2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 思想、方法與技巧 1.1 函數(shù)與方程思想課件.ppt

第一篇思想方法技巧第一講函數(shù)與方程思想 微題型一函數(shù)與方程思想在函數(shù) 方程 不等式中的應(yīng)用 典例1 1 已知f x log2x x 2 16 對(duì)于函數(shù)f x 值域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)m 則使x2 mx 4 2m 4x 恒成立的實(shí)數(shù)x的取值范圍為 A 2 B 2 C 2 2 D 2 2 2 直線y a分別與曲線y 2 x 1 y x lnx交于A B兩點(diǎn) 則 AB 的最小值 為 A 3B 2C D 思路點(diǎn)撥 解析 1 選D 因?yàn)閤 2 16 所以f x log2x 1 4 即m 1 4 不等式x2 mx 4 2m 4x恒成立 即為m x 2 x 2 2 0恒成立 設(shè)g m x 2 m x 2 2 則此函數(shù)在 1 4 上恒大于0 解得x2 2 選D 當(dāng)y a時(shí) 2 x 1 a 所以 設(shè)方程x lnx a的根為t t 0 則t lnt a 則設(shè)令g t 0 得t 1 當(dāng)t 0 1 時(shí) g t 0 所以所以 AB 的最小值為 方法點(diǎn)睛 函數(shù)與方程思想在函數(shù) 方程 不等式中的應(yīng)用技巧 1 求字母 式子 的值的問題往往要根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建以待求字母 式子 為元的方程 組 然后由方程 組 求得 2 求參數(shù)的取值范圍一般有兩種途徑 其一 充分挖掘題設(shè)條件中的不等關(guān)系 構(gòu)建以待求字母為元的不等式 組 求解 其二 充分應(yīng)用題設(shè)中的等量關(guān)系 將待求參數(shù)表示成其他變量的函數(shù) 然后應(yīng)用函數(shù)知識(shí)求值域 3 在解決不等式問題時(shí) 一種最重要的思想方法就是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù) 利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問題 同時(shí)要注意在一個(gè)含多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問題中 需要確定合適的變量和參數(shù) 從而揭示函數(shù)關(guān)系 使問題更明朗化 一般地 已知存在范圍的量為變量 而待求范圍的量為參數(shù) 跟蹤訓(xùn)練 1 已知函數(shù)g x x2 2bx 4 若對(duì)任意x1 0 2 x2 1 2 不等式f x1 g x2 恒成立 則實(shí)數(shù)b的取值范圍為 解析 對(duì)任意x1 0 2 x2 1 2 不等式f x1 g x2 恒成立 等價(jià)于f x min g x max 令f x 0得x2 4x 3 0 解得1 x 3 故函數(shù)f x 的單調(diào)遞增區(qū)間是 1 3 單調(diào)遞減區(qū)間是 0 1 和 3 故在區(qū)間 0 2 上 1是函數(shù)f x 的極小值點(diǎn) 這個(gè)極小值點(diǎn)是唯一的 故也是最小值點(diǎn) 所以f x min f 1 x 0 2 由于函數(shù)g x x2 2bx 4 x 1 2 當(dāng)b2時(shí) g x max g 2 4b 8 故問題等價(jià)于答案 微題型二函數(shù)與方程思想在三角函數(shù) 平面向量中的應(yīng)用 典例2 1 若方程cos2x sinx a 0在上有解 則a的取值范圍是 2 2018 秦皇島一模 已知向量a 1 b 2 1 若 a b a b 則實(shí)數(shù) 的值為 A 1B 2C 1D 2 思路點(diǎn)撥 解析 1 方法一 把方程變形為a cos2x sinx 設(shè)f x cos2x sinx x 顯然 當(dāng)且僅當(dāng)a屬于f x 的值域時(shí)有解 因?yàn)閒 x 1 sin2x sinx 且由x 知sinx 0 1 易求得f x 的值域?yàn)?1 1 故a的取值范圍是 1 1 方法二 令t sinx 由x 可得t 0 1 將方程變?yōu)閠2 t 1 a 0 依題意 該方程在 0 1 上有解 設(shè)f t t2 t 1 a 其圖象是開口向上的拋物線 對(duì)稱軸 t 如圖所示 因此 f t 0在 0 1 上有解等價(jià)于所以 1 a 1 故a的取值范圍是 1 1 答案 1 1 2 選A 方法一 由 a b a b 可得a2 b2 2a b a2 b2 2a b 所以a b 0 故a b 1 2 1 2 2 1 0 解得 1 方法二 a b 2 2 2 a b 2 0 由 a b a b 可得 2 2 2 4 4 解得 1 方法點(diǎn)睛 函數(shù)與方程思想在三角函數(shù) 平面向量中的應(yīng)用技巧 1 研究此類含參數(shù)的三角函數(shù)方程的問題 通常有兩種處理思路 一是分離參數(shù)構(gòu)建函數(shù) 將方程有解轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域 二是換元 將復(fù)雜方程問題轉(zhuǎn)化熟悉的二次方程 進(jìn)而利用二次方程解的分布情況構(gòu)建不等式或構(gòu)造函數(shù)加以解決 2 平面向量中含函數(shù) 方程 的相關(guān)知識(shí) 對(duì)平面向量的模進(jìn)行平方處理 把模問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量積問題 再利用函數(shù)與方程思想來分析與處理 這是解決此類問題的一種比較常見的思維方式 跟蹤訓(xùn)練 2 如圖 A是單位圓與x軸的交點(diǎn) 點(diǎn)P在單位圓上 AOP 0 四邊形OAQP的面積為S 當(dāng)取得最大值時(shí) 的值為 解析 選B 因?yàn)樗运倪呅蜲AQP是平行四邊形 于是S 2S AOP 1 1 sin sin 因?yàn)樗?cos sin 故的最大值為 此時(shí) 微題型三函數(shù)與方程思想在數(shù)列問題中的應(yīng)用 典例3 1 已知數(shù)列 an 滿足a1 33 an 1 an 2n 則的最小值 為 2 2017 全國卷 已知等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 等比數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和為Tn a1 1 b1 1 a2 b2 2 若a3 b3 5 求 bn 的通項(xiàng)公式 若T3 21 求S3 思路點(diǎn)撥 解析 1 因?yàn)閍n 1 an 2n 所以當(dāng)n 2時(shí) an an 1 2 n 1 所以an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 2n 2 2n 4 2 33 n2 n 33 n 2 又a1 33 1 1 33 故a1滿足上式 所以an n2 n 33 n N 所以f x 在區(qū)間 0 上單調(diào)遞減 在區(qū)間 上單調(diào)遞增 又5 6 且f 5 5 1 所以當(dāng)n 6時(shí) 有最小值 答案 2 設(shè) an 的公差為d bn 的公比為q 則an 1 n 1 d bn qn 1 由a2 b2 2得d q 3 由a3 b3 5得2d q2 6 聯(lián)立 和 解得 因此 bn 的通項(xiàng)公式bn 2n 1 由b1 1 T3 21得q2 q 20 0 解得q 5或q 4 當(dāng)q 5時(shí) 由 得d 8 則S3 21 當(dāng)q 4時(shí) 由 得d 1 則S3 6 方法點(diǎn)睛 數(shù)列問題函數(shù) 方程 化法數(shù)列問題函數(shù) 方程 化法與形式結(jié)構(gòu)函數(shù) 方程 化法類似 但要注意數(shù)列問題中n的取值范圍為正整數(shù) 涉及的函數(shù)具有離散性特點(diǎn) 其一般解題步驟是 第一步 分析數(shù)列式子的結(jié)構(gòu)特征 第二步 根據(jù)結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù) 方程 轉(zhuǎn)化問題形式 第三步 研究函數(shù)性質(zhì) 結(jié)合解決問題的需要研究函數(shù) 方程 的相關(guān)性質(zhì) 主要涉及函數(shù)單調(diào)性與最值 值域問題的研究 第四步 回歸問題 結(jié)合對(duì)函數(shù) 方程 相關(guān)性質(zhì)的研究 回歸問題 跟蹤訓(xùn)練 3 已知數(shù)列 an 是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列 a1 2 且a2 a3 a4 1成等比數(shù)列 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式an 2 設(shè)數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為 若對(duì)任意的n N 不等式bn k恒成立 求實(shí)數(shù)k的最小值 解析 1 因?yàn)閍1 2 a2 a4 1 又因?yàn)?an 是正項(xiàng)等差數(shù)列 故公差d 0 所以 2 2d 2 2 d 3 3d 列出方程 解得d 2或d 1 舍去 所以數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式an 2n 2 由 1 知Sn n n 1 令f x 2x x 1 構(gòu)造函數(shù) 則f x 2 當(dāng)x 1時(shí) f x 0恒成立 所以f x 在 1 上是增函數(shù) 故當(dāng)x 1時(shí) f x min f 1 3 即當(dāng)n 1時(shí) bn max 要使對(duì)任意的正整數(shù)n 不等式bn k恒成立 則需使k bn max 所以實(shí)數(shù)k的最小值為 微題型四函數(shù)與方程思想在解析幾何問題中的應(yīng)用 典例4 1 2016 全國卷 以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A B兩點(diǎn) 交C的準(zhǔn)線于D E兩點(diǎn) 已知 AB 4 DE 2 則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào) A 2B 4C 6D 8 2 已知橢圓的右焦點(diǎn)為F 1 0 如圖 設(shè)左頂點(diǎn)為A 上頂點(diǎn)為B 且 求橢圓C的方程 若過F的直線l交橢圓于M N兩點(diǎn) 試確定 的取值范圍 思路點(diǎn)撥 解析 1 選B 以開口向右的拋物線為例來解答 其他開口同理可得 設(shè)拋物線為y2 2px p 0 設(shè)圓的方程為x2 y2 r2 題目條件翻譯如圖 設(shè)點(diǎn)A x0 2 在拋物線y2 2px上 所以8 2px0 點(diǎn)在圓x2 y2 r2上 所以5 r2 點(diǎn)A x0 2 在圓x2 y2 r2上 所以 8 r2 聯(lián)立 解得 p 4 焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p 4 2 由已知 得A a 0 B 0 b F 1 0 則由 得b2 a 1 0 列出方程 因?yàn)閎2 a2 1 所以a2 a 2 0 解得a 2 所以a2 4 b2 3 所以橢圓C的方程為 若直線l斜率不存在 則l x 1 此時(shí) 若直線l斜率存在 設(shè)l y k x 1 M x1 y1 N x2 y2 則由消去y得 4k2 3 x2 8k2x 4k2 12 0 列出方程 所以所以 x1 1 y1 x2 1 y2 1 k2 x1x2 x1 x2 1 轉(zhuǎn)化為函數(shù) 因?yàn)閗2 0 方法點(diǎn)睛 函數(shù)與方程思想在解析幾何中的應(yīng)用 1 利用方程求橢圓離心率的方法第一步 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 第二步 轉(zhuǎn)化幾何 向量 三角等關(guān)系為數(shù)量關(guān)系 第三步 利用方程思想建立a b c的關(guān)系式 構(gòu)建離心率 a b 0 2 解析幾何中的最值問題解析幾何中的最值是高考的熱點(diǎn) 在圓錐曲線的綜合問題中經(jīng)常出現(xiàn) 求解此類問題的一般思路為在深刻認(rèn)識(shí)運(yùn)動(dòng)變化的過程之中 抓住函數(shù)關(guān)系 將目標(biāo)量表示為一個(gè) 或者多個(gè) 變量的函數(shù) 然后借助函數(shù)最值的探求來使問題得以解決 4 2018 安慶一模 已知圓M x2 y2 r2 r 0 與直線l1 x y 4 0相切 設(shè)點(diǎn)A為圓上一動(dòng)點(diǎn) AB x軸于點(diǎn)B 且動(dòng)點(diǎn)N滿足 設(shè)動(dòng)點(diǎn)N的軌跡為曲線C 1 求曲線C的方程 2 直線l與直線l1垂直且與曲線C交于P Q兩點(diǎn) 求 OPQ O為坐標(biāo)原點(diǎn) 面積的最大值 解析 1 設(shè)動(dòng)點(diǎn)N x y A x0 y0 因?yàn)锳B x軸于B 所以B x0 0 由題意得 所以圓M的方程為M x2 y2 4 因?yàn)?所以 0 y0 2 x0 x y 即將A x 2y 代入圓M x2 y2 4中 得動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程為 2 由題意 設(shè)直線l x y m 0 P x1 y1 Q x2 y2 聯(lián)立直線l與橢圓C的方程得消去y 得13x2 8mx 4m2 4 0 192m2 4 13 4m2 4 16 m2 13 0 解得m2 13 又點(diǎn)O到直線l的距離 當(dāng)且僅當(dāng)m2 13 m2 即m 時(shí) 等號(hào)成立 所以 OPQ面積的最大值為1