2019高考數學一輪復習 第五章 平面向量 5.3 平面向量的數量積及其應用課件 理.ppt

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第五章平面向量 5 3平面向量的數量積及其應用 高考理數 考點一數量積的定義1 平面向量的數量積 1 平面向量數量積的定義已知兩個非零向量a和b 它們的夾角為 我們把數量 a b cos 叫做a和b的數量積 或內積 記作a b 即a b a b cos 并規(guī)定零向量與任一向量的數量積為 0 2 一向量在另一向量方向上的投影定義 設 是兩個非零向量a和b的夾角 則 a cos 叫做a在b方向上的投影 b cos 叫做b在a方向上的投影 a在b 或b在a 方向上的投影是一個 實數 而不是向量 當0 90 時 它是正數 當90 180 時 它是負數 當 90 時 它是 0 知識清單 a b的幾何意義 數量積a b等于a的長度 a 與b在a方向上的投影 b cos 的乘積 2 向量的數量積的性質設a b都是非零向量 e是與b方向相同的單位向量 是a與e的夾角 則 1 e a a e a cos 2 a b a b 0 3 當a與b同向時 a b a b 當a與b反向時 a b a b 特別地 a a a2 a 2或 a 4 a b a b 5 cos 是a與b的夾角 3 向量數量積的運算律 1 a b b a 交換律 2 a b a b a b R 數乘結合律 3 a b c a c b c 分配律 考點二平面向量的長度問題1 已知a x1 y1 b x2 y2 1 a b x1x2 y1y2 2 a b 2 若A x1 y1 B x2 y2 則 考點三平面向量的夾角 兩向量垂直及數量積的應用已知a x1 y1 b x2 y2 1 若a與b的夾角為 則cos 2 a b x1x2 y1y2 0 向量的長度即向量的模 通常有以下求解方法 1 a 2 a b 3 若a x y 則 a 4 解向量所在三角形 轉化為求三角形的邊長 5 通過解方程 組 求解 例1 2017浙江 15 5分 已知向量a b滿足 a 1 b 2 則 a b a b 的最小值是 最大值是 求向量長度的方法 方法技巧 解析解法一 a b a b a b a b 2 a 2 且 a b a b a b a b 2 b 4 a b a b 4 當且僅當a b與a b反向時取等號 此時 a b a b 取最小值4 a b a b 2 當且僅當 a b a b 時取等號 此時a b 0 故當a b時 a b a b 有最大值2 解法二 設x a b 由 a b a b a b 得1 x 3 設y a b 同理 1 y 3 而x2 y2 2a2 2b2 10 故可設x cos cos y sin sin 設 1 2為銳角 且sin 1 sin 2 則有 1 2 又0 1 2 則x y cos sin 2sin 1 2 而 1 2 故當 即 時 x y 此時 a b a b 所以當a b時 x y a b a b 有最大值2 又sin sin 故當 1或 2時 x 3 y 1或x 1 y 3 此時a b x y a b a b 有最小值4 解法三 設b 2 0 a x y 則x2 y2 1 則 a b a b 0 x2 1 故當x 0 即a b時 a b a b 有最大值2 當x2 1 即a b時 a b a b 有最小值4 答案4 2 1 當a b是非坐標形式時 求a與b的夾角 需求得a b及 a b 或得出它們之間的關系 2 若已知a與b的坐標 則可直接利用公式cos 平面向量a與b的夾角 0 3 轉化成解三角形 利用正弦定理或余弦定理求解 例2 2017湖南五市十校聯考 8 ABC是邊長為2的等邊三角形 向量a b滿足 2a 2a b 則向量a b的夾角為 C A 30 B 60 C 120 D 150 求向量夾角問題的方法 解析解法一 設向量a b的夾角為 由已知得 2a b 2a b b 2 2 a 2 a 1 則 2a b 2 4a2 4a b b2 8 8cos 4 cos 又 0 180 120 故選C 解法二 2a b 2a b 則向量a與b夾角為向量與的夾角 故a與b的夾角為120 選C 向量既有大小又有方向 具有數和形的特征 在解題時要注意利用數形結合的方法 若題設中有動點問題 將涉及變量的值或范圍問題 應重視函數的思想方法 在求值問題中應重視方程的思想方法 例3 2017課標全國 12 5分 已知 ABC是邊長為2的等邊三角形 P為平面ABC內一點 則 的最小值是 B A 2B C D 1 數形結合的方法和方程與函數的思想方法 解題導引 解析設BC的中點為D AD的中點為E 則有 2 則 2 2 2 而 當P與E重合時 有最小值0 故此時 取最小值 最小值為 2 2 方法總結在求向量數量積的最值時 常用取中點的方法 如本題中利用 可快速求出最值 一題多解以AB所在直線為x軸 AB的中點為原點建立平面直角坐標系 如圖 則A 1 0 B 1 0 C 0 設P x y 取BC的中點D 則D 2 2 1 x y 2 x 1 y 2 因此 當x y 時 取得最小值 為2 故選B 例4 2017天津 13 5分 在 ABC中 A 60 AB 3 AC 2 若 2 R 且 4 則 的值為 解題導引 解析如圖 由 2得 所以 又 3 2 cos60 3 9 4 所以 3 2 5 4 解得 答案 一題多解以A為原點 AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系 如圖 因為AB 3 AC 2 BAC 60 所以B 3 0 C 1 又 2 所以D 所以 而 1 3 0 3 因此 3 5 4 解得