全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版12

1992年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試卷第一試一、選擇題(每小題5分，共30分)1對于每個自然數(shù)n，拋物線y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1與x軸交于An，Bn兩點，以|AnBn|表示該兩點的距離，則|A1B1|+|A2B2|+L+|A1992B1992|的值是( ) (A) (B) (C) (D) 2已知如圖的曲線是以原點為圓心，1為半徑的圓的一部分，則這一曲線的方程是( ) (A)(x+)(y+)=0 (B)(x-)(y-)=0 (C)(x+)(y-)=0 (D)(x-)(y+)=03設(shè)四面體四個面的面積分別為S1，S2，S3，S4，它們的最大值為S，記=(Si)/S，則一定滿足( ) (A)2<4 (B)3<<4 (C)2.5<4.5 (D)3.5<4在ABC中，角A，B，C的對邊分別記為a，b，c(b¹1)，且，都是方程logx=logb(4x4)的根，則ABC( ) (A)是等腰三角形，但不是直角三角形 (B)是直角三角形，但不是等腰三角形 (C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形，也不是直角三角形5設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面上對應(yīng)的點分別為A，B，且|z1|=4，4z12-2z1z2+z22=0，O為坐標原點，則OAB的面積為( ) (A)8 (B)4 (C)6 (D)126設(shè)f(x)是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，且滿足下列關(guān)系f(10+x)=f(10-x)， f(20-x)=-f(20+x)，則f(x)是(A)偶函數(shù)，又是周期函數(shù) (B)偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)(C)奇函數(shù)，又是周期函數(shù) (D)奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)二、填空題(每小題5分共30分)1設(shè)x，y，z是實數(shù)，3x，4y，5z成等比數(shù)列，且，成等差數(shù)列，則+的值是_2在區(qū)間0，p中，三角方程cos7x=cos5x的解的個數(shù)是_3從正方體的棱和各個面上的對角線中選出k條，使得其中任意兩條線段所在的直線都是異面直線，則k的最大值是_4設(shè)z1，z2都是復(fù)數(shù)，且|z1|=3，|z2|=5|z1+z2|=7，則arg()3的值是_5設(shè)數(shù)列a1，a2，L，an，L滿足a1=a2=1，a3=2，且對任何自然數(shù)n， 都有anan+1an+2¹1，又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，則a1+a2+L+a100的值是_6函數(shù)f(x)= 的最大值是_三、(20分)求證：16<<17四、(20分)設(shè)l，m是兩條異面直線，在l上有A，B，C三點，且AB=BC，過A，B，C分別作m的垂線AD，BE，CF，垂足依次是D，E，F(xiàn)，已知AD=，BE=CF=，求l與m的距離五、(20分)設(shè)n是自然數(shù)，fn(x)= (x¹0，±1)，令y=x+ 1.求證:fn+1(x)=yfn(x)-fn-1(x)，(n>1) 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明： fn(x)= 第二試一、(35分) 設(shè)A1A2A3A4為O的內(nèi)接四邊形，H1、H2、H3、H4依次為A2A3A4、A3A4A1、A4A1A2、A1A2A3的垂心求證：H1、H2、H3、H4四點在同一個圓上，并定出該圓的圓心位置 二、(35分) 設(shè)集合Sn=1,2,L,n若X是Sn的子集，把X中所有數(shù)的和稱為X的“容量”(規(guī)定空集的容量為0)，若X的容量為奇(偶)數(shù)，則稱X為的奇(偶)子集 1求證Sn的奇子集與偶子集個數(shù)相等 2求證：當(dāng)n3時，Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和 3當(dāng)n3時，求Sn的所有奇子集的容量之和三、(35分)在平面直角坐標系中，橫坐標和縱坐標都是整數(shù)的點稱為格點，任取6個格點Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)滿足 (1) |xi|2,|yi|2,(i=1,2,3,4,5,6)，(2) 任何三點不在同一條直線上試證：在以Pi(i=1,2,3,4,5,6)為頂點的所有三角形中，必有一個三角形，它的面積不大于21992年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽解答第一試一、選擇題(每小題5分，共30分)1對于每個自然數(shù)n，拋物線y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1與x軸交于An，Bn兩點，以|AnBn|表示該兩點的距離，則|A1B1|+|A2B2|+L+|A1992B1992|的值是( ) (A) (B) (C) (D) 解：y=(n+1)x1)(nx1)， |AnBn|=，于是|A1B1|+|A2B2|+L+|A1992B1992|=，選B2已知如圖的曲線是以原點為圓心，1為半徑的圓的一部分，則這一曲線的方程是( ) (A)(x+)(y+)=0 (B)(x-)(y-)=0 (C)(x+)(y-)=0 (D)(x-)(y+)=0解：(x-)=0表示y軸右邊的半圓，(y+)=0表示x軸下方的半圓，故選D3設(shè)四面體四個面的面積分別為S1，S2，S3，S4，它們的最大值為S，記=(Si)/S，則一定滿足( ) (A)2<4 (B)3<<4 (C)2.5<4.5 (D)3.5<解： Si4S，故Si4，又當(dāng)與最大面相對的頂點向此面無限接近時，Si接近2S，故選A4在ABC中，角A，B，C的對邊分別記為a，b，c(b¹1)，且，都是方程logx=logb(4x4)的根，則ABC( ) (A)是等腰三角形，但不是直角三角形 (B)是直角三角形，但不是等腰三角形 (C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形，也不是直角三角形解：x2=4x4根為x=2 C=2A，ÞB=180°3A，sinB=2sinAÞsin3A=2sinA，Þ34sin2A=2A=30°，C=60°，B=90°選B 5設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面上對應(yīng)的點分別為A，B，且|z1|=4，4z12-2z1z2+z22=0，O為坐標原點，則OAB的面積為( ) (A)8 (B)4 (C)6 (D)12解：=cos±isin |z2|=8，z1、z2的夾角=60°S=·4·8·=8選A6設(shè)f(x)是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，且滿足下列關(guān)系f(10+x)=f(10-x)， f(20-x)=-f(20+x)，則f(x)是(A)偶函數(shù)，又是周期函數(shù) (B)偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)(C)奇函數(shù)，又是周期函數(shù) (D)奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)解：f(20x)=f10+(10x)=f10(10x)=f(x)=f(20+x) f(40+x)=f20+(20+x)=f(20+x)=f(x) 是周期函數(shù)； f(x)=f(40x)=f(20+(20x)=f(20(20x)=f(x) 是奇函數(shù)選C二、填空題(每小題5分共30分)1設(shè)x，y，z是實數(shù)，3x，4y，5z成等比數(shù)列，且，成等差數(shù)列，則+的值是_ 解：16y2=15xz，y=，Þ16·4x2z2=15xz(x+z)2由xz0，得=，Þ+=2在區(qū)間0，p中，三角方程cos7x=cos5x的解的個數(shù)是 解：7x=5x+2k，或7x=5x+2k，(kZ)Þx=k，x=k (kZ)，共有7解3從正方體的棱和各個面上的對角線中選出k條，使得其中任意兩條線段所在的直線都是異面直線，則k的最大值是 解：正方體共有8個頂點，若選出的k條線兩兩異面，則不能共頂點，即至多可選出4條，又可以選出4條兩兩異面的線(如圖)，故所求k的最大值=44設(shè)z1，z2都是復(fù)數(shù)，且|z1|=3，|z2|=5|z1+z2|=7，則arg()3的值是_解：cosOZ1Z3=即OZ1Z3=120°， arg()=或 arg()3=5設(shè)數(shù)列a1，a2，L，an，L滿足a1=a2=1，a3=2，且對任何自然數(shù)n， 都有anan+1an+2¹1，又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，則a1+a2+L+a100的值是_.解：anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4，相減，得anan+1an+2(a4an)=an+4an，由anan+1an+2¹1，得an+4=an又，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，a1=a2=1，a3=2，得a4=4 a1+a2+L+a100=25(1+1+2+4)=2006函數(shù)f(x)= 的最大值是_解：f(x)= ，表示點(x，x2)與點A(3，2)的距離及B(0，1)距離差的最大值由于此二點在拋物線兩側(cè)，故過此二點的直線必與拋物線交于兩點對于拋物線上任意一點，到此二點距離之差大于|AB|=即所求最小值為三、(20分)求證：16<<17證明：=<=2()，同時>=2()于是得2()<<1+2()即 16<<1+2(1)<1+2(91)=17四、(20分)設(shè)l，m是兩條異面直線，在l上有A，B，C三點，且AB=BC，過A，B，C分別作m的垂線AD，BE，CF，垂足依次是D，E，F(xiàn)，已知AD=，BE=CF=，求l與m的距離解：過m作平面l，作AP于P，AP與l確定平面，=l¢，l¢m=K作BQ，CR，垂足為Q、R，則Q、Rl¢，且AP=BQ=CR=l與m的距離d 連PD、QE、RF，則由三垂線定理之逆，知PD、QE、RF都m PD=，QE=，RF=當(dāng)D、E、F在K同側(cè)時2QE=PD+RF，Þ=+解之得d=當(dāng)D、E、F不全在K同側(cè)時2QE=PDRF，Þ=無實解 l與m距離為五、(20分)設(shè)n是自然數(shù)，fn(x)= (x¹0，±1)，令y=x+ 1.求證:fn+1(x)=yfn(x)-fn1(x)，(n>1) 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明： fn(x)=證明： 由yfn(x)-fn1(x)= =fn+1(x)故證 f1(x)= x+，f2(x)=x2+1+x2=(x+)21=y21故命題對n=1，2 成立設(shè)對于nm(m2，m為正整數(shù))，命題成立，現(xiàn)證命題對于n=m+1成立1 若m為偶數(shù)，則m+1為奇數(shù)由歸納假設(shè)知，對于n=m及n=m1，有fm(x)= ymCym2+C ym4+(1)iCym2i+(1)Cy fm1(x)= ym1Cym3+(1)i1Cym+12i+(1)·Cy yfm(x)fm1(x)=ym+1+(1)i(C+C)ym+12i+(1)(C+C)y = ym+1Cym1+(1)iCym+12i+(1)·Cy即命題對n=m+1成立2若m為奇數(shù)，則m+1為偶數(shù)，由歸納假設(shè)知，對于n=m及n=m1，有fm(x)= ym1Cym2+(1)i·Cym2i+(1)·C y fm1(x)= ym1Cym3+(1)i1Cym+12i+(1)C 用y乘減去，同上合并，并注意最后一項常數(shù)項為(1)C=(1)C=(1)于是得到y(tǒng)fm(x)fm1(x)=ym+1Cm1ym1+(1)，即仍有對于n=m+1，命題成立綜上所述，知對于一切正整數(shù)n，命題成立第二試一、(35分) 設(shè)A1A2A3A4為O的內(nèi)接四邊形，H1、H2、H3、H4依次為A2A3A4、A3A4A1、A4A1A2、A1A2A3的垂心求證：H1、H2、H3、H4四點在同一個圓上，并定出該圓的圓心位置 證明：連A2H1，A1H2，取A3A4的中點M，連OM，由上證知A2H1OM，A2H1=2OM，A1H2OM， A1H2=2OM，從而H1H2A1A2是平行四邊形，故H1H2A1A2 ，H1H2=A1A2同理可知，H2H3A2A3，H2H3=A2A3； H3H4A3A4，H3H4=A3A4； H4H1A4A1，H4H1=A4A1故 四邊形A1A2A3A4四邊形H1H2H3H4由四邊形A1A2A3A4有外接圓知，四邊形H1H2H3H4也有外接圓取H3H4的中點M1，作M1O1H3H4，且M1O1=MO，則點O1即為四邊形H1H2H3H4的外接圓圓心又證：以O(shè)為坐標原點，O的半徑為長度單位建立直角坐標系，設(shè)OA1、OA2、OA3、OA4與OX正方向所成的角分別為、d，則點A1、A2、A3、A4的坐標依次是(cos，sin)、(cos，sin)、(cos，sin)、(cosd，sind)顯然，A2A3A4、A3A4A1、A4A1A2、A1A2A3的外心都是點O，而它們的重心依次是(cos+cos+cosd)，(sin+sin+sind)、(cos+cosd+cos)，(sin+sind+sin)、(cosd+cos+cos)，(sind+sin+sin)、(cos+cos+cos)，(sin+sin+sin)從而，A2A3A4、A3A4A1、A4A1A2、A1A2A3的垂心依次是H1(cos+cos+cosd， sin+sin+sind)、H 2 (cos+cosd+cos，sin+sind+sin)、H 3 (cosd+cos+cos，sind+sin+sin)、H 4 (cos+cos+cos，sin+sin+sin)而H1、H2、H3、H4點與點O1(cos+cos+cos+cosd，sin+sin+sin+sind)的距離都等于1，即H1、H2、H3、H4四點在以O(shè)1為圓心，1為半徑的圓上證畢二、(35分)設(shè)集合Sn=1,2,L,n若X是Sn的子集，把X中所有數(shù)的和稱為X的“容量”(規(guī)定空集的容量為0)，若X的容量為奇(偶)數(shù)，則稱X為的奇(偶)子集 1求證Sn的奇子集與偶子集個數(shù)相等 2求證：當(dāng)n3時，Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和 3當(dāng)n3時，求Sn的所有奇子集的容量之和證明： 對于Sn的每個奇子集A，當(dāng)1A時，取B=A1，當(dāng)1ÏA時，取B=A1，則B為Sn的偶子集.反之，若B為Sn的偶子集，當(dāng)1B時，取A=B1，當(dāng)1ÏB時，取A=B1，于是在Sn的奇子集與偶子集之間建立了一個一一對應(yīng)，故Sn的奇子集與偶子集的個數(shù)相等. 對于任一iSn，i>1，含i的Sn的子集共有2n-1個，其中必有一半是奇子集，一半是偶子集，從而每個數(shù)i，在奇子集的和與偶子集的和中，i所占的個數(shù)是一樣的.而對于元素1，只要把Sn的所有子集按是否含有3配對(即在上證中把1換成3來證)，于是也可知1Sn的所有奇子集的容量的和，與所有偶子集的容量的和相等. 由于每個元素在奇子集中都出現(xiàn)2n-2次，故奇子集的容量和=(1+2+3+n)×2n-2=n(n+1)×2n-3三、(35分) 在平面直角坐標系中，任取6個格點Pi(xi，yi)(i=1，2，3，4，5，6)滿足： |xi|2，|yi|2(i=1，2，3，4，5，6)； 任何三點不在一條直線上試證明：在以Pi(i=1，2，3，4，5，6)為頂點的所有三角形中，必有一個三角形的面積不大于2證明 如圖，滿足條件的格點只能是圖中A、B、Y這25個格點中的6個把這25個格點分成三個矩形：矩形AEFJ、KOWU、MNYX若所取的6個點中有三個點在上述三個矩形中的某一個中，則此三點即滿足要求若三個矩形中均無所取6點中的3點，則必是每個矩形中有所取的2個點 若E、F、D、G、O、R、W中有所取的點，則此點與矩形MNYX中的兩點滿足要求； 若上述7點均未取，則A、B、C、H、I、J中必有兩點，此時若L、K中有所取的點，則亦有三點滿足要求； 若L、K亦未取，則必在P、Q、V、U中取了2點，矩形ACHJ中取了2點：此時取P、Q兩點，或Q、V兩點，或V、U兩點，或U、P兩點，或Q、U兩點，則無論ACHJ中取任一點，與之組成三角形面積均滿足要求若取P、V兩點，則矩形ACHJ中必有一點異于C，取此點與P、V滿足要求綜上可知，必有滿足要求的3點存在