+4+4k k(3-2(3-2k k) )x x+4( -+4( -k k) )2 2-12=0.-12=0.設(shè)設(shè)E E( (x xE E, ,y yE E),),F F( (x xF F, ,y yF F),),因為點因為點A A(1, )(1, )在橢圓上在橢圓上, ,所以所以 8 8分分. 112222bybx, 1491122bb43. 13422yx,23. 13422yx2323.23,4312)23(422kkxykkxEEE又直線又直線AFAF的斜率與的斜率與AEAE的斜率互為相反數(shù)的斜率互為相反數(shù), ,在上式中以在上式中以- -k k代代k k, ,可得可得所以直線所以直線EFEF的斜率的斜率即直線即直線EFEF的斜率為定值的斜率為定值, ,其值為其值為 1212分分,23,4312)23(422kkxykkxFFF.212)(EFFEEFEFEFxxkxxkxxyyk.211.1.理解橢圓的定義至關(guān)重要理解橢圓的定義至關(guān)重要, ,涉及到橢圓上的點到焦涉及到橢圓上的點到焦 點的距離時點的距離時, ,應(yīng)首先聯(lián)想到定義應(yīng)首先聯(lián)想到定義, ,橢圓的問題都是由橢圓的問題都是由 a a, ,b b, ,c c, ,e e四個參數(shù)決定的四個參數(shù)決定的, ,其關(guān)系鏈為其關(guān)系鏈為 a a2 2= =b b2 2+ +c c2 2, , 幾何性質(zhì)幾何性質(zhì), ,在橢圓上一點在橢圓上一點P P與兩焦點與兩焦點 F F1 1、F F2 2, ,連結(jié)連結(jié)PFPF1 1、PFPF2 2, ,若若F F1 1PFPF2 2= ,= ,則則PFPF1 1F F2 2的的 面積為面積為 若若A A1 1、A A2 2是橢圓的左、右頂是橢圓的左、右頂 點點, ,則則221abace.2tan221bSFPF.2221abkkPAPA2.2.求軌跡的基本方法求軌跡的基本方法: :求動點的軌跡方程是一個綜合求動點的軌跡方程是一個綜合 性的課題性的課題, ,滲透性強、牽涉的知識面寬滲透性強、牽涉的知識面寬, ,其實質(zhì)是將其實質(zhì)是將 “ “形形”轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為“數(shù)數(shù)”, ,將將“曲線曲線”轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為“方程方程”, , 數(shù)、形結(jié)合體現(xiàn)數(shù)、形結(jié)合體現(xiàn)“轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化”的數(shù)學思想的數(shù)學思想. .根據(jù)動點不同根據(jù)動點不同 的運動性質(zhì)和規(guī)律的運動性質(zhì)和規(guī)律, ,常用的解題方法有以下幾種常用的解題方法有以下幾種: : 直譯法直譯法定義法定義法( (基本軌跡法基本軌跡法) )代點法代點法( (動點轉(zhuǎn)移動點轉(zhuǎn)移 法法, ,相關(guān)點代入法相關(guān)點代入法) )參數(shù)法參數(shù)法. .3.3.求解最值常用的幾種方法求解最值常用的幾種方法: :利用圓錐曲線的定義利用圓錐曲線的定義 求最大求最大( (小小) )值值; ;利用二次函數(shù)求最值利用二次函數(shù)求最值; ;利用基本利用基本 不等式求最值不等式求最值; ;構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性求最構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性求最 值值; ;構(gòu)造圖形利用數(shù)形結(jié)合的方法求最值構(gòu)造圖形利用數(shù)形結(jié)合的方法求最值; ;三角三角 換元利用三角函數(shù)的有界性求最值換元利用三角函數(shù)的有界性求最值. .4.4.若方程組消元后若方程組消元后, ,得到一個一元二次方程得到一個一元二次方程, ,則根據(jù)判則根據(jù)判 別式別式“”的符號來討論的符號來討論, ,若若0,0,則直線與圓錐則直線與圓錐 曲線相交曲線相交, ,有兩個交點有兩個交點; ;若若=0,=0,則直線與圓錐曲線則直線與圓錐曲線 相切相切, ,有一個公共點有一個公共點; ;若若0,0,則直線與圓錐曲線則直線與圓錐曲線 相離，沒有公共點相離，沒有公共點. .5.5.若方程組消元后若方程組消元后, ,得到一個一元一次方程得到一個一元一次方程, ,則直線與則直線與 圓錐曲線有一個交點圓錐曲線有一個交點. .特別提醒直線與二次曲線僅有特別提醒直線與二次曲線僅有 一個交點時一個交點時, ,未必相切未必相切, ,如與拋物線對稱軸平行的直如與拋物線對稱軸平行的直 線線, ,與雙曲線的漸近線的直線與雙曲線的漸近線的直線, ,它們都只有一個交點它們都只有一個交點, , 但是不相切但是不相切, ,而是相交而是相交. . 6.6.涉及圓錐曲線的弦長涉及圓錐曲線的弦長, ,一般是用弦長公式結(jié)合韋達一般是用弦長公式結(jié)合韋達 定理解決定理解決, ,若是過焦點的弦利用圓錐曲線的定義解題若是過焦點的弦利用圓錐曲線的定義解題 較為方便較為方便, ,弦長公式弦長公式7.7.解決弦中點問題常用兩種方法解決弦中點問題常用兩種方法: :利用韋達定理利用韋達定理, ,及及 中點坐標公式構(gòu)造中點坐標公式構(gòu)造; ;利用端點在曲線上利用端點在曲線上, ,坐標滿足坐標滿足 方程方程, ,作差構(gòu)造出中點坐標和斜率關(guān)系即作差構(gòu)造出中點坐標和斜率關(guān)系即“點差法點差法”. .8.“8.“設(shè)而不求設(shè)而不求”的方法的方法: :若直線若直線l l與圓錐曲線有兩個交與圓錐曲線有兩個交 點點A A, ,B B, ,一般地一般地, ,首先設(shè)出交點坐標首先設(shè)出交點坐標A A( (x x1 1, ,y y1 1) ), ,B B( (x x2 2, ,y y2 2),), 其中有四個參數(shù)其中有四個參數(shù)x x1 1, ,y y1 1, ,x x2 2, ,y y2 2, ,它們只是過渡性符號它們只是過渡性符號, ,通通 常情況下不需要求出來常情況下不需要求出來, ,但有利于用韋達定理解決問但有利于用韋達定理解決問. |11|1|212212yykxxkAB題題, ,是直線與圓錐曲線位置關(guān)系中常用方法是直線與圓錐曲線位置關(guān)系中常用方法. .巧取特殊巧取特殊位置法位置法: :動點、動弦、動直線、動角、動軌跡常常是動點、動弦、動直線、動角、動軌跡常常是圓錐曲線問題中出現(xiàn)的動態(tài)圖形圓錐曲線問題中出現(xiàn)的動態(tài)圖形, ,利用這些動態(tài)圖形利用這些動態(tài)圖形的特殊位置往往能幫助迅速解決選擇題、填空題的特殊位置往往能幫助迅速解決選擇題、填空題. .一、選擇題一、選擇題1.(20091.(2009天津天津) )設(shè)雙曲線設(shè)雙曲線 ( (a a0,0,b b0)0)的虛的虛 軸長為軸長為2,2,焦距為焦距為 則雙曲線的漸近線方程為則雙曲線的漸近線方程為 ( )( ) A. A. B.B.y y= =2 2x x C. C. D. D. 解析解析 由題意知由題意知,2,2b b=2,2=2,2c c= = 則則b b=1,=1,c c= = a a= = 雙雙 曲線的漸近線方程為曲線的漸近線方程為12222byax, 32, 32xy22xy21.22xyC Cxy2, 3,22.(20092.(2009山東山東) )設(shè)斜率為設(shè)斜率為2 2的直線的直線l l過拋物線過拋物線y y2 2= =axax( (a a 0) 0)的焦點的焦點F F, ,且和且和y y軸交于點軸交于點A A, ,若若OAFOAF( (O O為坐標原為坐標原 點點) )的面積為的面積為4,4,則拋物線方程為則拋物線方程為 ( )( ) A. A.y y2 2= =4 4x x B.B.y y2 2= =8 8x x C. C.y y2 2=4=4x x D.D.y y2 2=8=8x x 解析解析 y y2 2= =axax的焦點坐標為的焦點坐標為 過焦點且斜率為過焦點且斜率為2 2的的 直線方程為直線方程為 令令x x=0=0得得: : a a2 2=64,=64,a a= =8.8.),0 ,4(a),4(2axy.2ay, 42|4|21aaB B3.(20093.(2009全國全國)設(shè)雙曲線設(shè)雙曲線 ( (a a0,0,b b0)0)的的 漸近線與拋物線漸近線與拋物線y y= =x x2 2+1+1相切相切, ,則該雙曲線的離心率等則該雙曲線的離心率等 于于 ( )( ) A. B.2 C. D. A. B.2 C. D. 解析解析 雙曲線雙曲線 的漸近線方程為的漸近線方程為 因因 為為y y= =x x2 2+1+1與漸近線相切與漸近線相切, ,故故 只有一個實只有一個實 根根, ,12222byax12222byax, xaby012xabx. 5, 5, 4, 042222222eacaacabC C3564.(20084.(2008山東山東) )設(shè)橢圓設(shè)橢圓C C1 1的離心率為的離心率為 焦點在焦點在x x軸上軸上 且長軸長為且長軸長為26.26.若曲線若曲線C C2 2上的點到橢圓上的點到橢圓C C1 1的兩個焦點的兩個焦點 的距離的差的絕對值等于的距離的差的絕對值等于8,8,則曲線則曲線C C2 2的標準方程為的標準方程為 ( )( ) A. B. A. B. C. D. C. D. 解析解析 由題意知由題意知2 2a a=26,=26,a a=13,=13,e e= = c c=5,=5,C C2 2為雙為雙 曲線曲線,2,2a a=8,=8,a a=4,=4,雙曲線的焦點與橢圓的焦點雙曲線的焦點與橢圓的焦點 相同相同, ,故故c c=5,=5,b b=3.=3.故其方程為故其方程為,135,1351342222yx15132222yx1432222yx112132222yx. 1342222yxA A5.(20095.(2009全國全國)已知直線已知直線y y= =k k( (x x+2) (+2) (k k0)0)與拋物線與拋物線 C C: :y y2 2=8=8x x相交相交A A, ,B B兩點兩點, ,F F為為C C的焦點的焦點. .若若| |FAFA|=2|=2|FBFB|,|, 則則k k的值為的值為 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 由由| |FAFA|=2|=2|FBFB| |及定義知及定義知x xA A+2=2(+2=2(x xB B+2)+2)聯(lián)立方聯(lián)立方 程用根與系數(shù)關(guān)系可求程用根與系數(shù)關(guān)系可求 313232322.322kD D6.6.設(shè)設(shè)F F1 1, ,F F2 2是橢圓是橢圓 的左、右焦點的左、右焦點, ,過橢圓中過橢圓中 心任作一直線與橢圓交于心任作一直線與橢圓交于P P, ,Q Q兩點兩點, ,當四邊形當四邊形PFPF1 1QFQF2 2 面積最大時面積最大時, , 的值等于的值等于 ( )( ) A.0 B.1 C.2 D.4 A.0 B.1 C.2 D.4 解析解析 由題意可知由題意可知| |F F1 1F F2 2|=2,|=2, 因當四邊形因當四邊形PFPF1 1QFQF2 2面積最大面積最大 時時, ,P P, ,Q Q兩點分別位于短軸兩端點兩點分別位于短軸兩端點, ,由對稱性不妨設(shè)由對稱性不妨設(shè) P P(0, ),(0, ),又又F F1 1(-1,0),(-1,0),F F2 2(1,0),(1,0),則則 13422yx21PFPF ,212121FQFFPFQFPFSSS. 231)3, 1 ()3, 1(),3, 1 (),3, 1(2121PFPFPFPF所以C C3二、填空題二、填空題7.(20097.(2009上海上海) )已知已知F F1 1、F F2 2是橢圓是橢圓C C: (: (a ab b 0)0)的兩個焦點的兩個焦點, ,P P為橢圓為橢圓C C上的一點上的一點, ,且且 若若 PFPF1 1F F2 2的面積為的面積為9,9,則則b b=_.=_. 解析解析 由題意由題意,得得 解得解得a a2 2- -c c2 2=9,=9,即即b b2 2=9,=9,所以所以b b=3. =3. 12222byax,2|,)2(|, 9|21212222121aPFPFcPFPFPFPF3 3.21PFPF 8.(20098.(2009海南海南) )已知拋物線已知拋物線C C的頂點坐標為原點的頂點坐標為原點, ,焦點焦點 在在x x軸上軸上, ,直線直線y y= =x x與拋物線與拋物線C C交于交于A A, ,B B兩點兩點, ,若若P P(2,2)(2,2) 為為ABAB的中點的中點, ,則拋物線則拋物線C C的方程為的方程為_._. 解析解析 設(shè)拋物線方程為設(shè)拋物線方程為y y2 2= =axax, ,將將y y= =x x代入代入y y2 2= =axax, ,得得x x=0=0 或或x x= =a a, , a a=4.=4.拋物線方程為拋物線方程為y y2 2=4=4x x. .9.9.已知橢圓已知橢圓 則則m m=2=2x x- -y y的值域為的值域為_. _. 解析解析 由題意可設(shè)由題意可設(shè), ,x x=2cos ,=2cos ,y y=3sin=3sin 即即(2(2x x- -y y) )maxmax=5,(2=5,(2x x- -y y) )minmin=-5. =-5. y y2 2=4=4x x. 22a-5,5-5,5, 19422yx),2 , 0(),43)(tancos(5sin3cos42yx所以10.10.已知已知A A(0,7),(0,7),B B(0,-7),(0,-7),C C(12,2),(12,2),以以C C為一個焦點作為一個焦點作 過過A A, ,B B的橢圓的橢圓, ,則該橢圓另一個焦點則該橢圓另一個焦點F F的軌跡方程是的軌跡方程是 _._. 解析解析 由題意知由題意知,|,|ACAC|+|+|AFAF|=|= | |BCBC|+|+|BFBF| |等于橢圓的長軸長等于橢圓的長軸長, , 所以所以| |AFAF|-|-|BFBF|=|=|BCBC|-|-|ACAC|=|= 15-13=2 15-13=214=|14=|ABAB|,|,所以點所以點F F的的 軌跡是以軌跡是以A A, ,B B為焦點為焦點, ,實軸長為實軸長為2 2的雙曲線的下支的雙曲線的下支, ,且且 c c=7,=7,a a=1,=1,所以所以b b2 2=48,=48,其方程為其方程為 ).1( 14822yxy) 1( 14822yxy三、解答題三、解答題11.(200911.(2009浙江浙江) )已知拋物線已知拋物線C C: :x x2 2=2=2pypy ( (p p0)0)上一點上一點A A( (m m,4),4)到其焦點的距離到其焦點的距離 為為 (1)(1)求求p p與與m m的值的值; ; (2) (2)拋物線拋物線C C上一點上一點P P的橫坐標為的橫坐標為t t( (t t0)0)過過P P的直線交的直線交 C C于另一點于另一點Q Q, ,交交x x軸于點軸于點MM, ,過點過點Q Q作作PQPQ的垂線交的垂線交C C于于 另一點另一點N N, ,若若MNMN是是C C的切線的切線, ,求求t t的最小值的最小值. . 解解 (1)(1)由拋物線的定義由拋物線的定義, , 又又m m2 2=8=8p p, ,所以所以p p= = m m= =2. 2. .417.417)2(4p得,21(2)(2)由由p p= = 得拋物線的方程為得拋物線的方程為y y= =x x2 2. .由題意可知由題意可知, ,直線直線PQPQ的斜率存在且不為的斜率存在且不為0,0,設(shè)直線設(shè)直線PQPQ的方程為的方程為: :y y- -t t2 2= =k k( (x x- -t t)()(k k0),0),令令y y=0,=0,得得解方程組解方程組由由NQNQPQPQ, ,得直線得直線NQNQ的方程為的方程為y y-(-(k k- -t t) )2 2= (= (x x+ +t t- -k k),),解方程組解方程組,21)0 ,(2kttM).)( ,(,),(222tktkQxytxkty得k1得22),(1)(xyktxktky于是拋物線于是拋物線C C在點在點N N處的切線方程為處的切線方程為 將點將點MM的坐標代入式的坐標代入式, ,得得 ).1)(1(2)1(2tkkxkktkkty, 021,012121, 0, 01,01. 0)21)(1(22kttkkkktkkkktkkktkktkttkkkkt得由式時當此時故時當)1( ,1(2kktkktN即即k k2 2+ +tk tk+1-2+1-2t t2 2=0,=0,此時此時,=9,=9t t2 2-40.-40.因為因為t t0,0,所以所以t t Q Q(-1,1),(-1,1),N N(4,16).(4,16).符合題符合題意意. .綜上綜上, ,t t的最小值為的最小值為 .32),94,32(,31,32Pkt時當.3212.(200912.(2009天津天津) )已知橢圓已知橢圓 ( (a ab b0)0)的兩的兩 個焦點分別為個焦點分別為F F1 1(-(-c c,0),0)、F F2 2( (c c,0) (,0) (c c0),0),過點過點 的直線與橢圓相交于的直線與橢圓相交于A A, ,B B兩點兩點, ,且且F F1 1A