高考數(shù)學 考前三個月復習沖刺 專題4 第21練 關于平面向量數(shù)量積運算的三類經典題型課件 理.ppt

專題4三角函數(shù)與平面向量 第21練關于平面向量數(shù)量積運算的三類經典題型 題型分析 高考展望 平面向量數(shù)量積的運算是平面向量的一種重要運算 應用十分廣泛 對向量本身 通過數(shù)量積運算可以解決位置關系的判定 夾角 模等問題 另外還可以解決平面幾何 立體幾何中許多有關問題 因此是高考必考內容 題型有選擇題 填空題 也在解答題中出現(xiàn) 常與其他知識結合 進行綜合考查 ?？碱}型精析 高考題型精練 題型一平面向量數(shù)量積的基本運算 題型二利用平面向量數(shù)量積求兩向量夾角 題型三利用數(shù)量積求向量的模 ?？碱}型精析 題型一平面向量數(shù)量積的基本運算 例1 1 2014 天津 已知菱形ABCD的邊長為2 BAD 120 點E F分別在邊BC DC上 BC 3BE DC DF 若 1 則 的值為 解析如圖 答案2 2 已知圓O的半徑為1 PA PB為該圓的兩條切線 A B為切點 那么的最小值為 方法二設 APB 0 方法三以O為坐標原點 建立平面直角坐標系xOy 則圓O的方程為x2 y2 1 設A x1 y1 B x1 y1 P x0 0 所以x1x0 1 答案D 點評 1 平面向量數(shù)量積的運算有兩種形式 一是依據(jù)長度和夾角 二是利用坐標運算 具體應用哪種形式由已知條件的特征來選擇 注意兩向量a b的數(shù)量積a b與代數(shù)中a b的乘積寫法不同 不應該漏掉其中的 2 向量的數(shù)量積運算需要注意的問題 a b 0時得不到a 0或b 0 根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質有 a 2 a2 但 a b a b 9 題型二利用平面向量數(shù)量積求兩向量夾角 例2 1 2015 重慶 若非零向量a b滿足 a b 且 a b 3a 2b 則a與b的夾角為 解析由 a b 3a 2b 得 a b 3a 2b 0 即3a2 a b 2b2 0 設 a b 即3 a 2 a b cos 2 b 2 0 答案A 2 已知向量a b滿足 a 2 b 0 且關于x的函數(shù)f x 2x3 3 a x2 6a bx 5在R上單調遞減 則向量a b夾角的取值范圍是 解析設向量a b的夾角為 因為f x 2x3 3 a x2 6a bx 5 所以f x 6x2 6 a x 6a b 又函數(shù)f x 在R上單調遞減 所以f x 0在R上恒成立 所以 36 a 2 4 6 6a b 0 因為a b a b cos 且 a 2 b 0 因為 0 答案D 點評求向量的夾角時要注意 1 向量的數(shù)量積不滿足結合律 2 數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角 數(shù)量積等于0說明兩向量的夾角為直角 數(shù)量積小于0且兩向量不能共線時兩向量的夾角為鈍角 變式訓練2若兩個非零向量a b滿足 a b a b 2 a 則向量b與a b的夾角為 解析方法一由已知 得 a b a b 將等式兩邊分別平方 整理可得a b 0 由已知 得 a b 2 a 將等式兩邊分別平方 可得a2 b2 2a b 4a2 而b a b a b b2 b2 故選A 以OA OB為鄰邊作平行四邊形OACB 由 a b a b 2 a 所以平行四邊形OACB是矩形 答案A 題型三利用數(shù)量積求向量的模 A 2 已知直角梯形ABCD中 AD BC ADC 90 AD 2 BC 1 P是腰DC上的動點 則的最小值為 解析方法一以D為原點 分別以DA DC所在直線為x y軸建立如圖所示的平面直角坐標系 設DC a DP x D 0 0 A 2 0 C 0 a B 1 a P 0 x 答案5 點評 1 把幾何圖形放在適當?shù)淖鴺讼抵?給有關向量賦以具體的坐標求向量的模 如向量a x y 求向量a的模只需利用公式 a 即可求解 2 向量不放在坐標系中研究 求解此類問題的方法是利用向量的運算法則及其幾何意義或應用向量的數(shù)量積公式 關鍵是會把向量a的模進行如下轉化 a 變式訓練3 2015 浙江 已知e1 e2是空間單位向量 e1 e2 若空間向量b滿足b e1 2 b e2 且對于任意x y R b xe1 ye2 b x0e1 y0e2 1 x0 y0 R 則x0 y0 b 解析方法一對于任意x y R b xe1 ye2 b x0e1 y0e2 1 x0 y0 R 說明當x x0 y y0時 b xe1 ye2 取得最小值1 b xe1 ye2 2 b 2 xe1 ye2 2 2b xe1 ye2 b 2 x2 y2 xy 4x 5y 要使 b 2 x2 y2 xy 4x 5y取得最小值 需要把x2 y2 xy 4x 5y看成關于x的二次函數(shù) 即f x x2 y 4 x y2 5y 所以x0 1 y0 2 高考題型精練 1 2015 山東 已知菱形ABCD的邊長為a ABC 60 則等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析如圖所示 由題意 得BC a CD a BCD 120 BD2 BC2 CD2 2BC CD cos120 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案D 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 2014 浙江 記max x y 設a b為平面向量 則 A min a b a b min a b B min a b a b min a b C max a b 2 a b 2 a 2 b 2D max a b 2 a b 2 a 2 b 2 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析由于 a b a b 與 a b 的大小關系與夾角大小有關 故A B錯 當a b夾角為銳角時 a b a b 此時 a b 2 a 2 b 2 當a b夾角為鈍角時 a b a 2 b 2 當a b時 a b 2 a b 2 a 2 b 2 故選D 答案D 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 2015 湖南 已知點A B C在圓x2 y2 1上運動 且AB BC 若點P的坐標為 2 0 則的最大值為 A 6B 7C 8D 9 解析 A B C在圓x2 y2 1上 且AB BC AC為圓直徑 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 設B x y 答案B 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 如圖 在等腰直角 ABO中 OA OB 1 C為AB上靠近點A的四等分點 過C作AB的垂線l P為垂線上任一點 設則p b a 等于 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析以OA OB所在直線分別作為x軸 y軸 O為坐標原點建立平面直角坐標系 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 而b a 1 1 答案A 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以點A在以B1B2為直徑的圓上 答案D 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 2B 3C 4D 6 解析在 ABC中 因為 ACB 90 且AC BC 4 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案C 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 2014 安徽 設a b為非零向量 b 2 a 兩組向量x1 x2 x3 x4和y1 y2 y3 y4均由2個a和2個b排列而成 若x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4所有可能取值中的最小值為4 a 2 則a與b的夾角為 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析設a與b的夾角為 由于xi yi i 1 2 3 4 均由2個a和2個b排列而成 則S有以下三種情況 S 2a2 2b2 S 4a b S a 2 2a b b 2 b 2 a 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 中S 10 a 2 中S 8 a 2cos 中S 5 a 2 4 a 2cos 易知 最小 即8 a 2cos 4 a 2 答案B 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案22 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 設非零向量a b的夾角為 記f a b acos bsin 若e1 e2均為單位向量 且e1 e2 則向量f e1 e2 與f e2 e1 的夾角為 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析如圖 設點O在AB AC上的射影是點D E 它們分別為AB AC的中點 連接OD OE 由數(shù)量積的幾何意義 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 即2x 6y 3 將兩式相加可得6x 9y 5 答案5 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解f x 2 a b b 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 在 ABC中 AC 10 過頂點C作AB的垂線 垂足為D AD 5 且滿足 1 求 在Rt ADC中 CD2 AC2 AD2 75 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 在Rt BDC中 BC2 DB2 CD2 196 所以BC 14 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 知k x y 80t2 356t 80 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由二次函數(shù)的圖象 可知該函數(shù)在 1 上單調遞增 所以當t 1時 k取得最小值516