高考數(shù)學(xué)回歸課本 三角函數(shù)教案 舊人教版

高考數(shù)學(xué)回歸課本教案高考數(shù)學(xué)回歸課本教案第六章第六章 三角函數(shù)三角函數(shù)一、基礎(chǔ)知識一、基礎(chǔ)知識定義 1 角，一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)得到的圖形叫做角。若旋轉(zhuǎn)方向為逆時針方向，則角為正角，若旋轉(zhuǎn)方向為順時針方向，則角為負(fù)角，若不旋轉(zhuǎn)則為零角。角的大小是任意的。定義 2 角度制，把一周角 360 等分，每一等價為一度，弧度制：把等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做一弧度。360 度=2 弧度。若圓心角的弧長為L，則其弧度數(shù)的絕對值|=,其中 r 是圓的半徑。定義 3 三角函數(shù)，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，把角 的頂點放在原點，始邊與x軸的正半軸重合，在角的終邊上任意取一個不同于原點的點P，設(shè)它的坐標(biāo)為（x,y） ，到原點的距離為 r,則正弦函數(shù) sin=,余弦函數(shù)cos=,正切函數(shù)tan=，余切函數(shù)cot=，正割函數(shù) sec=,余割函數(shù)csc=定理 1 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，倒數(shù)關(guān)系：tan=,sin=，cos=；商數(shù)關(guān)系：tan=；乘積關(guān)系：tancos=sin,cotsin=cos；平方關(guān)系：sin2+cos2=1, tan2+1=sec2, cot2+1=csc2.定理 2 誘導(dǎo)公式（）sin(+)=-sin, cos(+)=-cos, tan(+)=tan, cot(+)=cot;（）sin(-)=-sin, cos(-)=cos, tan(-)=-tan, cot(-)=cot; （）sin(-)=sin, cos(-)=-cos, tan=(-)=-tan, cot(-)=-cot; （）sin=cos, cos=sin, tan=cot（奇變偶不變，符號看象限） 。定理 3 正弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得y=sinx（xR）的性質(zhì)如下。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，最小正周期為 2. 奇偶數(shù). 有界性：當(dāng)且僅當(dāng)x=2kx+時，y取最大值 1，當(dāng)且僅當(dāng)x=3k-時, y取最小值-1。對稱性：直線x=k+均為其對稱軸，點（k, 0）均為其對稱中心，值域為-1，1。這里kZ.定理 4 余弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得y=cosx(xR R)的性質(zhì)。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間2k, 2k+上單調(diào)遞減，在區(qū)間2k-, 2k上單調(diào)遞增。最小正周期為 2。奇偶性：偶函數(shù)。對稱性：直線x=k 均為其對稱軸，點均為其對稱中心。有界性：當(dāng)且僅當(dāng)x=2k 時，y取最大值 1；當(dāng)且僅當(dāng)x=2k- 時，y取最小值-1。值域為-1，1。這里kZ Z.定理 5 正切函數(shù)的性質(zhì)：由圖象知奇函數(shù)y=tanx(xk+)在開區(qū)間(k-, k+)上為增函數(shù), 最小正周期為 ，值域為（-，+） ，點（k，0） ， （k+，0）均為其對稱中心。定理 6 兩角和與差的基本關(guān)系式：cos()=coscossinsin,sin()=sincoscossin; tan()=定理 7 和差化積與積化和差公式:sin+sin=2sincos,sin-sin=2sincos,cos+cos=2coscos, cos-cos=-2sinsin,sincos=sin(+)+sin(-),cossin=sin(+)-sin(-),coscos=cos(+)+cos(-),sinsin=-cos(+)-cos(-).定理 8 倍角公式:sin2=2sincos, cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2, tan2=定理 9 半角公式:sin=,cos=,tan=定理 10 萬能公式: , ,定理 11 輔助角公式：如果a, b是實數(shù)且a2+b20，則取始邊在x軸正半軸，終邊經(jīng)過點(a, b)的一個角為 ，則 sin=,cos=，對任意的角 .asin+bcos=sin(+).定理 12 正弦定理：在任意ABC中有，其中a, b, c分別是角A，B，C的對邊，R 為ABC外接圓半徑。定理 13 余弦定理：在任意ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分別是角A，B，C的對邊。定理 14 圖象之間的關(guān)系：y=sinx的圖象經(jīng)上下平移得y=sinx+k的圖象；經(jīng)左右平移得y=sin(x+)的圖象（相位變換） ；縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到y(tǒng)=sin()的圖象（周期變換） ；橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到y(tǒng)=Asinx的圖象（振幅變換） ；y=Asin(x+)(0)的圖象（周期變換） ；橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到y(tǒng)=Asinx的圖象（振幅變換） ；y=Asin(x+)(, 0)(|A|叫作振幅)的圖象向右平移個單位得到y(tǒng)=Asinx的圖象。定義 4 函數(shù)y=sinx的反函數(shù)叫反正弦函數(shù)，記作y=arcsinx(x-1, 1)，函數(shù)y=cosx(x0, ) 的反函數(shù)叫反余弦函數(shù)，記作y=arccosx(x-1, 1). 函數(shù)y=tanx的反函數(shù)叫反正切函數(shù)。記作y=arctanx(x-, +). y=cosx(x0, )的反函數(shù)稱為反余切函數(shù)，記作y=arccotx(x-, +).定理 15 三角方程的解集，如果a(-1,1)，方程 sinx=a的解集是x|x=n+(-1)narcsina, nZ Z。方程cosx=a的解集是x|x=2kxarccosa, kZ Z. 如果aR R，方程tanx=a的解集是x|x=k+arctana, kZ Z。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.定理 16 若，則 sinxx-1，所以cos，所以 sin(cosx) 0,又 00，所以cos(sinx)sin(cosx).若，則因為 sinx+cosx=(sinxcos+sincosx)=sin(x+)，所以 0sinx-cosxcos(-cosx)=sin(cosx).綜上，當(dāng)x(0,)時，總有cos(sinx)0，求證：【證明】 若 +，則x0，由 -0 得coscos(-)=sin,所以 0sin(-)=cos, 所以 01，所以若 +，則x0，由 0-cos(-)=sin0,所以1。又 0sin1，所以，得證。注：以上兩例用到了三角函數(shù)的單調(diào)性和有界性及輔助角公式，值得注意的是角的討論。3最小正周期的確定。例 4 求函數(shù)y=sin(2cos|x|)的最小正周期?！窘狻?首先，T=2 是函數(shù)的周期（事實上，因為cos(-x)=cosx，所以co|x|=cosx） ；其次，當(dāng)且僅當(dāng)x=k+時，y=0（因為|2cosx|2）,所以若最小正周期為T0，則T0=m, mN+，又 sin(2cos0)=sin2sin(2cos)，所以T0=2。4三角最值問題。例 5 已知函數(shù)y=sinx+，求函數(shù)的最大值與最小值?！窘夥ㄒ弧?令 sinx=,則有y=因為，所以，所以1，所以當(dāng)，即x=2k-(kZ)時，ymin=0，當(dāng)，即x=2k+(kZ)時，ymax=2.【解法二】 因為y=sinx+,=2（因為(a+b)22(a2+b2)） ，且|sinx|1，所以 0sinx+2，所以當(dāng)=sinx，即x=2k+(kZ)時, ymax=2，當(dāng)=-sinx，即x=2k-(kZ)時, ymin=0。例 6 設(shè) 0，求 sin的最大值?！窘狻恳驗?00, cos0.所以 sin（1+cos）=2sincos2= =當(dāng)且僅當(dāng) 2sin2=cos2, 即tan=, =2arctan時，sin(1+cos)取得最大值。例 7 若A，B，C為ABC三個內(nèi)角，試求 sinA+sinB+sinC的最大值?！窘狻?因為 sinA+sinB=2sincos, sinC+sin, 又因為，由，得 sinA+sinB+sinC+sin4sin,所以 sinA+sinB+sinC3sin=,當(dāng)A=B=C=時， （sinA+sinB+sinC）max=.注：三角函數(shù)的有界性、|sinx|1、|cosx|1、和差化積與積化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函數(shù)的單調(diào)性等是解三角最值的常用手段。5換元法的使用。例 8 求的值域。【解】 設(shè)t=sinx+cosx=因為所以又因為t2=1+2sinxcosx,所以 sinxcosx=，所以，所以因為t-1，所以，所以y-1.所以函數(shù)值域為例 9 已知a0=1, an=(nN N+)，求證：an.【證明】 由題設(shè)an0，令an=tanan, an，則an=因為，an，所以an=，所以an=又因為a0=tana1=1，所以a0=，所以。又因為當(dāng) 0 xx，所以注：換元法的關(guān)鍵是保持換元前后變量取值范圍的一致性。另外當(dāng)x時，有tanxxsinx，這是個熟知的結(jié)論，暫時不證明，學(xué)完導(dǎo)數(shù)后，證明是很容易的。6圖象變換：y=sinx(xR R)與y=Asin(x+)(A, , 0).由y=sinx的圖象向左平移個單位，然后保持橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，然后再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模玫統(tǒng)=Asin(x+)的圖象；也可以由y=sinx的圖象先保持橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，最后向左平移個單位，得到y(tǒng)=Asin(x+)的圖象。例 10 例 10 已知f(x)=sin(x+)(0, 0)是 R R 上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點對稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求和的值。【解】 由f(x)是偶函數(shù)，所以f(-x)=f(x)，所以 sin(+)=sin(-x+)，所以cossinx=0，對任意xR 成立。又 0，解得=，因為f(x)圖象關(guān)于對稱，所以=0。取x=0，得=0，所以sin所以(kZ Z)，即=(2k+1) (kZ Z).又0，取k=0 時，此時f(x)=sin(2x+)在0，上是減函數(shù)；取k=1 時，=2，此時f(x)=sin(2x+)在0，上是減函數(shù)；取k=2 時，此時f(x)=sin(x+)在0，上不是單調(diào)函數(shù)，綜上，=或 2。7三角公式的應(yīng)用。例 11 已知sin(-)=，sin(+)=- ，且 -，+，求sin2,cos2 的值。【解】 因為 -，所以cos(-)=-又因為 +，所以cos(+)=所以sin2=sin(+)+(-)=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-)=,cos2=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=-1.例 12 已知ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，且，試求的值?！窘狻?因為A=1200-C，所以cos=cos(600-C)，又由于=，所以=0。解得或。又0，所以。例 13 求證：tan20+4cos70.【解】 tan20+4cos70=+4sin20三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1已知銳角x的終邊上一點A的坐標(biāo)為(2sin3, -2cos3)，則x的弧度數(shù)為_。2適合-2cscx的角的集合為_。3給出下列命題：（1）若 ，則sinsin；（2）若sinsin,則 ；（3）若sin0，則 為第一或第二象限角；（4）若 為第一或第二象限角，則sin0. 上述四個命題中，正確的命題有_個。4已知sinx+cosx=(x(0, )，則cotx=_。5簡諧振動x1=Asin和x2=Bsin疊加后得到的合振動是x=_。6已知 3sinx-4cosx=5sin(x+1)=5sin(x-2)=5cos(x+3)=5cos(x-4)，則1，2，3，4分別是第_象限角。7滿足sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的銳角x共有_個。8已知，則=_。9=_。10cot15cos25cot35cot85=_。11已知 ,(0, ), tan, sin(+)=，求cos 的值。12已知函數(shù)f(x)=在區(qū)間上單調(diào)遞減，試求實數(shù)m的取值范圍。四、高考水平訓(xùn)練題1已知一扇形中心角是a,所在圓半徑為 R，若其周長為定值c(c0)，當(dāng)扇形面積最大時，a=_.2. 函數(shù)f(x)=2sinx(sinx+cosx)的單調(diào)遞減區(qū)間是_.3. 函數(shù)的值域為_.4. 方程=0 的實根個數(shù)為_.5. 若sina+cosa=tana, a，則_a（填大小關(guān)系）.6. (1+tan1)(1+tan2)(1+tan44)(1+tan45)=_.7. 若 0yx0, k=-1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（3）試求最小正整數(shù)k，使得當(dāng)x在任意兩個整數(shù)（包括整數(shù)本身）間變化時，函數(shù)f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題（一）五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題（一）1若x, yR R，則z=cosx2+cosy2-cosxy的取值范圍是_.2已知圓x2+y2=k2至少蓋住函數(shù)f(x)=的一個最大值點與一個最小值點，則實數(shù)k的取值范圍是_.3f()=5+8cos+4cos2+cos3 的最小值為_.4方程sinx+cosx+a=0 在（0，2）內(nèi)有相異兩實根 ，則 +=_.5函數(shù)f(x)=|tanx|+|cotx|的單調(diào)遞增區(qū)間是_.6設(shè)sina0cosa, 且sincos，則的取值范圍是_.7方程tan5x+tan3x=0 在0，中有_個解.8若x, yR R, 則M=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值為_.9若 00)在一個最小正周期長的區(qū)間上的圖象與函數(shù)g(x)=的圖象所圍成的封閉圖形的面積是_.2若，則y=tan-tan+cos的最大值是_.3在ABC中，記BC=a, CA=b, AB=c, 若 9a2+9b2-19c2=0，則=_.4設(shè)f(x)=x2-x, =arcsin, =arctan, =arccos, =arccot, 將f(), f(), f(), f()從小到大排列為_.5logsin1cos1=a, logsin1tan1=b, logcos1sin1=c, logcos1tan1=d。將a, b, c, d 從小到大排列為_.6在銳角ABC中，cosA=cossin, cosB=cossin, cosC=cossin，則tantantan=_.7已知矩形的兩邊長分別為tan和 1+cos(00 恒成立，則的取值范圍是_.10已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，則cos2x+ cos2y+ cos2z=_.11已知a1, a2, ,an是n個實常數(shù)，考慮關(guān)于x的函數(shù)：f(x)=cos(a1+x)+cos(a2+x) +cos(an+x)。求證：若實數(shù)x1, x2滿足f(x1)=f(x2)=0，則存在整數(shù)m，使得x2-x1=m.12在ABC中，已知，求證：此三角形中有一個內(nèi)角為。13求證：對任意自然數(shù)n, 均有|sin1|+|sin2|+|sin(3n-1)|+|sin3n|.六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題1已知x0, y0, 且x+y0（wR R）.2. 已知a為銳角，n2, nN N+，求證：2n-2+1.3. 設(shè)x1, x2, xn, y1, y2, yn,滿足x1=y1=, xn+1=xn+, yn+1=，求證：2xnyn3(n2).4已知 ， 為銳角，且cos2+cos2+cos2=1，求證；+m，求證：對一切x都有 2|sinnx-cosnx|3|sinnx-cosnx|.7在ABC中，求sinA+sinB+sinC-cosA-cosB-cosC的最大值。8求的有的實數(shù)a, 使cosa, cos2a, cos4a, , cos2na, 中的每一項均為負(fù)數(shù)。9已知i，tan1tan2tann=2, nN N+, 若對任意一組滿足上述條件的1，2，n都有cos1+cos2+cosn，求 的最小值。