高考數(shù)學(xué) 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)課件.ppt

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選修4 1幾何證明選講第一節(jié)相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì) 知識梳理 1 平行線等分線段定理 相等 平分 平分 2 平行線分線段成比例定理 1 定理 三條平行線截兩條直線 所得的 成比例 2 推論 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊 或兩邊的延長線 所得的對應(yīng)線段 對應(yīng)線段 成比例 3 相似三角形的判定及性質(zhì) 1 相似三角形的判定 定義 對應(yīng)角 對應(yīng)邊 的兩個三角形叫做相似三角形 預(yù)備定理 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊 或兩邊的延長線 所構(gòu)成的三角形與原三角形 相等 成比例 相交 相似 判定 相等 成比例 相等 成比例 相等 成比例 成比例 2 相似三角形的性質(zhì) 4 直角三角形的射影定理定理 直角三角形斜邊上的高是 的比例中項 兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的 兩直角邊在斜邊上射影 比例中項 小題快練 1 2015 牡丹江模擬 如圖 正三角形ABC中 D E分別在AC AB上 AE BE 則有 A AED BEDB AED CBDC AED ABDD BAD BCD 解析 選B 在正三角形ABC中 AE BE 在 AED與 CBD中 A C 故 AED CBD 2 2014 廣東高考 如圖 在平行四邊形ABCD中 點E在AB上且EB 2AE AC與DE交于點F 則 解析 顯然 CDF AEF 則答案 3 3 2015 長沙模擬 如圖 D是 ABC中BC邊上一點 點E F分別是 ABD ACD的重心 EF與AD交于點M 則 解析 連接AE AF 并延長交BC于G H 因為點E F分別是 ABD ACD的重心 所以 2 所以EF GH 所以 2 答案 2 4 2015 中山模擬 如圖 在梯形ABCD中 AD BC BD與AC相交于O 過O的直線分別交AB CD于E F 且EF BC 若AD 12 BC 20 則EF 解析 由題意AD EF BC 則 AOD COB 則則則EO 同理FO 20 則EF 15 答案 15 考點1平行線分線段成比例定理 典例1 如圖 將一塊邊長為12的正方形紙ABCD的頂點A折疊至邊上的點E 使DE 5 折痕為PQ 求 解題提示 過點M作平行線構(gòu)造平行線段組 規(guī)范解答 如圖所示 過M作MN AD交DC于N 所以又因為AM ME 所以DN NE DE 所以NC NE EC 7 因為PD MN QC 所以 規(guī)律方法 平行線分線段成比例定理及推論的應(yīng)用 1 利用平行線分線段成比例定理來計算或證明 首先要觀察平行線組 再確定所截直線 進(jìn)而確定比例線段及比例式 同時注意合比性質(zhì) 等比性質(zhì)的運用 2 解決此類問題往往需要作輔助的平行線 要結(jié)合條件構(gòu)造平行線組 再應(yīng)用平行線分線段成比例定理及其推論轉(zhuǎn)化比例式解題 變式訓(xùn)練 如圖 AD平分 BAC DE AC EF BC AB 15cm AF 4cm 求BE和DE的長 解析 如圖 因為DE AC 所以 3 2 又AD平分 BAC 所以 1 2 所以 1 3 即AE ED 因為DE AC EF BC 所以四邊形EDCF是平行四邊形 所以ED FC 即AE ED FC 設(shè)AE DE FC xcm 由EF BC得即解得x1 6 x2 10 舍去 所以DE AE 6cm BE 15 6 9 cm 加固訓(xùn)練 如圖 E F是四邊形ABCD的對角線AC上的兩點 AE CF BE DF BE DF AD DC 求證 四邊形ABCD是菱形 證明 因為DF BE 所以 DFA BEC 因為CF AE EF EF 所以AF CE 在 ADF和 CBE中 因為DF BE DFE BEF AF EC 所以 ADF CBE SAS 所以AD BC 所以 DAC BCA 所以AD BC 所以四邊形ABCD是平行四邊形 因為AD DC 所以四邊形ABCD是菱形 考點2相似三角形的判定與性質(zhì) 典例2 如圖 ABC中 BAC 90 AD BC交BC于點D 若E是AC的中點 ED的延長線交AB的延長線于F 求證 解題提示 利用 DBF ADF Rt ABD Rt CBA進(jìn)行比例式的轉(zhuǎn)化證明 規(guī)范解答 因為E是Rt ADC斜邊AC的中點 所以AE EC DE 所以 EDC ECD 又 EDC BDF 所以 EDC C BDF 又AD BC且 BAC 90 所以 BAD C 所以 BAD BDF 所以 DBF ADF 所以又Rt ABD Rt CBA 因此所以 規(guī)律方法 證明相似三角形的一般思路 1 先找兩對內(nèi)角對應(yīng)相等 2 若只有一個角對應(yīng)相等 再判定這個角的兩鄰邊是否對應(yīng)成比例 3 若無角對應(yīng)相等 就要證明三邊對應(yīng)成比例 變式訓(xùn)練 如圖 在 ABC中 BAC 90 AD是BC邊上的高 E是BC邊上的一個動點 不與B C重合 EF AB EG AC 垂足分別為F G 1 求證 2 FD與DG是否垂直 若垂直 請給出證明 若不垂直 請說明理由 3 當(dāng)AB AC時 FDG為等腰直角三角形嗎 并說明理由 解析 1 在四邊形AFEG中 因為 FAG AFE AGE 90 所以四邊形AFEG為矩形 所以AF EG 根據(jù)題意易證 ADC EGC 所以 2 FD DG 證明過程如下 因為 ABC為直角三角形 AD BC 所以 FAD C 又由 1 可知 所以 AFD CGD 所以 ADF CDG 又 CDG ADG 90 所以 ADF ADG 90 即 FDG 90 所以FD DG 3 當(dāng)AB AC時 FDG是等腰直角三角形 理由如下 因為AB AC BAC 90 所以AD DC 又因為 AFD CGD 所以 1 FD DG 又 FDG 90 所以 FDG為等腰直角三角形 加固訓(xùn)練 已知 ABC中 BF AC于點F CE AB于點E BF和CE相交于點P 求證 1 CPF BPE 2 EFP BCP 證明 1 因為BF AC于點F CE AB于點E 所以 BFC CEB 又因為 CPF BPE 所以 CPF BPE 2 由 1 得 CPF BPE 所以又因為 EPF BPC 所以 EFP BCP 考點3直角三角形中的射影定理 典例3 如圖所示 CD垂直平分AB 點E在CD上 DF AC DG BE F G分別為垂足 求證 AF AC BG BE 解題提示 利用射影定理表示出AD BD 再利用AD BD證明 規(guī)范解答 因為CD垂直平分AB 所以 ADC BDC 90 AD DB 在Rt ADC中 因為DF AC 所以AD2 AF AC 同理BD2 BG BE 所以AF AC BG BE 規(guī)律方法 對射影定理的理解和應(yīng)用 1 利用直角三角形的射影定理解決問題首先確定直角邊與其射影 2 要善于將有關(guān)比例式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃无D(zhuǎn)化 有時還要將等積式轉(zhuǎn)化為比例式或?qū)⒈壤睫D(zhuǎn)化為等積式 并且注意射影定理的其他變式 3 注意射影定理與勾股定理的結(jié)合應(yīng)用 變式訓(xùn)練 如圖 在 ABC中 C 90 BAC的平分線AD交BC邊于D 求證 證明 過C作AD的垂線 垂足為E CE的延長線交AB于F 則由射影定理得AC2 AE AD 過E作EG BC交AB于G 因為 CAD BAD AE CF 所以CE EF 所以BC 2EG 所以 加固訓(xùn)練 如圖所示 在 ABC中 CAB 90 AD BC于D BE是 ABC的平分線 交AD于F 求證 證明 由三角形的內(nèi)角平分線定理得 在 ABD中 在 ABC中 在Rt ABC中 由射影定理知 AB2 BD BC 即由 得 由 得