高考數學一輪復習 坐標系與參數方程 1 坐標系課件(理) 選修4-4.ppt

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選修4 4坐標系與參數方程第一節(jié)坐標系 知識梳理 1 伸縮變換設點P x y 是平面直角坐標系中的任意一點 在變換 的作用下 點P x y 對應到點P x y 稱 為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換 2 極坐標系與點的極坐標 1 極坐標系 在如圖極坐標系中 點O是 射線Ox是 為 通常取逆時針方向 為 表示極點O與點M的距離 點M的極坐標是 極點 極軸 極角 極徑 M 2 點的極坐標 對于極坐標系所在平面內的任一點M 若設 OM 0 以Ox為始邊 OM為終邊的角為 則點M可用有序數對 表示 3 直角坐標與極坐標的互化 1 前提 把直角坐標系的原點作為極點 x軸正半軸作為極軸 且在兩種坐標系中取相同的長度單位 2 互化公式 設M是平面內的任意一點 它的直角坐標 極坐標分別為 x y 和 則 4 直線的極坐標方程 1 一般位置 若直線過點M 0 0 且極軸到此直線的角為 則它的極坐標方程為 sin 0sin 0 2 特殊位置 cos sin 5 圓的極坐標方程 1 一般位置 若圓心為M 0 0 半徑為r 則該圓的方程為 2 2 0 cos 0 02 r2 0 2 幾個特殊位置的圓的極坐標方程 圓心位于極點 半徑為r 圓心位于M a 0 半徑為a 圓心位于M 半徑為a r 2acos 2asin 特別提醒 1 應用伸縮變換時 要分清變換前的點的坐標 x y 與變換后的點的坐標 x y 2 直角坐標方程與極坐標方程的互化問題 要注意互化時要將極坐標方程作適當轉化 1 若是和角 常用兩角和與差的三角公式展開 化為可用公式形式 2 為了出現公式形式 兩邊可以同乘以 考向一伸縮變換 典例1 求雙曲線C x2 1經過 變換后所得曲線C 的焦點坐標 解題導引 設出曲線C 上任意點的坐標 利用點的坐標和變換把雙曲線上的點的坐標表示出來 再代入雙曲線方程可得變換后的曲線方程 進而可求焦點坐標 規(guī)范解答 設曲線C 上任意一點P x y 由上述可知 將代入x2 1 得化簡得即為曲線C 的方程 可見仍是雙曲線 則焦點F1 5 0 F2 5 0 為所求 規(guī)律方法 伸縮變換后的方程求法平面上的曲線y f x 在變換 的作用下的變換方程的求法是將代入y f x 得整理之后得到y(tǒng) h x 即為所求變換之后的方程 變式訓練 在同一平面直角坐標系中 將直線x 2y 2變成直線2x y 4 求滿足圖象變換的伸縮變換 解析 設變換為代入第二個方程 得2 x y 4 與x 2y 2比較系數得 1 4 即因此 經過變換后 直線x 2y 2變成直線2x y 4 加固訓練 1 在同一平面直角坐標系中 已知伸縮變換 1 求點A經過 變換所得的點A 的坐標 2 點B經過 變換得到點B 求點B的坐標 3 求直線l y 6x經過 變換后所得到的直線l 的方程 解析 1 設A x y 由伸縮變換 得到由于點A的坐標為于是x 3 1 y 2 1 所以A 1 1 為所求 2 設B x y 由伸縮變換 得到由于點B 的坐標為于是x 3 1 y 2 1 所以B 1 1 為所求 3 由伸縮變換 得代入直線l y 6x 得到經過伸縮變換后的方程為y x 因此直線l 的方程為y x 2 在同一平面直角坐標系中 經過伸縮變換后 曲線C x2 y2 36變?yōu)楹畏N曲線 并求曲線的焦點坐標 解析 設圓x2 y2 36上任一點為P x y 伸縮變換后對應的點的坐標為P x y 則所以4x 2 9y 2 36 即所以曲線C在伸縮變換后得橢圓其焦點坐標為 0 考向二極坐標與直角坐標的互化 典例2 2015 全國卷 在直角坐標系xOy中 直線C1 x 2 圓C2 x 1 2 y 2 2 1 以坐標原點為極點 x軸的正半軸為極軸建立極坐標系 1 求C1 C2的極坐標方程 2 若直線C3的極坐標方程為 設C2與C3的交點為M N 求 C2MN的面積 解題導引 1 用公式代入即可 2 把C3的方程代入C2 所解得的兩根之差即為MN的長度 規(guī)范解答 1 因為x cos y sin 所以C1的極坐標方程為 cos 2 C2的極坐標方程為 2 2 cos 4 sin 4 0 2 將 代入 2 2 cos 4 sin 4 0 得 2 3 4 0 解得 1 2 2 故 1 2 即 MN 由于圓C2的半徑為1 所以 C2MN的面積為 母題變式 1 本例條件不變 求直線C1與C3的交點的極坐標 解析 聯立兩直線方程得解得所以交點的極坐標為 2 本例條件不變 求圓C2關于極點的對稱圓的方程 解析 因為點 與 關于極點對稱 所以由C2的極坐標方程為 2 2 cos 4 sin 4 0得圓C2關于極點的對稱圓方程是 2 2 cos 4 sin 4 0 規(guī)律方法 直角坐標化為極坐標的關注點 1 根據終邊相同的角的意義 角 的表示方法具有周期性 故點M的極坐標 的形式不唯一 即一個點的極坐標有無窮多個 當限定 0 0 2 時 除極點外 點M的極坐標是唯一的 2 當把點的直角坐標化為極坐標時 求極角 應注意判斷點M所在的象限 即角 的終邊的位置 以便正確地求出角 0 2 的值 易錯提醒 極坐標方程化為直角坐標方程時常通過變形 構造形如 cos sin 2的形式 進行整體代換 其中對方程的兩邊同乘以 或同除以 及方程兩邊平方進行變形時 方程必須同解 因此應注意對變形過程的檢驗 變式訓練 2016 唐山模擬 已知極坐標方程C1 10 C2 sin 6 1 化C1 C2的極坐標方程為直角坐標方程 并分別判斷曲線的形狀 2 求C1 C2交點間的距離 解析 1 由C1 10 得 2 100 所以x2 y2 100 所以C1是圓心為 0 0 半徑等于10的圓 由C2 sin 6 得 6 所以y x 12 即x y 12 0 所以C2表示一條直線 2 由于圓心 0 0 到直線x y 12 0的距離為d 所以直線C2被圓截得的弦長等于2 16 加固訓練 1 在極坐標系中 設曲線C1 2sin 與C2 2cos 的交點分別為A B 求線段AB的垂直平分線的極坐標方程 解析 將曲線C1 2sin C2 2cos 的極坐標方程化為直角坐標方程分別為C1 x2 y 1 2 1 C2 x 1 2 y2 1 所以過兩圓交點的直線為y x 線段AB的中點坐標為 因此線段AB的垂直平分線的方程為x y 1 0 化為極坐標方程為 sin 2 2015 北京高考改編 在極坐標系中 求點到直線 cos sin 6的距離 解析 點可化為 即 1 直線 cos sin 6可化為x y 6 0 由點到直線的距離公式可得 考向三極坐標方程的應用 典例3 2016 石家莊模擬 在極坐標系Ox中 直線C1的極坐標方程為 sin 2 M是C1上任意一點 點P在射線OM上 且滿足 OP OM 4 記點P的軌跡為C2 1 求曲線C2的極坐標方程 2 求曲線C2上的點到直線 cos距離的最大值 解題導引 1 設出M P的極坐標 由 OP OM 4 即M P的極徑之積等于4得到兩點的極坐標的關系 把M的極坐標用P的極坐標表示 代入直線C1的極坐標方程即可得到曲線C2的極坐標方程 2 化極坐標方程為普通方程 由點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離 與圓的半徑作和可求曲線C2上的點到直線 cos距離的最大值 規(guī)范解答 1 設P 1 M 2 由 OP OM 4 得 1 2 4 即 2 因為M是C1上任意一點 所以 2sin 2 即sin 2 1 2sin 所以曲線C2的極坐標方程為 2sin 2 由 2sin 得 2 2 sin 即x2 y2 2y 0 化為標準方程為x2 y 1 2 1 則曲線C2的圓心坐標為 0 1 半徑為1 由直線 cos得 cos cos sin sin 即x y 2 圓心 0 1 到直線x y 2的距離為所以曲線C2上的點到直線 cos距離的最大值為1 規(guī)律方法 極坐標方程問題的處理思路曲線的極坐標方程問題通常可利用互換公式轉化為直角坐標系中的問題求解 然后再次利用互換公式即可轉化為極坐標方程 熟練掌握互換公式是解決問題的關鍵 變式訓練 2016 信陽模擬 已知圓O1和圓O2的極坐標方程分別為 2 2 2 cos 2 1 把圓O1和圓O2的極坐標方程化為直角坐標方程 2 求經過兩圓交點的直線的極坐標方程 解析 1 由 2知 2 4 所以圓O1的直角坐標方程為x2 y2 4 因為所以所以圓O2的直角坐標方程為x2 y2 2x 2y 2 0 2 將兩圓的直角坐標方程相減 得經過兩圓交點的直線方程為x y 1 化為極坐標方程為 cos sin 1 即 sin 加固訓練 已知圓的極坐標方程為 4cos 圓心為C 點P的極坐標為 求CP的長 解析 如圖 由圓的極坐標方程為 4cos 知OC 2 又因為點P的極坐標為 所以OP 4 POC 在 POC中 由余弦定理得CP2 OP2 OC2 2OP OC cos 16 4 2 4 2 12 所以CP 2