高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十章 算法初步、復(fù)數(shù)與選考內(nèi)容 第4講 幾何證明選講課件 理.ppt

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第4講 幾何證明選講 1 了解平行線截割定理 會證直角三角形射影定理 2 會證圓周角定理 圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理 3 會證相交弦定理 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理 切割線定理 4 了解平行投影的含義 通過圓柱與平面的位置關(guān)系了解平行投影 會證平面與圓柱面的截線是橢圓 特殊情形是圓 5 幾何證明選講考綱要求 5 8 略 1 平行線分線段成比例定理 三條平行線截兩條直線 所得對應(yīng)線段成比例 推論1 平行于三角形的一邊的直線截其他兩邊 或兩邊的 延長線 所得的對應(yīng)線段成比例 推論2 平行于三角形的一邊 并且和其他兩邊相交的直線 所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例 2 射影定理的結(jié)論直角三角形一條直角邊的平方等于該直角邊在斜邊上射影與斜邊的乘積 斜邊上的高的平方等于兩條直角邊在斜邊上射 影的乘積 BD DC 在Rt ABC中 BAC 90 AD BC于點D 則AB2 BD BC AC2 CD CB AD2 3 相似三角形的判定與性質(zhì) 1 相似三角形的判定定理 預(yù)備定理 平行于三角形一邊的直線與其他兩邊 或兩邊的延長線 相交 所構(gòu)成的三角形與原三角形相似 判定定理1 兩角對應(yīng)相等 兩三角形相似 判定定理2 兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等 兩三角形相似 判定定理3 三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似 判定定理4 如果兩個直角三角形的斜邊和直角邊對應(yīng)成比例 那么它們相似 2 相似三角形的性質(zhì)定理 相似三角形對應(yīng)高的比 對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比 周長的比等于相似比 面積的比等于相似比 的 平方 4 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定 1 圓內(nèi)接四邊形的對角互補 2 圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角 3 如果四邊形的對角互補 那么這個四邊形的四個頂點共圓 5 直線與圓 一半 1 圓周角定理 圓心角定理 圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的 圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù) 2 弦切角定理 弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角 3 相交弦定理 圓內(nèi)的兩條相交弦 被交點分成的兩條線段長的積相等 4 切割線定理 從圓外一點引圓的切線和割線 切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項 10 圖10 4 1 圖10 4 2 2 如圖10 4 2 DB DC是 O的兩條切線 點A是圓上 一點 已知 D 46 則 BAC 67 3 2014年廣東肇慶二模 如圖10 4 3 ABC的外角平分 線AD交外接圓于點D BD 4 則CD 4 圖10 4 4 98 a 考點1 相似三角形 例1 1 2014年廣東 如圖10 4 5 在平行四邊形ABCD中 點E在AB上 且EB 2AE AC與DE交于點F 則 CDF的周長 AEF的周長 圖10 4 5 答案 3 2 如圖10 4 6 在梯形ABCD中 AB CD AB 4 CD 2 E F分別為AD BC上的點 且EF 3 EF AB 則梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為 圖10 4 6 答案 75 規(guī)律方法 解本題第 2 小題的關(guān)鍵在于延長AD BC 交點為P 從而將我們不太熟悉的梯形轉(zhuǎn)化為三角形來解決 反復(fù)運用相似三角形的面積之比等于相似比的平方 證明三角形相似的主要方法 兩角相等 兩邊對應(yīng)成比例 且夾角相等 三邊對應(yīng)成比例 互動探究 1 2013年陜西 如圖10 4 7 AB與CD相交于點E 過E作BC的平行線與AD的延長線相交于點P 已知 A C PD 2DA 2 則PE 圖10 4 7 考點2 與圓有關(guān)的角 例2 如圖10 4 8 已知點C在圓O直徑BE的延長線上 CA切圓O于A點 DC是 ACB的平分線并交AE于點F 交AB于D點 求 ADF的大小 圖10 4 8 思維點撥 根據(jù)直徑上的圓周角是直角 弦切角定理以及 三角形內(nèi)角和定理等通過角的關(guān)系求解 解 設(shè) EAC 根據(jù)弦切角定理 ABE 根據(jù)三角形外角定理 AEC 90 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理 ACE 90 2 由于CD是 ACB的內(nèi)角平分線 所以 FCE 45 再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理 CFE 180 90 45 45 根據(jù)對頂角定理 AFD 45 由于 DAF 90 所以 ADF 45 規(guī)律方法 1 等弦或等弧所對的圓周角相等 所對的圓心角相等 可進(jìn)行角的等量代換 同時也可借在同圓或等圓中 相等的圓周角 圓心角 所對的弧相等 可進(jìn)行弧 或弦 的等量代換 2 本題的涉及很獨到 試題涉及成動態(tài)的 即點C是可變的 在這個動態(tài)中求解其中的一個不變量 解決這類試題要善于抓住主要的變化關(guān)系 如本題中主要的變量就是 AEC 抓住這個變量后 其余的角可以使用這個變量進(jìn)行表達(dá) 通過各個角的關(guān)系證明求解的目標(biāo)與這個變量沒有關(guān)系 互動探究 2 如圖10 4 9 EB EC是 O的兩條切線 B C是切點 A D是 O上兩點 如果 E 46 DCF 32 則 A的度數(shù)是 圖10 4 9 答案 99 圖D43 3 2012年廣東廣州二模 如圖10 4 10 O的直徑AB 6 點P是AB延長線上的一點 過點P作 O的切線 切點為 C 連接AC 若PC 3 則 CPA 30 圖10 4 10解析 PC2 PB PA 27 PB PB 6 PB2 6PB 27 0 得PB 3 連接OC 在Rt OPC中 OC 3 OP 6 則 CPA 30 考點3 與圓有關(guān)的比例線段 例3 2014年新課標(biāo) 如圖10 4 11 P是 O外一點 PA是切線 A為切點 割線PBC與 O相交于點B C PC 2PA D為PC的中點 AD的延長線交 O于點E 證明 1 BE EC 2 AD DE 2PB2 圖10 4 11 證明 1 如圖10 4 12 連接AB AC 由題設(shè)知PA PD 故 PAD PDA 因為 PDA DAC DCA PAD BAD PAB DCA PAB 所以 DAC BAD 圖10 4 12 因此BE EC 2 由切割線定理 得PA2 PB PC 因為PC 2PA 所以PA 2BP 所以PD 2PB 所以BD PB 所以BD DC PB 2PB 由相交弦定理 得AD DE BD DC 所以AD DE 2PB2 規(guī)律方法 相交弦定理為圓中證明等積式和有關(guān)計算提供了有力的方法和工具 應(yīng)用時一方面要熟記定理的等積式的結(jié)構(gòu)特征 另一方面在與定理相關(guān)的圖形不完整時 要用輔助線補齊相應(yīng)部分 在實際應(yīng)用中 見到圓的兩條相交弦就要想到相交弦定理 見到圓的兩條割線就要想到割線定理 見到圓的切線和割線就要想到切割線定理 互動探究 4 2012年廣東 如圖10 4 113 直線PB與圓O相切于點B D是弦AC上的點 PBA DBA 若AD m AC n 則AB 圖10 4 13 易錯 易混 易漏 審題不清造成漏解 例題 過不在 O上的一點A作直線交 O于B C 且AB AC 64 OA 10 則 O的半徑等于 失誤與防范 點A不在 O上 則點A有可能在圓外 也有可能在圓內(nèi) 對于沒有給出圖形的問題要認(rèn)真審題 并想清楚各種可能 本題很容易思維定勢地認(rèn)為點A在圓外而出錯