2019高考數學二輪復習 第6講 三角恒等變換與解三角形課件 理.ppt

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第6講三角恒等變換與解三角形 總綱目錄 考點一三角恒等變換 1 兩角和與差的正弦 余弦 正切公式 1 sin sin cos cos sin 2 cos cos cos sin sin 3 tan 2 二倍角的正弦 余弦 正切公式 1 sin2 2sin cos 2 cos2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 3 tan2 例 2018四川成都第一次診斷性檢測 已知sin 則cos的值為 A B C D 答案A 解析 sin cos sin2 2sin cos 2 cos2 1 2sin2 1 2 1 cos 方法歸納 三角恒等變換的 4大策略 1 常值代換 特別是 1 的代換 1 sin2 cos2 tan45 等 2 項的拆分與角的配湊 如sin2 2cos2 sin2 cos2 cos2 等 3 降次與升次 正用二倍角公式升次 逆用二倍角公式降次 4 弦 切互化 一般是切化弦 1 若 則sin的值為 A B C D 答案C 2sin 所以sin 2 已知tan 2 tan 3 則tan A 1B C D 1 答案Dtan tan tan 3 而 所以tan tan 1 故選D 考點二正弦定理與余弦定理 1 正弦定理及其變形在 ABC中 2R R為 ABC的外接圓半徑 變形 a 2RsinA sinA a b c sinA sinB sinC 2 余弦定理及其變形在 ABC中 a2 b2 c2 2bccosA b2 a2 c2 2accosB c2 a2 b2 2abcosC 變形 b2 c2 a2 2bccosA cosA a2 c2 b2 2accosB cosB a2 b2 c2 2abcosC cosC 3 三角形面積公式S ABC absinC bcsinA acsinB 命題角度一 利用正 余 弦定理進行邊角計算 例1 2018課標全國 17 12分 在平面四邊形ABCD中 ADC 90 A 45 AB 2 BD 5 1 求cos ADB 2 若DC 2 求BC 解析 1 在 ABD中 由正弦定理得 由題設知 所以sin ADB 由題設知 ADB 90 所以cos ADB 2 由題設及 1 知 cos BDC sin ADB 在 BCD中 由余弦定理得BC2 BD2 DC2 2 BD DC cos BDC 25 8 2 5 2 25 所以BC 5 方法歸納 正 余弦定理的適用條件 1 已知兩角和一邊 或 已知兩邊和其中一邊的對角 應采用正弦定理 2 已知兩邊和這兩邊的夾角 或 已知三角形的三邊 應采用余弦定理 注意 應用定理要注意 三統(tǒng)一 即 統(tǒng)一角 統(tǒng)一函數 統(tǒng)一結構 例2在 ABC中 角A B C的對邊分別是a b c 已知c sinA sinC cos2A 1 求a的值 2 若角A為銳角 求b的值及 ABC的面積 命題角度二 利用正 余 弦定理進行面積計算 解析 1 在 ABC中 因為c sinA sinC 由 得a c 3 2 由cos2A 1 2sin2A 得 sin2A 由0 A 得 sinA 則cosA 由余弦定理a2 b2 c2 2bccosA 得 3 2 b2 2 2 b 化簡得 b2 2b 15 0 解得b 5或b 3 舍 所以S ABC bcsinA 5 方法歸納 三角形面積公式的應用原則 1 對于面積公式S absinC acsinB bcsinA 一般是已知哪一個角就使用哪一個公式 2 與面積有關的問題 一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉化 例3某新建的信號發(fā)射塔的高度為AB 且設計要求為29米 AB 29 5米 為測量塔高是否符合要求 先取與發(fā)射塔底部B在同一水平面內的兩個觀測點C D 測得 BDC 60 BCD 75 CD 40米 并在點C處的正上方E處觀測發(fā)射塔頂部A的仰角為30 且CE 1米 則發(fā)射塔高AB A 20 1 米B 20 1 米C 40 1 米D 40 1 米 命題角度三 正 余弦定理的實際應用 答案A 解析過點E作EF AB 垂足為F 則EF BC BF CE 1米 AEF 30 在 BDC中 由正弦定理得BC 20 米 在Rt AEF中 AF EF tan AEF 20 20 米 所以AB AF BF 1 20 米 符合設計要求 故選A 方法歸納 解三角形實際問題的步驟 1 在 ABC中 若A B C成等差數列 且AC BC 2 則A A 135 B 45 C 30 D 45 或135 答案B因為A B C成等差數列 所以B 60 由正弦定理 得 則sinA 又AC BC 所以60 A 故A 45 故選B 2 2018課標全國 9 5分 ABC的內角A B C的對邊分別為a b c 若 ABC的面積為 則C A B C D 答案C本題考查解三角形及其綜合應用 根據余弦定理得a2 b2 c2 2abcosC 因為S ABC 所以S ABC 又S ABC absinC 所以tanC 1 因為C 0 所以C 故選C 3 2018河南鄭州第一次質量檢測 在 ABC中 角A B C的對邊分別為a b c 且2ccosB 2a b 1 求角C 2 若 ABC的面積S c 求ab的最小值 解析 1 解法一 由2ccosB 2a b及余弦定理 得2c 2a b 得a2 c2 b2 2a2 ab 即a2 b2 c2 ab cosC 又0 C C 解法二 由已知可得2sinCcosB 2sinA sinB 則有2sinCcosB 2sin B C sinB 2sinBcosC sinB 0 B為三角形的內角 sinB 0 cosC C為三角形的內角 C 2 S absinC c sinC c ab 又c2 a2 b2 2abcosC a2 b2 ab a2 b2 ab 3ab ab 12 當且僅當a b時取等號 故ab的最小值為12 考點三解三角形與三角函數的交匯問題 例設函數f x cos2x sinxcosx 1 求f x 在上的值域 2 已知 ABC中 角A B C的對邊分別為a b c 若f B C a b c 7 求 ABC的面積 解析 1 f x cos2x sinxcosx cos 1 因為x 所以2x 所以 cos 1 所以 cos 1 2 所以函數f x 在上的值域為 2 由f B C cos 1 得cos 又A 0 得A 在 ABC中 由余弦定理 得a2 b2 c2 2bccos b c 2 3bc 又a b c 7 所以5 49 3bc 解得bc 所以 ABC的面積S bcsin 方法歸納 與解三角形有關的交匯問題的關注點 1 根據條件恰當選擇正弦 余弦定理完成邊角互化 2 結合三角形內角和定理 面積公式等 靈活運用三角恒等變換公式 已知向量a b sinx sinx f x a b 1 求函數f x 的最小正周期及f x 的最大值 2 在銳角 ABC中 角A B C的對邊分別為a b c 若f 1 a 2 求 ABC面積的最大值 解析 1 易得a sinx cosx 則f x a b sin2x sinxcosx cos2x sin2x sin 所以f x 的最小正周期T 當2x 2k k Z時 即x k k Z時 f x 取最大值 2 因為f sin 1 所以sin A 因為a2 b2 c2 2bccosA 所以12 b2 c2 bc 所以b2 c2 bc 12 2bc 所以bc 12 當且僅當b c時等號成立 所以S ABC bcsinA bc 3 所以當 ABC為等邊三角形時面積取最大值3