高中數學二輪總復習 專題2第7講 三角函數模型與解三角形的實際應用課件 理 新課標（湖南專用）

專題二 三角變換與平面向量、復數()sin()1yAwx三角函數是描述周期現象的數學模型高考中，單擺、彈簧振子、圓上一點的運動、以及音樂、波浪、潮汐、四季變化等周期性現象是新的命題背景新教材中增設了三角函數模型的簡單應用，且在課程標準中把“潮汐與港口水深”這一三角問題專門作為參考案例 在原來的教材中只有閱讀材料 ，教材中有幾處涉及三角函數在物理學科中的應用，如用函數的物理意義刻畫簡諧振動、交流電等，說明三角函數是描述周期變化現象的重要函數模型顯示重視三角函數實際應用的意圖()2融入三角形之中的實際問題也常出現這種題型既能考查解三角形的知識與方法，又能考查運用三角公式進行恒等變換的技能，故近年來備受命題者的青睞，主要解法是充分利用三角形的內角和定理、正 余弦定理、面積公式等，并結合三角公式進行三角變換，從而獲解一、三角函數圖象的應用例1已知某海濱浴場的海浪高度y(米)是時間t(0t24，單位：小時)的函數，記作y=f(t)下表是某日各時的浪高數據：經過長期觀測，y=f(t)的曲線可近似地看成是函數y=Acost+b的圖象 t(時)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5(1)根據以上數據，求出函數y=Acost+b的最小正周期T、振幅A及函數表達式；(2)依據規(guī)定，當海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放請根據(1)的結論，判斷一天內的上午8：00至晚上20：00之間，有多少時間可供沖浪愛好者進行運動？ 【分析】讀取與分析表中的數據，求得模型后，把第(2)問的情景轉化為一個簡單的三角函數不等式，再運用整體思想，借助函數的圖象或者單位圓可以求解 01.51.5311cos1.261222.126.01.1,201.0.51tyAbtybTbTAyt則由，得，由，得所以，所以振幅為所以由表中數據知解，周期，析： 1cos11cos0.22()123123()0240,1,203915212269 0015 004.8126620020 0062ZZyttkkkktkktktttt由題知，當 時才可對沖浪愛好者開放所以 ，所以所以，即 因為，故可令有 個小時時間可供沖浪中 分別為，得 或 或故在規(guī)定時間上午 ： 至者運動，即上午： 至晚上： 之間：，下午讀取與分析表中的數據，是求解此題的關鍵，也是一種數學思維能力的訓練，【點評】要加強二、解三角形的應用二、解三角形的應用點評點評 本題是解斜三角形的應用題，考查了余弦定理以，考查學生利用數學知識解決實際問題的能力 41262RABCDABADBCCDABCDRADDCABBCP長沙市某棚戶區(qū)改造建筑用地平面示意圖如圖所示經規(guī)劃調研確定，棚改規(guī)劃建筑用地區(qū)域近似地為半徑是 的圓面該圓面的內接四邊形是原棚戶建筑用地，測量可知邊界萬米，萬米，萬米請計算原棚戶區(qū)建筑用地的面積及圓面的半徑 的值；因地理條件的限制，邊界、不能變更，而邊界、可以調整，為了提高棚戶區(qū)改造建筑用地的利用率，請在弧上設計一3點例；使APCD得棚戶區(qū)改造的新建筑用地的面積最大，并求最大值 222222180 .462 4 6 cos422 2 4cos.1coscoscos.2(0 180 )60 .114 6 sin602 4 sin12022 1 ABCDABCDABCADCACACABCACADCABCADCABCABCABCS 四邊形因為四邊形內接于圓，所以連接，由余弦定理，又，所以解因為，故析： 8 3()萬平方米 2222cos116362 4 6282 7.222 74 2123322 21()3ABCACABBCAB BCABCACabRsinAsinBACRsinABCR 在中，由余弦定理，所以由正弦定理，所以，以萬米所 22222221sin1202 3.213sin60.242cos60 282228APCDADCAPCADCAPCSSSSAD CDAPxCPySxyxyACxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyS 四邊形四邊形因為，又設，則又由余弦定理，所以，所以，當且僅當時取等號所以332 32 3289449 3APCDxy ，所以最大面積為萬平方米本題主要考查三角形基礎知識，以及學生的識圖能力和綜合運用三角知識解決實際問題【點評】的能力 1.11303011106060(12)APBCDA在海島 上有一座海拔 千米的山，山頂設有一個觀察站 上午時，測得一輪船在島北偏東，俯角為的 處，到時 分又測得該船在島北偏西、俯角為的 處該船沿直線航行求船的航行速度；又經過一段時間后，船到達海島的正西方向的 處，問此時船距備選例題島：有多遠？ 2222Rt6013.3Rt30.3306090330333301362 30(/) 1 PABAPBPAABPACAPCACACBCABBCACAB如圖所示，在中，則在中，則在中，則，故船的航行速度解析：米為千小時 2906030sinsin(180)sin3 33101030sinsin(30 )sincos30cossin3033133 311010110.102210202 DACABDCAACBACBBCCDAACBACBACB，33 10993133310133 311020A ADACACDsin DCAsin CDAAC sin DCAADsin CDA在中，據正弦定理得，所以，即此時船距離島千米 本題主要考查三角形基礎知識，以及學生的識圖能力和綜合運用三角知識解決實際問題的【評】能力點1三角函數模型的常見應用三角函數能夠模擬許多周期現象，因此在解決實際問題時有著廣泛的應用如果某種變化著的現象具有周期性，那么它就可以借助三角函數來描述三角函數模型的常見類型有：(1)航海類問題：涉及方位角概念方位角指的是從指北方向順時針旋轉到目標方向線的水平角(2)涉及正、余弦定理與三角函數圖象有關的應用題.2010年全國高考有一解答題正是此類應用題(3)引進角為參數，利用三角函數的有關公式進行推理，解決最優(yōu)化問題，即求最值(4)三角函數在物理學中的應用2解三角形應用題的一般步驟：(1)讀懂題意，理解問題的實際背景，明確已知與所求，理清量與量之間的關系(2)根據題意畫出示意圖，將實際問題抽象成解三角形模型(3)正確選擇正、余弦定理求解(4)將三角形的解還原為實際問題的解，注意實際問題中的單位、近似計算的要求