《全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版（4頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、1978年全國高中數(shù)學(xué)競賽題一試題1已知y=log，問當(dāng)x為何值時，() y0；() y0？2已知tanx=2 (180x2，k2時，n(n1)k1可以寫成n個連續(xù)偶數(shù)的和8證明：頂點在單位圓上的銳角三角形的三個角的余弦的和小于該三角形的周長之半9已知直線l1：y=4x和點P(6，4)，在直線l1上求一點Q，使過PQ的直線與直線l1以及x軸在第象限內(nèi)圍成三角形面積最小10求方程組的整數(shù)解二試題1四邊形兩組對邊延長后分別相交，且交點的連線與四邊形的一條對角線平行，證明：另一條對角線的延長線平分對邊交點連成的線段2 分解因式：x12+x9+x6+x3+1 證明：對于任意角度，都有5+8cos+4c
2、os2+cos303設(shè)R為平面上以A(4，1)、B(1，6)、C(3，2)三點為頂點的三角形區(qū)域(包括三角形的邊界)試求當(dāng)(x，y)在R上變動時，函數(shù)4x3y的極大值和極小值(須證明你的論斷)4設(shè)ABCD為任意給定的四邊形，邊AB、BC、CD、CA的中點分別為E、F、G、H，證明：四邊形ABCD的面積EGHF(AB+CD) (AD+BC)5設(shè)有十人各拿提桶一只到水龍頭前打水，設(shè)水龍頭注滿第i(i=1，2，10)個人的提桶需時Ti分鐘，假定這些Ti各不相同，問：() 當(dāng)只有一個水龍頭可用時，應(yīng)如何安排這十個人的次序，使你們的總的花費時間(包括各人自己接水所花時間)為最少？這時間等于多少？(須證明
3、你的論斷)() 當(dāng)有兩個水龍頭可用時，應(yīng)如何安排這十個人的次序，使你們的總的花費時間為最少？這時間等于多少？(須證明你的論斷)6設(shè)有一個邊長為1的正方形，試在這個正方形的內(nèi)接正三角形中找出一個面積最大的和一個面積最小的，并求出這兩個面積(須證明你的論斷)1978年全國高中數(shù)學(xué)競賽題解答一試題1已知y=log，問當(dāng)x為何值時，() y0；() y3時，y=log(x+3)， x+31x2時，y0； 0x+31，3x2時，y02已知tanx=2 (180x2，k2時，n(n1)k1可以寫成n個連續(xù)偶數(shù)的和解：設(shè)開始的一個偶數(shù)為2m，則此n個連續(xù)偶數(shù)的和為(2m+2m+2n2)n2=n(2m+n1)
4、令n(n1)k1= n(2m+n1)，則(n1)k1(n1)=2m無論n為偶數(shù)還是奇數(shù)，(n1)k1(n1)均為偶數(shù)，故m=(n1)k1(n1)為整數(shù) 從(n1)k1(n1)開始的連續(xù)n個偶數(shù)的和等于n(n1)k1由于n、k給定，故(n1)k1(n1)確定故證8證明：頂點在單位圓上的銳角三角形的三個角的余弦的和小于該三角形的周長之半解：設(shè)此三角形三個角為A、B、C，則其三邊長分別為2sinA，2sinB，2sinC本題即證明 cosA+cosB+cosC90，故90A90B0，sinAsin(90B)=cosB，同理，sinBcosC，sinCcosA，三式相加，即得證9已知直線l1：y=4x
5、和點P(6，4)，在直線l1上求一點Q，使過PQ的直線與直線l1以及x軸在第象限內(nèi)圍成三角形面積最小解：設(shè)Q(a，4a)，(a1)則直線PQ方程為y4=(x6)，令y=0，得x=6= S=4a=10(a+1+)=10(a1+2)10(2+2)=40當(dāng)且僅當(dāng)a=2時S取得最小值即所求點為Q(2，8)10求方程組的整數(shù)解解：x3y3z33xyz=(xyz)(x2y2z2xyyzzx)=0，故xyz=6故x=3，y=1，z=2，等共6組解二試題1四邊形兩組對邊延長后分別相交，且交點的連線與四邊形的一條對角線平行，證明：另一條對角線的延長線平分對邊交點連成的線段證明：如圖所示，BDEF，作BGED交A
6、C于G，則=，從而GDBC，即BCDG為平行四邊形P為BD中點，從而Q為EF中點2 分解因式：x12+x9+x6+x3+1 證明：對于任意角度，都有5+8cos+4cos2+cos30解：令=cosisin (x31)( x12+x9+x6+x3+1)=x151=(xk)而x31=(x1)(x5)(x10)故x12+x9+x6+x3+1=(xk) 令x=cos，則5+8cos+4cos2+cos3=5+8x+4(2x21)+4x33x=4x3+8x2+5x+1=(x+1)(2x+1)20在x1時成立3設(shè)R為平面上以A(4，1)、B(1，6)、C(3，2)三點為頂點的三角形區(qū)域(包括三角形的邊界
7、)試求當(dāng)(x，y)在R上變動時，函數(shù)4x3y的極大值和極小值(須證明你的論斷)解：令4x3y=t，則此直線在x軸上的截距即為t分別以A、B、C的值代入，得相應(yīng)的t=13，14，18即4x3y的極大值為14，極小值為184設(shè)ABCD為任意給定的四邊形，邊AB、BC、CD、CA的中點分別為E、F、G、H，證明：四邊形ABCD的面積EGHF(AB+CD) (AD+BC)證明：連EF、FG、GH、HE，取BD中點P，連EP、PG易證S四邊形EFGH=S四邊形ABCD而S四邊形EFGH=EGHFsinEOFEGHF但EP=AD，PG=BCEP+PGEG，故 (AD+BC)EG，同理，(AB+CD)HF故
8、EGHF(AB+CD) (AD+BC)，從而，四邊形ABCD的面積EGHF(AB+CD) (AD+BC)5設(shè)有十人各拿提桶一只到水龍頭前打水，設(shè)水龍頭注滿第i(i=1，2，10)個人的提桶需時Ti分鐘，假定這些Ti各不相同，問：() 當(dāng)只有一個水龍頭可用時，應(yīng)如何安排這十個人的次序，使你們的總的花費時間(包括各人自己接水所花時間)為最少？這時間等于多少？(須證明你的論斷)() 當(dāng)有兩個水龍頭可用時，應(yīng)如何安排這十個人的次序，使你們的總的花費時間為最少？這時間等于多少？(須證明你的論斷)解：當(dāng)只有1個水龍頭可用時，所需時間為10T1+9T2+8T3+T10，若當(dāng)1iTj，則其余人不動，交換第i個
9、人與第j個人的次序，則所需時間改變量10T1+(11i)Ti+(11j)Tj+T10(10T1+(11i)Tj+(11j)Ti+)=(11i)(TiTj)+(11j)(TjTi)=(TjTi)(ij)0即這樣交換后，所需時間變少 應(yīng)使注滿桶所需的時間少的人先注水不妨設(shè)T1T2T10，則所需時間為10T1+9T2+8T3+T10 設(shè)T1T2T10，則安排T1、T3、T5、T7、T9在一個龍頭，T2、T4、T6、T8、T10在另一個龍頭且注水時間短的先注水這樣，共需時間5(T1+T2)+4(T3+T4)+3(T5+T6)+2(T7+T8)+(T9+T10)6設(shè)有一個邊長為1的正方形，試在這個正方形的內(nèi)接正三角形中找出一個面積最大的和一個面積最小的，并求出這兩個面積(須證明你的論斷)解：如圖，設(shè)EFG是正方形ABCD的一個內(nèi)接正三角形且E、F分別在一組對邊AD、BC上，取EF中點M，連MG則GME=GAE=90，于是A、G、M、E四點共圓 MAG=MEG=60，同理，MBG=60，即MAB為正三角形于是M為定點，故1=ABEFABsec15= SEFG23
全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版
