全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版

1978年全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題一試題1已知y=log，問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí)，() y>0；() y<0？2已知tanx=2 (180°<x<270°)，求cos2x，cos的值3設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)，它在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸上較近的端點(diǎn)的距離是，求橢圓方程4已知方程2x29x+8=0，求作一個(gè)二次方程，使它的一個(gè)根為原方程兩根和的倒數(shù)，另一個(gè)根為原方程兩根差的平方5把半徑為1的四個(gè)小球疊成兩層放在桌面上：下層三個(gè)，上層一個(gè)，兩兩相切，求上層小球最高點(diǎn)離桌面的高度6如圖，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，從線段AB上的另一點(diǎn)C向直線AB的一側(cè)引線段CD，令線段CD的中點(diǎn)為N，BD的中點(diǎn)為P，MN的中點(diǎn)為Q，求證：直線PQ平分線段AC7證明：當(dāng)n、k都是給定的正整數(shù)，且n>2，k>2時(shí)，n(n1)k1可以寫(xiě)成n個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和8證明：頂點(diǎn)在單位圓上的銳角三角形的三個(gè)角的余弦的和小于該三角形的周長(zhǎng)之半9已知直線l1：y=4x和點(diǎn)P(6，4)，在直線l1上求一點(diǎn)Q，使過(guò)PQ的直線與直線l1以及x軸在第象限內(nèi)圍成三角形面積最小10求方程組的整數(shù)解二試題1四邊形兩組對(duì)邊延長(zhǎng)后分別相交，且交點(diǎn)的連線與四邊形的一條對(duì)角線平行，證明：另一條對(duì)角線的延長(zhǎng)線平分對(duì)邊交點(diǎn)連成的線段2 分解因式：x12+x9+x6+x3+1 證明：對(duì)于任意角度，都有5+8cos+4cos2+cos303設(shè)R為平面上以A(4，1)、B(1，6)、C(3，2)三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(包括三角形的邊界)試求當(dāng)(x，y)在R上變動(dòng)時(shí)，函數(shù)4x3y的極大值和極小值(須證明你的論斷)4設(shè)ABCD為任意給定的四邊形，邊AB、BC、CD、CA的中點(diǎn)分別為E、F、G、H，證明：四邊形ABCD的面積EGHF(AB+CD)· (AD+BC)5設(shè)有十人各拿提桶一只到水龍頭前打水，設(shè)水龍頭注滿第i(i=1，2，10)個(gè)人的提桶需時(shí)Ti分鐘，假定這些Ti各不相同，問(wèn)：() 當(dāng)只有一個(gè)水龍頭可用時(shí)，應(yīng)如何安排這十個(gè)人的次序，使你們的總的花費(fèi)時(shí)間(包括各人自己接水所花時(shí)間)為最少？這時(shí)間等于多少？(須證明你的論斷)() 當(dāng)有兩個(gè)水龍頭可用時(shí)，應(yīng)如何安排這十個(gè)人的次序，使你們的總的花費(fèi)時(shí)間為最少？這時(shí)間等于多少？(須證明你的論斷)6設(shè)有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，試在這個(gè)正方形的內(nèi)接正三角形中找出一個(gè)面積最大的和一個(gè)面積最小的，并求出這兩個(gè)面積(須證明你的論斷)1978年全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題解答一試題1已知y=log，問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí)，() y>0；() y<0？解：當(dāng)x>3時(shí)，y=log(x+3)， x+3>1Þx>2時(shí)，y>0； 0<x+3<1，Þ3<x<2時(shí)，y<02已知tanx=2 (180°<x<270°)，求cos2x，cos的值解：cos2x=；cosx=cos=3設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)，它在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸上較近的端點(diǎn)的距離是，求橢圓方程解：由已知c=b，故a=c，ac=(1)=c(1)， c=，a=所求橢圓方程為+=14已知方程2x29x+8=0，求作一個(gè)二次方程，使它的一個(gè)根為原方程兩根和的倒數(shù)，另一個(gè)根為原方程兩根差的平方解：設(shè)已知方程兩根為x1，x2，則x1+x2=，x1x2=4所求方程兩根為t1，t2，t1=，t2=(x1x2)2=(x1+x2)24x1x2=16= 所求方程為(x)(x)=0，即36x2161x+34=05把半徑為1的四個(gè)小球疊成兩層放在桌面上：下層三個(gè)，上層一個(gè)，兩兩相切，求上層小球最高點(diǎn)離桌面的高度解：邊長(zhǎng)為2的正四面體的高h(yuǎn)=故所求高度=1+1=2+6如圖，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，從線段AB上的另一點(diǎn)C向直線AB的一側(cè)引線段CD，令線段CD的中點(diǎn)為N，BD的中點(diǎn)為P，MN的中點(diǎn)為Q，求證：直線PQ平分線段AC證明：連NP，取AC中點(diǎn)O，則由于N、P分別為CD、BD中點(diǎn)，故NPAB，NP=BC=(ABAC)=AM=AO=OM NPMO為平行四邊形即PO經(jīng)過(guò)MN中點(diǎn)Q即直線PQ平分線段AC7證明：當(dāng)n、k都是給定的正整數(shù)，且n>2，k>2時(shí)，n(n1)k1可以寫(xiě)成n個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和解：設(shè)開(kāi)始的一個(gè)偶數(shù)為2m，則此n個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和為(2m+2m+2n2)×n÷2=n(2m+n1)令n(n1)k1= n(2m+n1)，則(n1)k1(n1)=2m無(wú)論n為偶數(shù)還是奇數(shù)，(n1)k1(n1)均為偶數(shù)，故m=(n1)k1(n1)為整數(shù) 從(n1)k1(n1)開(kāi)始的連續(xù)n個(gè)偶數(shù)的和等于n(n1)k1由于n、k給定，故(n1)k1(n1)確定故證8證明：頂點(diǎn)在單位圓上的銳角三角形的三個(gè)角的余弦的和小于該三角形的周長(zhǎng)之半解：設(shè)此三角形三個(gè)角為A、B、C，則其三邊長(zhǎng)分別為2sinA，2sinB，2sinC本題即證明 cosA+cosB+cosC<sinA+sinB+sinC由于AB>90°，故90°>A>90°B>0，ÞsinA>sin(90°B)=cosB，同理，sinB>cosC，sinC>cosA，三式相加，即得證9已知直線l1：y=4x和點(diǎn)P(6，4)，在直線l1上求一點(diǎn)Q，使過(guò)PQ的直線與直線l1以及x軸在第象限內(nèi)圍成三角形面積最小解：設(shè)Q(a，4a)，(a>1)則直線PQ方程為y4=(x6)，令y=0，得x=6= S=··4a=10(a+1+)=10(a1+2)10(2+2)=40當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)S取得最小值即所求點(diǎn)為Q(2，8)10求方程組的整數(shù)解解：x3y3z33xyz=(xyz)(x2y2z2xyyzzx)=0，故xyz=6故x=3，y=1，z=2，等共6組解二試題1四邊形兩組對(duì)邊延長(zhǎng)后分別相交，且交點(diǎn)的連線與四邊形的一條對(duì)角線平行，證明：另一條對(duì)角線的延長(zhǎng)線平分對(duì)邊交點(diǎn)連成的線段證明：如圖所示，BDEF，作BGED交AC于G，則=，從而GDBC，即BCDG為平行四邊形P為BD中點(diǎn)，從而Q為EF中點(diǎn)2 分解因式：x12+x9+x6+x3+1 證明：對(duì)于任意角度，都有5+8cos+4cos2+cos30解：令=cosisin (x31)( x12+x9+x6+x3+1)=x151=(xk)而x31=(x1)(x5)(x10)故x12+x9+x6+x3+1=(xk) 令x=cos，則5+8cos+4cos2+cos3=5+8x+4(2x21)+4x33x=4x3+8x2+5x+1=(x+1)(2x+1)20在x1時(shí)成立3設(shè)R為平面上以A(4，1)、B(1，6)、C(3，2)三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(包括三角形的邊界)試求當(dāng)(x，y)在R上變動(dòng)時(shí)，函數(shù)4x3y的極大值和極小值(須證明你的論斷)解：令4x3y=t，則此直線在x軸上的截距即為t分別以A、B、C的值代入，得相應(yīng)的t=13，14，18即4x3y的極大值為14，極小值為184設(shè)ABCD為任意給定的四邊形，邊AB、BC、CD、CA的中點(diǎn)分別為E、F、G、H，證明：四邊形ABCD的面積EGHF(AB+CD) (AD+BC)證明：連EF、FG、GH、HE，取BD中點(diǎn)P，連EP、PG易證S四邊形EFGH=S四邊形ABCD而S四邊形EFGH=EGHFsinEOFEGHF但EP=AD，PG=BCEP+PGEG，故 (AD+BC)EG，同理，(AB+CD)HF故EGHF(AB+CD) (AD+BC)，從而，四邊形ABCD的面積EGHF(AB+CD) (AD+BC)5設(shè)有十人各拿提桶一只到水龍頭前打水，設(shè)水龍頭注滿第i(i=1，2，10)個(gè)人的提桶需時(shí)Ti分鐘，假定這些Ti各不相同，問(wèn)：() 當(dāng)只有一個(gè)水龍頭可用時(shí)，應(yīng)如何安排這十個(gè)人的次序，使你們的總的花費(fèi)時(shí)間(包括各人自己接水所花時(shí)間)為最少？這時(shí)間等于多少？(須證明你的論斷)() 當(dāng)有兩個(gè)水龍頭可用時(shí)，應(yīng)如何安排這十個(gè)人的次序，使你們的總的花費(fèi)時(shí)間為最少？這時(shí)間等于多少？(須證明你的論斷)解：當(dāng)只有1個(gè)水龍頭可用時(shí)，所需時(shí)間為10T1+9T2+8T3+T10，若當(dāng)1i<j10時(shí)，Ti>Tj，則其余人不動(dòng)，交換第i個(gè)人與第j個(gè)人的次序，則所需時(shí)間改變量10T1+(11i)Ti+(11j)Tj+T10(10T1+(11i)Tj+(11j)Ti+)=(11i)(TiTj)+(11j)(TjTi)=(TjTi)(ij)>0即這樣交換后，所需時(shí)間變少 應(yīng)使注滿桶所需的時(shí)間少的人先注水不妨設(shè)T1<T2<<T10，則所需時(shí)間為10T1+9T2+8T3+T10 設(shè)T1<T2<<T10，則安排T1、T3、T5、T7、T9在一個(gè)龍頭，T2、T4、T6、T8、T10在另一個(gè)龍頭且注水時(shí)間短的先注水這樣，共需時(shí)間5(T1+T2)+4(T3+T4)+3(T5+T6)+2(T7+T8)+(T9+T10)6設(shè)有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，試在這個(gè)正方形的內(nèi)接正三角形中找出一個(gè)面積最大的和一個(gè)面積最小的，并求出這兩個(gè)面積(須證明你的論斷)解：如圖，設(shè)EFG是正方形ABCD的一個(gè)內(nèi)接正三角形且E、F分別在一組對(duì)邊AD、BC上，取EF中點(diǎn)M，連MG則GME=GAE=90°，于是A、G、M、E四點(diǎn)共圓 MAG=MEG=60°，同理，MBG=60°，即MAB為正三角形于是M為定點(diǎn)，故1=ABEFABsec15°= SEFG23