2019高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.2 直接證明與間接證明 2.2.1 綜合法和分析法課件 新人教A版選修1 -2.ppt

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2 2 1綜合法和分析法 1 綜合法 2 分析法 做一做1 下列表述 綜合法是由因?qū)Ч?綜合法是順推法 分析法是執(zhí)果索因法 分析法是間接證明法 分析法是逆推法 其中正確的表述有 A 2個B 3個C 4個D 5個解析 結(jié)合綜合法和分析法的定義可知 均正確 分析法和綜合法均為直接證明法 故 不正確 答案 C 做一做2 要證明 可選擇的方法有以下幾種 其中最合理的是 A 綜合法B 分析法C 類比法D 歸納法解析 因為我們很難想到從 21 25 入手 所以用綜合法證明比較困難 最合理的是分析法 故選B 答案 B 3 綜合法和分析法的綜合應(yīng)用 1 在解決問題時 我們經(jīng)常把綜合法和分析法結(jié)合起來使用 根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化結(jié)論 得到中間結(jié)論Q 根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化條件 得到中間結(jié)論P 若由P 可以推出Q 成立 即可證明結(jié)論成立 2 用P表示已知條件 定義 定理 公理等 用Q表示要證明的結(jié)論 則上述過程可用框圖表示為 P P1 P1 P2 Pn P Q Qm Q2 Q1 Q1 Q 名師點撥綜合法和分析法的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別 聯(lián)系 分析法便于我們?nèi)ふ易C明思路 綜合法便于證明過程的敘述 兩種方法各有所長 因而在解決問題時 常先用分析法尋求解題思路 再用綜合法有條理地表達(dá)證明過程 兩種方法結(jié)合運用效果會更好 思考辨析判斷下列說法是否正確 正確的在后面的括號內(nèi)打 錯誤的打 1 綜合法的證明過程是合情推理的過程 2 分析法的證明過程是演繹推理的過程 3 分析法的特點是從 未知 看 需知 逐步靠攏 已知 其推理過程實際上是逐步尋求使結(jié)論成立的充分條件 4 綜合法的特點是從 已知 看 未知 其推理過程實際上是逐步尋求已知條件的必要條件 5 分析法與綜合法證明同一個問題時 一般思路相反 過程相逆 答案 1 2 3 4 5 探究一 探究二 探究三 規(guī)范解答 綜合法的應(yīng)用 例1 在 ABC中 內(nèi)角A B C的對邊分別為a b c 已知sinAsinB sinBsinC cos2B 1 求證 a b c成等差數(shù)列 思路分析 從已知條件中的等式出發(fā) 尋求sinA sinB sinC之間的關(guān)系 然后結(jié)合正弦定理證明結(jié)論 證明 因為sinAsinB sinBsinC cos2B 1 所以sinB sinA sinC cos2B 1 0 即sinB sinA sinC 2sin2B 0 所以sinB sinA sinC 2sinB 0 由于在 ABC中 sinB 0 因此sinA sinC 2sinB 0 由正弦定理可得 于是a c 2b 故a b c成等差數(shù)列 探究一 探究二 探究三 規(guī)范解答 反思感悟1 綜合法的證明步驟 1 分析條件 選擇方向 確定已知條件和結(jié)論間的聯(lián)系 合理選擇相關(guān)定義 定理 公理等 2 轉(zhuǎn)化條件 組織過程 將條件合理轉(zhuǎn)化 書寫出嚴(yán)密的證明過程 2 綜合法的適用范圍 1 定義明確的題型 如證明函數(shù)的單調(diào)性 奇偶性 求證無條件的等式或不等式問題等 2 已知條件明確 且容易尋求已知條件的必要條件獲得結(jié)論的題型 3 在利用綜合法證明不等式的過程中 要注意不等式性質(zhì)以及基本不等式的應(yīng)用 在利用綜合法證明三角恒等式的過程中 要注意三角函數(shù)基本公式和正余弦定理的應(yīng)用 探究一 探究二 探究三 規(guī)范解答 變式訓(xùn)練1已知a b c是不全相等的正數(shù) 求證 a b2 c2 b c2 a2 c a2 b2 6abc 證明 因為a b c是正數(shù) 所以b2 c2 2bc 所以a b2 c2 2abc 同理可得b c2 a2 2abc c a2 b2 2abc 又因為a b c不全相等 所以 三式中不能同時取到 故 三式相加得a b2 c2 b c2 a2 c a2 b2 6abc 探究一 探究二 探究三 規(guī)范解答 分析法的應(yīng)用 例2 已知函數(shù)f x x2 2x 2 若m n 1 求證 思路分析 已知條件較少 且很難和要證明的不等式直接聯(lián)系起來 故可考慮從要證明的不等式出發(fā) 采用分析法證明 即證2m2 2n2 m2 2mn n2 只需證m2 n2 2mn 即證 m n 2 0 因為m n 1 所以 m n 2 0顯然成立 故原不等式成立 探究一 探究二 探究三 規(guī)范解答 反思感悟分析法的證明過程 書寫形式及適用范圍 1 證明過程 確定結(jié)論與已知條件間的聯(lián)系 合理選擇相關(guān)定義 定理 公理對結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化 直到獲得一個明顯成立的條件即可 2 書寫形式 要證 只需證 即證 然后得到一個明顯成立的條件 所以結(jié)論成立 3 適用范圍 已知條件不明確 或已知條件較少而結(jié)論式子較復(fù)雜的問題 探究一 探究二 探究三 規(guī)范解答 變式訓(xùn)練2如圖 SA 平面ABC AB BC 過點A作SB的垂線 垂足為E 過點E作SC的垂線 垂足為F 求證 AF SC 證明 已知EF SC 要證AF SC 只需證SC 平面AEF 只需證AE SC 而AE SB 故只需證AE 平面SBC 只需證AE BC 而AB BC 故只需證BC 平面SAB 只需證BC SA 由SA 平面ABC 可知SA BC 即上式顯然成立 所以AF SC成立 探究一 探究二 探究三 規(guī)范解答 綜合法與分析法的綜合應(yīng)用 例3 已知 ABC的三個內(nèi)角A B C所對的邊分別為a b c 且三個內(nèi)角A B C構(gòu)成等差數(shù)列 求證 思路分析 本題條件較為簡單 但結(jié)論中的等式較為復(fù)雜 故可首先用分析法 將要證明的等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化 轉(zhuǎn)化為一個較為簡單的式子 然后再從已知條件入手 結(jié)合余弦定理 推導(dǎo)出這個式子 即可得證 探究一 探究二 探究三 規(guī)范解答 探究一 探究二 探究三 規(guī)范解答 反思感悟1 有些數(shù)學(xué)問題的證明 需要把綜合法與分析法結(jié)合起來使用 根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化結(jié)論 得到中間結(jié)論Q 根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化條件 得到中間結(jié)論P 若由P可以推出Q成立 就可以證明結(jié)論成立 這種邊分析邊綜合的證明方法 稱為分析綜合法 或者稱 兩頭湊法 2 在證明過程中 分析法能夠發(fā)現(xiàn)證明的思路 但解題的表述過程較為繁瑣 而綜合法表述證明過程則顯得簡潔 因此在實際解題過程中 常常將分析法和綜合法結(jié)合起來運用 先利用分析法探求得到解題思路 再利用綜合法有條理地表述解題過程 探究一 探究二 探究三 規(guī)范解答 變式訓(xùn)練3設(shè)實數(shù)a b c成等比數(shù)列 非零實數(shù)x y分別為a與b b與c的等差中項 證明 探究一 探究二 探究三 規(guī)范解答 分析法的證明過程及步驟 典例 設(shè)函數(shù)f x ax2 bx c a 0 若函數(shù)y f x 1 的圖象與f x 的圖象關(guān)于y軸對稱 求證 為偶函數(shù) 審題策略 由于已知條件較為復(fù)雜 且不易與要證明的結(jié)論聯(lián)系 故可從要證明的結(jié)論出發(fā) 利用分析法 從函數(shù)圖象的對稱軸找到證明的突破口 探究一 探究二 探究三 規(guī)范解答 探究一 探究二 探究三 規(guī)范解答 答題模板第1步 將證明函數(shù)為偶函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為證明其對稱軸為y軸的問題 第2步 將對稱軸用系數(shù)a b表示 從而得到系數(shù)a b應(yīng)滿足的條件 第3步 將已知條件中對稱軸滿足的條件用系數(shù)a b表示 得到系數(shù)a b之間的關(guān)系 第4步 對照第2步中的條件 由分析法證明問題得證 第5步 結(jié)論成立 探究一 探究二 探究三 規(guī)范解答 失誤警示通過閱卷統(tǒng)計分析 發(fā)現(xiàn)造成失分的原因主要如下 1 不能將所要證明的問題轉(zhuǎn)化為對稱軸的問題 2 不能將對稱軸正確地用系數(shù)a b表示 3 不能將已知中的條件轉(zhuǎn)化為a b之間的關(guān)系式 4 證明過程中的文字?jǐn)⑹霾灰?guī)范 探究一 探究二 探究三 規(guī)范解答 探究一 探究二 探究三 規(guī)范解答 1 用分析法證明 要使 A B 只需使 C0 sinA 1 又A 0 A ABC是直角三角形 故選C 答案 C 3 命題 函數(shù)f x x xlnx在區(qū)間 0 1 上是增函數(shù) 的證明過程 對函數(shù)f x x xlnx求導(dǎo) 得f x lnx 當(dāng)x 0 1 時 f x lnx 0 故函數(shù)f x 在區(qū)間 0 1 上是增函數(shù) 應(yīng)用了的證明方法 解析 本命題的證明 利用題設(shè)條件和導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系 經(jīng)推理論證得到了結(jié)論 所以應(yīng)用的是綜合法的證明方法 答案 綜合法