高考數學復習 第十二章 幾何證明選講課件 理.ppt

知識點一相似三角形與比例線段 1 平行線等分線段定理 1 平行線等分線段定理 如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等 那么在其他直線上截得的線段也相等 2 推論 經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊 經過梯形一腰的中點 且與底邊平行的直線平分另一腰 2 平行線分線段成比例定理 1 定理 三條平行線截兩條直線 所得的對應線段成比例 2 推論 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊 或兩邊的延長線 所得的對應線段成比例 3 相似三角形 1 相似三角形的判定 判定定理定理1 兩角對應相等 兩三角形相似 定理2 兩邊對應成比例且夾角相等 兩三角形相似 定理3 三邊對應成比例 兩三角形相似 引理 如果一條直線截三角形的兩邊 或兩邊的延長線 所得的對應線段成比例 那么這條直線平行于三角形的第三邊 直角三角形相似的特殊判定斜邊與一條直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似 2 相似三角形的性質 相似三角形對應邊上的高 中線 對應角平分線和它們周長的比都等于相似比 相似三角形的面積比等于相似比的平方 3 直角三角形的射影定理直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項 兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項 知識點二直線與圓的位置關系1 圓周角定理與圓心角定理 1 圓周角定理 圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半 推論1 同弧或等弧所對的圓周角相等 同圓或等圓中 相等的圓周角所對的弧也相等 推論2 半圓 或直徑 所對的圓周角是直角 90 的圓周角所對的弦是直徑 2 圓心角定理定理 圓心角的度數等于它所對弧的度數 2 圓的切線 1 切線的性質及判定 切線的性質定理 圓的切線垂直于經過切點的半徑 推論1 經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點 推論2 經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心 切線的判定定理 經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 2 切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線 它們的切線長相等 圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角 3 弦切角定理弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角 3 圓內接四邊形的性質與判定 1 性質定理定理1 圓的內接四邊形的對角互補 定理2 圓內接四邊形的外角等于它的內角的對角 2 判定定理 如果一個四邊形的對角互補 那么這個四邊形的四個頂點共圓 推論 如果四邊形的個外角等于它的內角的對角 那么這個四邊形的四個頂點共圓 4 與圓有關的成比例線段 方法1相似三角形的判定與性質 1 已知有一角相等時 可選擇判定定理1與判定定理2 2 已知有兩邊對應成比例時 可選擇判定定理2與判定定理3 3 判定兩個直角三角形相似時 首先看是否可以用判定直角三角形相似的方法來判定 如不能 再考慮用判定三角形相似的一般方法來判定 例1 如圖 梯形ABCD內接于 O AD BC 過點C作 O的切線 交BD的延長線于點P 交AD的延長線于點E 1 求證 AB2 DE BC 2 若BD 9 AB 6 BC 9 求切線PC的長 解題指導 一般地 證明等積式成立時 可先將其轉化成比例式 再根據三角形相似證明其成立 1 證明 AD BC AB CD EDC BCD 又PC與 O相切 ECD DBC 點評 判定兩個三角形相似的幾種方法 兩角對應相等 兩三角形相似 兩邊對應成比例且夾角相等 兩三角形相似 三邊對應成比例 兩三角形相似 相似三角形的定義 方法2與圓有關的定理的應用判定圓的切線的方法以及切線定理的應用 1 判定切線通常有三種方法 和圓有唯一一個公共點的直線是圓的切線 到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線 過半徑外端且和半徑垂直的直線是圓的切線 2 已知圓的切線時 第一要考慮過切點和圓心的連線得直角 第二應考慮弦切角定理 第三涉及線段成比例或線段的積時要考慮切割線定理 例2 如圖 AB是 O的直徑 C F為 O上的點 AC是 BAF的平分線 過點C作CD AF交AF的延長線于D點 CM AB 垂足為點M 1 求證 DC是 O的切線 2 求證 AM MB DF DA 解題指導 本題主要考查圓的切線定義及切割線定理的應用 解題 1 的關鍵是根據切線的定義證明OC CD 解題 2 的關鍵是根據割線定理及切割線定理得到等量關系 證明 1 如圖 連接OC OA OC OCA OAC 又 AC是 BAF的平分線 DAC OAC DAC OCA AD OC 又CD AD OC CD 即DC是 O的切線 2 AC是 BAF的平分線 CDA CMA 90 AC AC ACD ACM CD CM 由 1 知DC2 DF DA 又CM2 AM MB AM MB DF DA 點評 涉及與圓有關的等積線段或成比例的線段 常利用圓周角或弦切角證明三角形相似 在相似三角形中尋找比例線段 也可以利用相交弦定理 切割線定理證明線段成比例 在實際應用中 一般涉及兩條相交弦應首先考慮相交弦定理 涉及兩條割線就要想到割線定理 見到切線和割線時要注意應用切割線定理 方法3幾何證明問題 1 如果四點與一定點距離相等 那么這四點共圓 2 如果四邊形的一組對角互補 那么這個四邊形的四個頂點共圓 3 如果四邊形的一個外角等于它的內對角 那么這個四邊形的四個頂點共圓 4 如果兩個三角形有公共邊 公共邊所對的角相等 且在公共邊的同側 那么這兩個三角形的四個頂點共圓 5 相交弦定理的逆定理 6 割線定理的逆定理 例3 如圖 D E分別為 ABC的邊AB AC上的點 且不與 ABC的頂點重合 已知AE的長為m AC的長為n AD AB的長是關于x的方程x2 14x mn 0的兩個根 1 證明 C B D E四點共圓 2 若 A 90 且m 4 n 6 求C B D E所在圓的半徑 解題指導 1 證明思路為連接DE ADE ACB ADE ACB C B D E四點共圓 2 利用平面幾何的性質 設法尋求圓心位置 然后求得半徑