連續(xù)介質力學讀書報告(共25頁)

精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上第一章 緒論研究連續(xù)介質宏觀力學性狀的分支學科。宏觀力學性狀是指在三維歐氏空間和均勻流逝時間下受牛頓力學支配的物質性狀。連續(xù)介質力學對物質的結構不作任何假設。它與物質結構理論并不矛盾，而是相輔相成的。物質結構理論研究特殊結構的物質性狀，而連續(xù)介質力學則研究具有不同結構的許多物質的共同性狀。連續(xù)介質力學的主要目的在于建立各種物質的力學模型和把各種物質的本構關系用數學形式確定下來，并在給定的初始條件和邊界條件下求出問題的解答。如果一個物體的質量、動量、能量密度在數學意義上存在，這個物質就是一個物質連續(xù)統(tǒng)（連續(xù)介質）。這樣一個物質連續(xù)統(tǒng)的力學就是連續(xù)介質力學（附加限制條件：只要始終保持含有足夠多的粒子，而不至于使極限值不存在或者發(fā)生突躍）。它通常包括下述基本內容：變形幾何學，研究連續(xù)介質變形的幾何性質，確定變形所引起物體各部分空間位置和方向的變化以及各鄰近點相互距離的變化，這里包括諸如運動，構形、變形梯度、應變張量、變形的基本定理、極分解定理等重要概念。運動學，主要研究連續(xù)介質力學中各種量的時間率，這里包括諸如速度梯度，變形速率和旋轉速率，里夫林埃里克森張量等重要概念。基本方程，根據適用于所有物質的守恒定律建立的方程，例如，熱力連續(xù)介質力學中包括連續(xù)性方程、運動方程、能量方程、熵不等式等。本構關系。特殊理論，例如彈性理論、粘性流體理論、塑性理論、粘彈性理論、熱彈性固體理論、熱粘性流體理論等。問題的求解。根據發(fā)展過程和研究內容，客觀上連續(xù)介質力學已分為古典連續(xù)介質力學和近代連續(xù)介質力學。1.1基本假設 連續(xù)介質力學的最基本假設是“連續(xù)介質假設”：即認為真實的流體和固體可以近似看作連續(xù)的，充滿全空間的介質組成，物質的宏觀性質依然受牛頓力學的支配。這一假設忽略物質的具體微觀結構（對固體和液體微觀結構研究屬于凝聚態(tài)物理學的范疇），而用一組偏微分方程來表達宏觀物理量（如質量，數度，壓力等）。這些方程包括描述介質性質的方程（constitutive equations）和基本的物理定律，如質量守恒定律，動量守恒定律等。 專心-專注-專業(yè)1.2研究對象 固體：固體不受外力時，具有確定的形狀。固體包括不可變形的剛體和可變形固體。剛體在一般力學中的剛體力學研究；連續(xù)介質力學中的固體力學則研究可變形固體在應力，應變等外界因素作用下的變化規(guī)律，主要包括彈性和塑性問題。 彈性：應力作用后，可恢復到原來的形狀。 塑性：應力作用后，不能恢復到原來的形狀，發(fā)生永久形變。 流體：流體包括液體和氣體，無確定形狀，可流動。流體最重要的性質是粘性（viscosity，流體對由剪切里引起的形變的抵抗力，無粘性的理想氣體，不屬于流體力學的研究范圍）。從理論研究的角度，流體常被分為牛頓流體和非牛頓流體。 牛頓流體：滿足牛頓粘性定律的流體，比如水和空氣。 非牛頓流體：不滿足牛頓粘性定律的流體，介乎于固體和牛頓流體之間的物質形態(tài)。1.3連續(xù)介質力學發(fā)展史古典連續(xù)介質力學，側重于研究兩種典型的理想物質，即線性彈性物質和線性粘性物質。彈性物質是指應力只由應變來決定的物質。當變形微小時，應力可以表示為應變張量的線性函數，這種物質稱為線性彈性固體。本構方程中的系數稱為彈性常數。對各向異性彈性固體最多可有21個彈性常數,而各向同性彈性固體則只有2個。粘性物質是指應力與變形速率有關的物質。對流體來說，如果這個關系是線性的，就稱為線性粘性流體或稱牛頓流體。對線性粘性流體只有 2個粘性系數。這兩種典型物質能很好地表示出工程技術上所處理的大部分物質的特性，所以，古典連續(xù)介質理論至今仍被廣泛應用并將繼續(xù)發(fā)揮它解決實際問題的能力。連續(xù)介質力學近代連續(xù)介質力學 是1945年以后逐漸發(fā)展起來的。它在下列幾個方面對古典連續(xù)介質力學作了推廣和擴充：物體不必只看作是點的集合體；它可能是由具有微結構的物質點組成。運動不必總是光滑的；激波以及其他間斷性、擴散等，都是容許的。物體不必只承受力的作用；它也可以承受體力偶、力偶應力以及電磁場所引起的效應等。對本構關系進行更加概括的研究。重點研究非線性問題。研究非線性連續(xù)介質問題的理論稱為非線性連續(xù)介質力學。 近年來，近代連續(xù)介質力學在深度和廣度方面都已取得很大的進展，并出現(xiàn)下列三個發(fā)展方向：按照理性力學的觀點和方法研究連續(xù)介質理論，從而發(fā)展成為理性連續(xù)介質力學。把近代連續(xù)介質力學和電子計算機結合起來，從而發(fā)展成為計算連續(xù)介質力學。把近代連續(xù)介質力學的研究對象擴大，從而發(fā)展成為連續(xù)統(tǒng)物理學。1.4學科構成連續(xù)介質力學體系的由基元（物體、質量、時空系、運動、力、功和能、溫度和熱），基本規(guī)律（適合于所有物體，構成自然界的基本規(guī)律）及本構方程（各種物體特有的規(guī)律）組成。1.5主要分支學科：基本分支學科：固體力學；彈性力學；塑性力學；斷裂力學；流體力學；流體靜力學；流體運動學；流體動力學。 應用分支學科和交叉學科：結構力學；材料力學；爆炸力學；空氣動力學；等離子體動力學；磁流體動力學。1.6主要研究內容張量初步（張量的概念、坐標變換、張量運算等）；運動和變形（關于物體變形和運動的幾何描述）；基本定律（如質量守恒、動量守恒等以及熱力學定律）；本構關系（本構公理以及典型簡單物質的本構方程）。第二章 張量初步2.1 矢量和張量重要矢量等式：指標記法：啞指標求和約定 自由指標規(guī)則協(xié)變基底和逆變基底： 張量概念 度量張量 張量的商法則 置換符號 置換張量 2.2： 二階張量重要性質：主不變量 標準形1) 特征值、特征向量 2) 實對稱二階張量標準形 3. 正交張量（了解方法）4. 反對稱二階張量的標準形5. 正則張量極分解 2.3 張量函數概念：各項同性張量函數、解析函數計算 重要定理：1) Hamilton-Cayley定理：2) .對稱各向同性張量函數表示定理：；其中；而系數是的主不變量的函數。張量函數的導數1) 方向導數： 是的線性函數2) 方向導數與導數之間的關系 3) 導數4) 張量函數導數的鏈式法則：，則 重要輔助知識2.4：曲線坐標系張量分析基矢量的導數 Hamilton 算子 張量的協(xié)變導數重要性質：1) 度量張量的協(xié)變導數為零 2) 置換張量的協(xié)變導數為零3) 張量分量的縮并與求協(xié)變導數次序可交換 4) 積分定理 Riemann-Christoffel 張量 歐氏空間特性： Riemann曲率張量等于零 張量對曲線坐標的求導順序可交換張量的物理分量 掌握張量在標準基下分解時Hamilton 算子對張量的運算（會求極坐標系下線應變張量）第三章 連續(xù)介質力學基礎3.1物質坐標和空間坐標對于有限個質點組成的質點系統(tǒng)，我們可以采用給質點編號的方式區(qū)分各個質點;對于有無限個質點組成的系統(tǒng)，我們就采用坐標識別系統(tǒng)中各個質點。用于標示質點的坐標稱為物質坐標；表示空間中幾何點的坐標則稱為歐拉坐標。兩種坐標是通過連續(xù)介質的運動聯(lián)系起來的：如果在時刻t質點占據空間位置，則二者之間具有函數關系：由于這個函數必須是一一影射的，其反函數存在并且唯一： 因此，質點的位置矢量、速度等都可以等價地用物質坐標或空間坐標描述：當我們采用物質坐標時，相應的基矢量：當我們采用空間（Euler）坐標時，相應的基矢量：兩者之間具有轉換關系： 3.2物質導數高斯定理：設 為空間有界閉區(qū)域，其邊界面S是分片光滑曲面，曲面正側記作S+，若向量函數F(x,y,z)=P (x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)的各分量在及S+上有連續(xù)一階偏導數，則有：或其中，在點(x,y,z)處的單位法向量。3.2.1質點的速度：算子稱為物質導數（全導數）。它的含義是保持物質坐標不變時，張量隨時間的變化率。 Euler 坐標基底矢量的物質導數：物質坐標（Langrange）基底矢量的物質導數： 歐氏空間中矢量求偏導數的順序是可以交換的，因此 利用協(xié)變基與逆變基之間的關系，我們得到： Langrange逆變基底矢量的物質導數可以由逆變基的定義式 求得。顯而易見：因此 該式左端是逆變基物質導數在協(xié)變基下的分量，因而 （物質坐標基底矢量的物質導數可表示為速度梯度與基矢量的點積；協(xié)變基的導數與哈密頓算子相鄰；逆變基的導數與負的速度矢量相鄰）3.2.2張量的物質導數Euler描述下，張量是空間坐標和時間的函數，所以張量的物質導數：物質描述下，張量的物質導數：由于所以 可以證明度量張量的物質導數為零：（）3.3速度場的加法分解將速度梯度分解為對稱部分和反對稱部分： 其中： 如果彈性體做剛體運動，則剛體上一點的速度 因此 （） 所以，剛體運動時速度梯度的對稱部分，即剛體運動的速度梯度是反對稱的。速度梯度的對稱部分描述變形的速率，而反對稱部分描述基矢量的轉動速率。3.4二階張量場的相對導數剛體轉動會引起張量變化率的改變，客觀的應力、應變隨時間變化率應剔除剛體轉動所引起的那部分。 將速度梯度進行加法分解后得到：上式右端的前兩項定義為Jaumann導數: Jaumann導數剔除了局部剛體運動的影響，它是一種相對導數。些材料的本構關系和應變、應力的變化率有關。然而，應力張量（應變張量）的物質導數卻不適合在本構關系中使用：例如：一個做剛體運動的彈性體的內部應力是不變的，然而應力張量的物質導數卻是非零的，因此應當采用應力、應變的相對導數描述本構關系：3.5連續(xù)介質的變形與運動 變形前物質線元 ，變形后成為其中 ； 是變形梯度張量，它的逆張量 ；這是由于：從變形梯度張量的表達式中可知： 變形梯度張量是協(xié)變瞬時協(xié)變基底矢量與初始協(xié)變基底矢量的并矢；它的逆是初始協(xié)變基底與瞬時逆變基底的并矢。3.5.1位移梯度與變形梯度張量之間的關系物質描述下空間一點的矢徑 其中為變形前（初始時刻）連續(xù)介質中一點所在的位置；為質點的位移。 因此 其中,算子 ; 兩者之間的聯(lián)系： 變形前后線元長度的變化：兩種張量與位移梯度之間的關系：小變形、小位移假設下，應變張量的非線性部分：可以忽略，從而： ; 變形前后連續(xù)體所占據的空間沒有明顯變化，物質描述與空間描述之間的差別也可忽略，兩種應變是一致的。 Green應變的分量表示 在直角坐標系下 3.5.2體積微元變形前連續(xù)介質中一個體積微元可以由三個線性無關的線元作混合積表示為變形后，這三個微元分別變換為變形后的體積微元 因此 其中 表示變形梯度張量的第三不變量，即它的行列式： 它與基底矢量之間的關系為 3.5.3面元變形前連續(xù)介質中一片帶有方向的面積微元可以由組成它的兩條邊的線元表示為：面元的方向指向該面的外法線方向。變形后的面元可以由變形后的線元和表示為 選一與變形前的兩個線元線性無關的線元，則它可與面元共同組成一個體積微元。這個體積微元在變形前后的關系為 體元與面元之間具有如下的聯(lián)系 因此 由于上式對任何不在面元內的線元都成立，所以 考慮到：，代入上式中可得：因此 3.5.4變形梯度的物質導數由變形梯度張量的構成，依據Lagrange基底矢量物質導數的表達式，我們可以得到： 推導以上各式的過程中，我們利用了初始構型下的基矢量的性質： 3.5.5線元的物質導數 將代入后得：把線元分解為長度和方向描述，即長度的變化率 由于 所以 特別地，如果速度梯度的對稱部分等于零，則線元長度不變（局部剛體運動）。線元的物質導數也可表述為： 由此可得線元方向的變化率 3.5.6體元的物質導數瞬時體積微元：因此，它的物質導數：將各個線元的物質導數代入到上式得： 回顧二階張量第一不變量的性質，可知：然而： 所以 另一方面，由變形前后體積微元之間的聯(lián)系可得： 兩種形式的結果應當是一致的，所以 3.5.7面元的物質導數由變形前后面元的轉換關系 可知: 面元的物質導數 將變形梯度張量以及體積比的物質導數代入上式得到： 面元矢量的數值是微元的面積，面元的方向是微元的外法線方向，即： 微元的面積與微元矢量的關系可以表述為： 因此，微元面積的變化率 將微元矢量的物質導數代入上式中得到：微元矢量的物質導數可用微元面積和微元方向矢量表述為 從中可得微元矢量的變化率 整理后得到：與線元的物質導數相比，可見兩者之間是不相同的。這是因為面元方向矢量不是由一段物質質點組成的線元。3.5.8張量場函數在域上積分的導數1)求這類積分時，不但要考慮張量自身隨時間的變化，還要考慮積分域也在隨連續(xù)介質的運動而改變，因此將張量的物質導數代入到上式中，我們得到：其中所以最后兩項中：第一項代表由于張量隨時間變化而引起的體積分變化率；第二項則是由于外表面的運動引起的積分區(qū)域的變化所導致的體積分變化率。2) 對張量和面元分別求導得：將 代入上式得 3)3.5.9 Green應變張量的物質導數由Green應變與變形梯度之間的關系得到它的物質導數： 代入變形梯度張量的物質導數后：可見，Green應變張量的物質導數是否為零張量，取決于速度梯度張量的對稱部分。如果在連續(xù)體某些點處，則這點附近的連續(xù)體做局部剛體運動。幾種應力定義在已變形的連續(xù)介質中，過固定質點的外法線為的面積微元上，周圍介質的作用力在這個截面上的合力為。對圖示的四面體，截面與坐標面之間存在關系（封閉曲面有向面積之和為零）： 其中 因此 運用牛頓定律可得：當截面無限趨近于特定質點時，由于體積微元是比面積微元更高一階的無窮小量，上式右端將比左端更快地趨近于零。因此,利用并矢定義，我們可以將上式重寫為：由于矢量的并矢是張量，所以稱為Cauchy應力張量，并且過質點外法線為的截面上的面力Cauchy應力張量的分量 表示外法線沿的截面上的面力沿方向的分量。在變形后的面積微元上的面力合力 其中定義為第一類Piola-Kirchhoff應力。與Cauchy不同的是，它參照初始構型中的面積微元度量變形后該面上的面力。根據面積微元的轉換關系可得： 從中可見：第一類Piola-Kirchhoff應力張量與Cauchy應力張量之的轉換關系：如果將Cauchy應力張量表述為則 （）從中可見：第一類Piola-Kirchhoff應力張量在度量初始構型中面積微元變形后所受的面力時，面力是相對瞬時基底表述的。第二類Piola-Kirchhoff應力 則把將Cauchy應力張量的兩個瞬時協(xié)變基底都轉化為初始協(xié)變基底：第四章 連續(xù)介質的基本規(guī)律4.1質量守恒定律、連續(xù)方程 質量守恒： 一小塊連續(xù)介質，變形前的體積為，變形后的體積成為；同時質量密度也從變化為。物理定律告訴我們：由同量物質組成的物體，無論發(fā)生怎樣的形狀變化，它所含的物體質量是不變的質量守恒定律。因此： 將變形前后體積微元之間的聯(lián)系代入到上式中，我們得到質量密度的變化與變形梯度行列式值之間的關系：對該方程兩端求物質導數，得到質量密度變化規(guī)律：體積分的物質導數 在t時刻，占據空間體積為V的那部分連續(xù)介質的質量m為：其中為質量密度連續(xù)性方程：1) 歐拉形式的連續(xù)性方程：（積分形式）（微分形式）2) 拉格朗日連續(xù)性方程：3)由質量守恒有體元變換得到（微分形式的連續(xù)性方程）4.2動量守恒定律牛頓定律指出：質點所受的合外力等于該質點動量的變化率。在連續(xù)介質中取出一個無限小的微元體，牛頓定律對這個微元體成立：其中，為微元體所受的體力密度（如重力加速度）；分別是連續(xù)介質初始時刻所占據的空間域和表面；是連續(xù)介質瞬時所占據的空間域和表面。將沿外表面的積分轉化為體積積分： 則動量定理可以改寫為： 這個方程對圍繞核心質點的任意形狀的微元體都成立，因此被積函數必然為零： 連續(xù)介質的運動方程還可以寫作 這是由于兩類Piola-Kirchhoff應力張量存在聯(lián)系： 4.3動量矩定理對質點系統(tǒng)應用牛頓定律可以證明：質點系統(tǒng)相對于固定點的動量矩變化率等于外力對該點的合力矩動量矩定理。把連續(xù)介質中的一團物質看作是質點系，應用動量矩定理，則把上式中的面積分轉換為體積分得到：根據連續(xù)介質運動方程，上式右端的第一項為零。因此，右端第二項也為零： 由于積分區(qū)域的任意性，積分函數必然為零： （取）即：即Cauchy應力張量是對稱的：從，與之間的關系可知：第二類Piola-Kirchhoff應力張量是對稱的，第一類Piola-Kirchhoff應力張量則是不對稱的。依據對稱的Cauchy應力與之間的關系 ,可以得到第一類Piola-Kirchhoff應力張量與變形梯度之間存在等式： 4.4機械能守恒定律在連續(xù)介質中，任意選定一部分，周圍介質對它的作用力的功率為： 將面積分轉換為體積分，則 其中 而 (）由于 Cauchy應力張量是對稱的 ； 因此從普遍的能量守恒定律，我們知道：外力功率應當等于系統(tǒng)動能變化率與系統(tǒng)內能變化率之和。在不考慮熱能的前提下，連續(xù)介質內能只有變形能?？梢姳硎具B續(xù)體內儲存的變形功率密度。利用二階張量內積與求跡之間的關系：可以證明： 以及所以，變形功率密度 4.5能量守恒、熱力學第一定律4.6狀態(tài)方程、熱律學第二定律1) 狀態(tài)參量與狀態(tài)方程的概念狀態(tài)參量：一個熱力學系統(tǒng)在任何瞬間任何部位的狀態(tài)都可以用一些確定的物理量來描述，這些物理量均稱為狀態(tài)參量。分為運動學量和熱力學量；如果系統(tǒng)內各處狀態(tài)參量都相同，稱為均勻系統(tǒng)；如果系統(tǒng)內狀態(tài)參量不隨時間變化，稱為平衡系統(tǒng)；如果系統(tǒng)內狀態(tài)參量隨時間變化，這些變化的總和稱為過程；2) 狀態(tài)方程：許多狀態(tài)參量之間存在著一定的函數關系，表征這種函數關系的關系式就稱為狀態(tài)方程。（廣義）狀態(tài)方程是指熱力學參量之間所滿足的關系式。（狹義）4.7熵不等式、熱力學第一定律常見形式