數(shù)學第九章 平面解析幾何 第一節(jié) 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 理

第一節(jié)直線的傾斜角與斜率、直線的方程總綱目錄教材研讀1.直線的傾斜角考點突破2.直線的斜率3.直線方程的五種形式考點二考點二求直線方程考點一直線的傾斜角與斜率考點三考點三直線方程的綜合問題教材研讀教材研讀1.直線的傾斜角直線的傾斜角(1)定義(2)范圍:直線的傾斜角的取值范圍是0,).2.直線的斜率直線的斜率3.直線方程的五種形式直線方程的五種形式1.直線x-y+a=0的傾斜角為()A.30B.60C.150D.1203答案答案B設直線的傾斜角為,則tan=,0,),=60.33B2.過點M(-2,m),N(m,4)的直線的斜率等于1,則m的值為()A.1B.4C.1或3D.1或4答案答案A由題意知=1(m-2),解得m=1.42mmA3.如果AC0,且BC0,那么直線Ax+By+C=0不經(jīng)過()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限C答案答案C由Ax+By+C=0(B0),得y=-x-.AC0,BC0,-0,直線Ax+By+C=0經(jīng)過第一、二、四象限,故選C.ABCBABCB4.(2018北京東城期中,11)過點M(1,2)的直線l將圓(x-2)2+y2=9分成兩段弧,當其中的劣弧最短時,直線的方程是x-2y+3=0.答案答案x-2y+3=0解析解析由條件知M點在圓內,故當劣弧最短時,過點M與圓心的直線與直線l垂直,設圓心為O,則O(2,0),kOM=-2,所求直線的斜率k=,所求直線的方程為y-2=(x-1),即x-2y+3=0.201212125.若直線l:ax+y-2-a=0在x軸和y軸上的截距相等,則a的值為-2或或1.答案答案-2或1解析解析由題意可知a0.當x=0時,y=a+2.當y=0時,x=.=a+2,解得a=-2或a=1.2aa2aa考點一直線的傾斜角與斜率考點一直線的傾斜角與斜率考點突破考點突破典例典例1(1)直線xsin+y+2=0的傾斜角的范圍是()A.0,)B.C.D.(2)直線l過點P(1,0),且與以A(2,1),B(0,)為端點的線段有公共點,則直線l的斜率的取值范圍為.0,43,4 0,40,4,23答案答案(1)B(2)(-,-1,+)3解析解析(1)設直線的傾斜角為,則有tan=-sin,又sin-1,1,0,),所以0或.(2)如圖,kAP=1,kBP=-,直線l的斜率k(-,-1,+).434102 1300 133易錯警示易錯警示由直線傾斜角的取值范圍求斜率的取值范圍或由直線斜率的取值范圍求傾斜角的取值范圍時,常借助正切函數(shù)y=tanx在和上的單調性求解.應注意任何直線都有傾斜角,但不是所有直線都有斜率.當傾斜角為時,直線的斜率不存在.0,2,221-1若直線l與直線y=1,x=7分別交于點P,Q,且線段PQ的中點坐標為(1,-1),則直線l的斜率為()A.B.-C.-D.13133223答案答案B由直線l與直線y=1,x=7分別交于點P,Q,可設P(x1,1),Q(7,y1),結合線段PQ的中點坐標為(1,-1),可得x1=-5,y1=-3,即直線l上有兩點P(-5,1),Q(7,-3),可得直線l的斜率k=-.1357 13B1-2若將本例(2)中的“P(1,0)”改為“P(-1,0)”,則直線l的斜率的取值范圍是什么?解析解析P(-1,0),A(2,1),B(0,),kAP=,kBP=.如圖,可知直線l的斜率的取值范圍為.31 02( 1) 13300( 1) 31, 33典例典例2根據(jù)所給條件求直線的方程:(1)直線過點(-4,0),傾斜角的正弦值為;(2)直線過點(-3,4),且在兩坐標軸上的截距之和為12;(3)直線過點(5,10),且原點到該直線的距離為5.1010考點二求直線方程考點二求直線方程解析解析(1)由題設知,該直線的斜率存在,故可采用點斜式.設傾斜角為,則sin=(00;當k=0時,直線為y=1,符合題意.綜上,k的取值范圍是k0.(3)依題意得A,B(0,1+2k),且解得k0.20,10,xy2,1,xy 0,120,kk12,0kk120,120,kkkS=|OA|OB|=|1+2k|=(22+4)=4,“=”成立的條件是4k=,此時k=,Smin=4,此時l的方程為x-2y+4=0.121212kk122(12 )kk12144kk121k12規(guī)律總結規(guī)律總結直線方程的綜合問題的兩大類型及解法(1)與函數(shù)相結合的問題:一般是利用直線方程所表示的x與y的關系將問題轉化為關于x(或y)的函數(shù),借助函數(shù)的性質解決.(2)與方程、不等式相結合的問題:一般是利用方程、不等式的有關知識(如方程根的存在性及個數(shù),不等式的性質,基本不等式等)來解決.3-1過點P(4,1)作直線l,分別交x軸,y軸正半軸于A,B兩點.(1)當AOB的面積最小時,求直線l的方程;(2)當|OA|+|OB|取最小值時,求直線l的方程.解析解析設直線l:+=1(a0,b0),因為直線l經(jīng)過點P(4,1),所以+=1.(1)因為+=12=,所以ab16,當且僅當a=8,b=2時等號成立,所以當a=8,b=2時,AOB的面積最小,此時直線l的方程為+=1,即x+4y-8=0.(2)因為+=1,a0,b0,所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)=5+9,當且僅當a=6,b=3時等號成立,所以當|OA|+|OB|取最小值時,直線l的方程為x+2y-6=0.xayb4a1b4a1b4 1a b4ab8x2y4a1b41abab4ba