全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版12

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1、1992年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試卷第一試一、選擇題(每小題5分，共30分)1對(duì)于每個(gè)自然數(shù)n，拋物線y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1與x軸交于An，Bn兩點(diǎn)，以|AnBn|表示該兩點(diǎn)的距離，則|A1B1|+|A2B2|+L+|A1992B1992|的值是( ) (A) (B) (C) (D) 2已知如圖的曲線是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓的一部分，則這一曲線的方程是( ) (A)(x+)(y+)=0 (B)(x-)(y-)=0 (C)(x+)(y-)=0 (D)(x-)(y+)=03設(shè)四面體四個(gè)面的面積分別為S1，S2，S3，S4，它們的最大值為S，記=(Si)/S，則一定滿(mǎn)足( ) (A)

2、24 (B)34 (C)2.54.5 (D)3.54在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別記為a，b，c(b1)，且，都是方程logx=logb(4x4)的根，則ABC( ) (A)是等腰三角形，但不是直角三角形 (B)是直角三角形，但不是等腰三角形 (C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形，也不是直角三角形5設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，且|z1|=4，4z12-2z1z2+z22=0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OAB的面積為( ) (A)8 (B)4 (C)6 (D)126設(shè)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，且滿(mǎn)足下列關(guān)系f(10+x)=f(10-x)， f(20-x)=-f(20

3、+x)，則f(x)是(A)偶函數(shù)，又是周期函數(shù) (B)偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)(C)奇函數(shù)，又是周期函數(shù) (D)奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)二、填空題(每小題5分共30分)1設(shè)x，y，z是實(shí)數(shù)，3x，4y，5z成等比數(shù)列，且，成等差數(shù)列，則+的值是_2在區(qū)間0，p中，三角方程cos7x=cos5x的解的個(gè)數(shù)是_3從正方體的棱和各個(gè)面上的對(duì)角線中選出k條，使得其中任意兩條線段所在的直線都是異面直線，則k的最大值是_4設(shè)z1，z2都是復(fù)數(shù)，且|z1|=3，|z2|=5|z1+z2|=7，則arg()3的值是_5設(shè)數(shù)列a1，a2，L，an，L滿(mǎn)足a1=a2=1，a3=2，且對(duì)任何自然數(shù)n， 都有anan+1

4、an+21，又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，則a1+a2+L+a100的值是_6函數(shù)f(x)= 的最大值是_三、(20分)求證：161) 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明： fn(x)= 第二試一、(35分) 設(shè)A1A2A3A4為O的內(nèi)接四邊形，H1、H2、H3、H4依次為A2A3A4、A3A4A1、A4A1A2、A1A2A3的垂心求證：H1、H2、H3、H4四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，并定出該圓的圓心位置 二、(35分) 設(shè)集合Sn=1,2,L,n若X是Sn的子集，把X中所有數(shù)的和稱(chēng)為X的“容量”(規(guī)定空集的容量為0)，若X的容量為奇(偶)數(shù)，則稱(chēng)X為的奇(偶)子集 1求證Sn

5、的奇子集與偶子集個(gè)數(shù)相等 2求證：當(dāng)n3時(shí)，Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和 3當(dāng)n3時(shí)，求Sn的所有奇子集的容量之和三、(35分)在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，任取6個(gè)格點(diǎn)Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)滿(mǎn)足 (1) |xi|2,|yi|2,(i=1,2,3,4,5,6)，(2) 任何三點(diǎn)不在同一條直線上試證：在以Pi(i=1,2,3,4,5,6)為頂點(diǎn)的所有三角形中，必有一個(gè)三角形，它的面積不大于21992年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽解答第一試一、選擇題(每小題5分，共30分)1對(duì)于每個(gè)自然數(shù)n，拋物線y=(n2+n)x2-(2n+1)x+

6、1與x軸交于An，Bn兩點(diǎn)，以|AnBn|表示該兩點(diǎn)的距離，則|A1B1|+|A2B2|+L+|A1992B1992|的值是( ) (A) (B) (C) (D) 解：y=(n+1)x1)(nx1)， |AnBn|=，于是|A1B1|+|A2B2|+L+|A1992B1992|=，選B2已知如圖的曲線是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓的一部分，則這一曲線的方程是( ) (A)(x+)(y+)=0 (B)(x-)(y-)=0 (C)(x+)(y-)=0 (D)(x-)(y+)=0解：(x-)=0表示y軸右邊的半圓，(y+)=0表示x軸下方的半圓，故選D3設(shè)四面體四個(gè)面的面積分別為S1，S2，S3，S4

7、，它們的最大值為S，記=(Si)/S，則一定滿(mǎn)足( ) (A)24 (B)34 (C)2.54.5 (D)3.5解： Si4S，故Si4，又當(dāng)與最大面相對(duì)的頂點(diǎn)向此面無(wú)限接近時(shí)，Si接近2S，故選A4在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別記為a，b，c(b1)，且，都是方程logx=logb(4x4)的根，則ABC( ) (A)是等腰三角形，但不是直角三角形 (B)是直角三角形，但不是等腰三角形 (C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形，也不是直角三角形解：x2=4x4根為x=2 C=2A，B=1803A，sinB=2sinAsin3A=2sinA，34sin2A=2A=30，C=60，B=9

8、0選B 5設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，且|z1|=4，4z12-2z1z2+z22=0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OAB的面積為( ) (A)8 (B)4 (C)6 (D)12解：=cosisin |z2|=8，z1、z2的夾角=60S=48=8選A6設(shè)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，且滿(mǎn)足下列關(guān)系f(10+x)=f(10-x)， f(20-x)=-f(20+x)，則f(x)是(A)偶函數(shù)，又是周期函數(shù) (B)偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)(C)奇函數(shù)，又是周期函數(shù) (D)奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)解：f(20x)=f10+(10x)=f10(10x)=f(x)=f(20+x) f(40+x)

9、=f20+(20+x)=f(20+x)=f(x) 是周期函數(shù)； f(x)=f(40x)=f(20+(20x)=f(20(20x)=f(x) 是奇函數(shù)選C二、填空題(每小題5分共30分)1設(shè)x，y，z是實(shí)數(shù)，3x，4y，5z成等比數(shù)列，且，成等差數(shù)列，則+的值是_ 解：16y2=15xz，y=，164x2z2=15xz(x+z)2由xz0，得=，+=2在區(qū)間0，p中，三角方程cos7x=cos5x的解的個(gè)數(shù)是 解：7x=5x+2k，或7x=5x+2k，(kZ)x=k，x=k (kZ)，共有7解3從正方體的棱和各個(gè)面上的對(duì)角線中選出k條，使得其中任意兩條線段所在的直線都是異面直線，則k的最大值是

10、解：正方體共有8個(gè)頂點(diǎn)，若選出的k條線兩兩異面，則不能共頂點(diǎn)，即至多可選出4條，又可以選出4條兩兩異面的線(如圖)，故所求k的最大值=44設(shè)z1，z2都是復(fù)數(shù)，且|z1|=3，|z2|=5|z1+z2|=7，則arg()3的值是_解：cosOZ1Z3=即OZ1Z3=120， arg()=或 arg()3=5設(shè)數(shù)列a1，a2，L，an，L滿(mǎn)足a1=a2=1，a3=2，且對(duì)任何自然數(shù)n， 都有anan+1an+21，又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，則a1+a2+L+a100的值是_.解：anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，an+1a

11、n+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4，相減，得anan+1an+2(a4an)=an+4an，由anan+1an+21，得an+4=an又，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，a1=a2=1，a3=2，得a4=4 a1+a2+L+a100=25(1+1+2+4)=2006函數(shù)f(x)= 的最大值是_解：f(x)= ，表示點(diǎn)(x，x2)與點(diǎn)A(3，2)的距離及B(0，1)距離差的最大值由于此二點(diǎn)在拋物線兩側(cè)，故過(guò)此二點(diǎn)的直線必與拋物線交于兩點(diǎn)對(duì)于拋物線上任意一點(diǎn)，到此二點(diǎn)距離之差大于|AB|=即所求最小值為三、(20分)求證：1617證明：

12、=2()于是得2()1+2()即 161+2(1)1) 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明： fn(x)=證明： 由yfn(x)-fn1(x)= =fn+1(x)故證 f1(x)= x+，f2(x)=x2+1+x2=(x+)21=y21故命題對(duì)n=1，2 成立設(shè)對(duì)于nm(m2，m為正整數(shù))，命題成立，現(xiàn)證命題對(duì)于n=m+1成立1 若m為偶數(shù)，則m+1為奇數(shù)由歸納假設(shè)知，對(duì)于n=m及n=m1，有fm(x)= ymCym2+C ym4+(1)iCym2i+(1)Cy fm1(x)= ym1Cym3+(1)i1Cym+12i+(1)Cy yfm(x)fm1(x)=ym+1+(1)i(C+C)ym+12i+(1)(

13、C+C)y = ym+1Cym1+(1)iCym+12i+(1)Cy即命題對(duì)n=m+1成立2若m為奇數(shù)，則m+1為偶數(shù)，由歸納假設(shè)知，對(duì)于n=m及n=m1，有fm(x)= ym1Cym2+(1)iCym2i+(1)C y fm1(x)= ym1Cym3+(1)i1Cym+12i+(1)C 用y乘減去，同上合并，并注意最后一項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)為(1)C=(1)C=(1)于是得到y(tǒng)fm(x)fm1(x)=ym+1Cm1ym1+(1)，即仍有對(duì)于n=m+1，命題成立綜上所述，知對(duì)于一切正整數(shù)n，命題成立第二試一、(35分) 設(shè)A1A2A3A4為O的內(nèi)接四邊形，H1、H2、H3、H4依次為A2A3A4、A3A4

14、A1、A4A1A2、A1A2A3的垂心求證：H1、H2、H3、H4四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，并定出該圓的圓心位置 證明：連A2H1，A1H2，取A3A4的中點(diǎn)M，連OM，由上證知A2H1OM，A2H1=2OM，A1H2OM， A1H2=2OM，從而H1H2A1A2是平行四邊形，故H1H2A1A2 ，H1H2=A1A2同理可知，H2H3A2A3，H2H3=A2A3； H3H4A3A4，H3H4=A3A4； H4H1A4A1，H4H1=A4A1故 四邊形A1A2A3A4四邊形H1H2H3H4由四邊形A1A2A3A4有外接圓知，四邊形H1H2H3H4也有外接圓取H3H4的中點(diǎn)M1，作M1O1H3H4，且M1

15、O1=MO，則點(diǎn)O1即為四邊形H1H2H3H4的外接圓圓心又證：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，O的半徑為長(zhǎng)度單位建立直角坐標(biāo)系，設(shè)OA1、OA2、OA3、OA4與OX正方向所成的角分別為、d，則點(diǎn)A1、A2、A3、A4的坐標(biāo)依次是(cos，sin)、(cos，sin)、(cos，sin)、(cosd，sind)顯然，A2A3A4、A3A4A1、A4A1A2、A1A2A3的外心都是點(diǎn)O，而它們的重心依次是(cos+cos+cosd)，(sin+sin+sind)、(cos+cosd+cos)，(sin+sind+sin)、(cosd+cos+cos)，(sind+sin+sin)、(cos+cos+cos)，

16、(sin+sin+sin)從而，A2A3A4、A3A4A1、A4A1A2、A1A2A3的垂心依次是H1(cos+cos+cosd， sin+sin+sind)、H 2 (cos+cosd+cos，sin+sind+sin)、H 3 (cosd+cos+cos，sind+sin+sin)、H 4 (cos+cos+cos，sin+sin+sin)而H1、H2、H3、H4點(diǎn)與點(diǎn)O1(cos+cos+cos+cosd，sin+sin+sin+sind)的距離都等于1，即H1、H2、H3、H4四點(diǎn)在以O(shè)1為圓心，1為半徑的圓上證畢二、(35分)設(shè)集合Sn=1,2,L,n若X是Sn的子集，把X中所有數(shù)的

17、和稱(chēng)為X的“容量”(規(guī)定空集的容量為0)，若X的容量為奇(偶)數(shù)，則稱(chēng)X為的奇(偶)子集 1求證Sn的奇子集與偶子集個(gè)數(shù)相等 2求證：當(dāng)n3時(shí)，Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和 3當(dāng)n3時(shí)，求Sn的所有奇子集的容量之和證明： 對(duì)于Sn的每個(gè)奇子集A，當(dāng)1A時(shí)，取B=A1，當(dāng)1A時(shí)，取B=A1，則B為Sn的偶子集.反之，若B為Sn的偶子集，當(dāng)1B時(shí)，取A=B1，當(dāng)1B時(shí)，取A=B1，于是在Sn的奇子集與偶子集之間建立了一個(gè)一一對(duì)應(yīng)，故Sn的奇子集與偶子集的個(gè)數(shù)相等. 對(duì)于任一iSn，i1，含i的Sn的子集共有2n-1個(gè)，其中必有一半是奇子集，一半是偶子集，從而每個(gè)數(shù)i，在奇子集

18、的和與偶子集的和中，i所占的個(gè)數(shù)是一樣的.而對(duì)于元素1，只要把Sn的所有子集按是否含有3配對(duì)(即在上證中把1換成3來(lái)證)，于是也可知1Sn的所有奇子集的容量的和，與所有偶子集的容量的和相等. 由于每個(gè)元素在奇子集中都出現(xiàn)2n-2次，故奇子集的容量和=(1+2+3+n)2n-2=n(n+1)2n-3三、(35分) 在平面直角坐標(biāo)系中，任取6個(gè)格點(diǎn)Pi(xi，yi)(i=1，2，3，4，5，6)滿(mǎn)足： |xi|2，|yi|2(i=1，2，3，4，5，6)； 任何三點(diǎn)不在一條直線上試證明：在以Pi(i=1，2，3，4，5，6)為頂點(diǎn)的所有三角形中，必有一個(gè)三角形的面積不大于2證明 如圖，滿(mǎn)足條件的格

19、點(diǎn)只能是圖中A、B、Y這25個(gè)格點(diǎn)中的6個(gè)把這25個(gè)格點(diǎn)分成三個(gè)矩形：矩形AEFJ、KOWU、MNYX若所取的6個(gè)點(diǎn)中有三個(gè)點(diǎn)在上述三個(gè)矩形中的某一個(gè)中，則此三點(diǎn)即滿(mǎn)足要求若三個(gè)矩形中均無(wú)所取6點(diǎn)中的3點(diǎn)，則必是每個(gè)矩形中有所取的2個(gè)點(diǎn) 若E、F、D、G、O、R、W中有所取的點(diǎn)，則此點(diǎn)與矩形MNYX中的兩點(diǎn)滿(mǎn)足要求； 若上述7點(diǎn)均未取，則A、B、C、H、I、J中必有兩點(diǎn)，此時(shí)若L、K中有所取的點(diǎn)，則亦有三點(diǎn)滿(mǎn)足要求； 若L、K亦未取，則必在P、Q、V、U中取了2點(diǎn)，矩形ACHJ中取了2點(diǎn)：此時(shí)取P、Q兩點(diǎn)，或Q、V兩點(diǎn)，或V、U兩點(diǎn)，或U、P兩點(diǎn)，或Q、U兩點(diǎn)，則無(wú)論ACHJ中取任一點(diǎn)，與之組成三角形面積均滿(mǎn)足要求若取P、V兩點(diǎn)，則矩形ACHJ中必有一點(diǎn)異于C，取此點(diǎn)與P、V滿(mǎn)足要求綜上可知，必有滿(mǎn)足要求的3點(diǎn)存在