數(shù)學(xué)第四章 三角函數(shù)、解三角形 4.7 解三角形 文 北師大版

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1、4 4. .7 7解三角形解三角形 -2-知識梳理雙基自測2341自測點評1.正弦定理和余弦定理在ABC中,若角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,則-3-知識梳理雙基自測2341自測點評-4-知識梳理雙基自測自測點評23412.三角形中的常見結(jié)論(1)在ABC中,A+B+C=.(2)在ABC中,ABabsin Asin B.(3)任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊.-5-知識梳理雙基自測自測點評23413.ABC的面積公式 -6-知識梳理雙基自測自測點評23414.實際問題中的常用角(1)仰角和俯角在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角,目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角,目標(biāo)視線

2、在水平視線下方叫俯角(如圖1).(2)方位角從某點的指北方向線起按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角叫方位角.如B點的方位角為(如圖2).-7-知識梳理雙基自測自測點評2341(3)方向角:正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角,如南偏東30,北偏西45等.(4)坡度:坡面與水平面所成的二面角的正切值.2-8-知識梳理雙基自測3415自測點評1.下列結(jié)論正確的畫“”,錯誤的畫“”.(1)在ABC中,已知a,b和角B,能用正弦定理求角A;已知a,b和角C,能用余弦定理求邊c. ()(2)在三角形中,已知兩角和一邊或已知兩邊和一角都能解三角形. ()(3)在ABC中,sin Asin B的充分不必

3、要條件是AB. ()(4)在ABC中,a2+b2c2是ABC為鈍角三角形的充分不必要條件. ()(5)在ABC的角A,B,C,邊長a,b,c中,已知任意三個可求其他三個. () 答案 答案關(guān)閉(1)(2)(3)(4)(5) -9-知識梳理雙基自測自測點評234152.在ABC中,化簡bcos C+ccos B的結(jié)果為() 答案解析解析關(guān)閉由正弦定理得bcos C+ccos B=2R(sin Bcos C+cos Bsin C)=2Rsin(B+C)=2Rsin A=a. 答案解析關(guān)閉A-10-知識梳理雙基自測自測點評23415 答案解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-11-知識梳理雙基自測自測點評23

4、415 答案解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-12-知識梳理雙基自測自測點評234155.在ABC中,acos A=bcos B,則這個三角形的形狀為. 答案解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-13-知識梳理雙基自測自測點評1.在一個三角形中,邊和角共有6個量,已知三個量(其中至少有一邊)就可解三角形.2.判斷三角形形狀的兩種思路:一是化邊為角;二是化角為邊,并用正弦定理(余弦定理)實施邊、角轉(zhuǎn)換.3.在ABC中,當(dāng)a2+b2c2時,由 ,可知角C為鈍角,則ABC為鈍角三角形.反之,若ABC為鈍角三角形,則角C不一定是鈍角.-14-考點1考點2考點3考點4例1(2016山東師大附中模擬)在ABC中,角A,B

5、,C的對邊分別是 (1)求a的值;(2)若角A為銳角,求b的值及ABC的面積.思考已知怎樣的條件能用正弦定理解三角形?已知怎樣的條件能用余弦定理解三角形?-15-考點1考點2考點3考點4-16-考點1考點2考點3考點4解題心得1.已知兩邊和一邊的對角或已知兩角和一邊都能用正弦定理解三角形,正弦定理的形式多樣,其中a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C能夠?qū)崿F(xiàn)邊角互化.2.已知兩邊和它們的夾角或已知兩邊和一邊的對角或已知三邊都能直接運用余弦定理解三角形,在運用余弦定理時,要注意整體思想的運用.3.已知兩角和一邊,該三角形是確定的,其解是唯一的;已知兩邊和一邊的對角,該三角形具

6、有不唯一性,通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進(jìn)行判斷.-17-考點1考點2考點3考點4對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練1(1)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=2,cos AD的長.-18-考點1考點2考點3考點4-19-考點1考點2考點3考點4例2在ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊,且2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C.(1)求角A的大小;(2)若sin B+sin C= ,試判斷ABC的形狀.思考判斷三角形的形狀時主要有哪些方法?-20-考點1考點2考點3考點4-21-考點1考點2考點3考點4即sin(B+30)=1.0B120,30

7、B+30150.B+30=90,即B=60.A=B=C=60,ABC為等邊三角形.-22-考點1考點2考點3考點4解題心得判斷三角形的形狀時主要有以下兩種方法:(1)利用正弦定理、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系,通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系,從而判斷三角形的形狀;(2)利用正弦定理、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系,通過三角恒等變換,得出內(nèi)角的關(guān)系,從而判斷出三角形的形狀,此時要注意應(yīng)用A+B+C=這個結(jié)論.-23-考點1考點2考點3考點4對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練2(2016河南高考押題卷)已知在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,其中c為最長邊.(1)若sin2

8、A+sin2B=1,試判斷ABC的形狀;(2)若a2-c2=2b,且sin B=4cos Asin C,求b的值.-24-考點1考點2考點3考點4-25-考點1考點2考點3考點4例3(2016四川,文18)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且(1)證明:sin Asin B=sin C;思考在三角形中進(jìn)行三角變換要注意什么?-26-考點1考點2考點3考點4-27-考點1考點2考點3考點4-28-考點1考點2考點3考點4解題心得1.在三角形中進(jìn)行三角變換要注意隱含條件:A+B+C=,使用這個隱含條件可以減少未知數(shù)的個數(shù).2.在解三角形問題中,因為面積公式中既有邊又有角,所以要和正

9、弦定理、余弦定理聯(lián)系起來;要靈活運用正弦定理、余弦定理實現(xiàn)邊角互化,為三角變換提供了條件.-29-考點1考點2考點3考點4對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練3在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2(tan (1)證明:a+b=2c;(2)求cos C的最小值.-30-考點1考點2考點3考點4-31-考點1考點2考點3考點4例4如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西方向行駛,到A處時測得公路北側(cè)一山腳C在西偏北30的方向上,行駛600 m后到達(dá)B處,測得此山腳C在西偏北75的方向上,山頂D的仰角為30,則此山的高度CD= m.思考利用正弦、余弦定理解決實際問題的一般思路是什么? 答案 答案關(guān)閉-3

10、2-考點1考點2考點3考點4-33-考點1考點2考點3考點4解題心得利用正弦、余弦定理解決實際問題的一般思路:(1)實際問題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量全部集中在一個三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解;(2)實際問題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量涉及兩個或兩個以上的三角形,這時需作出這些三角形,先解夠條件的三角形,再逐步求解其他三角形,有時需設(shè)出未知量,從幾個三角形中列出方程(組),解方程(組)得出所要求的解.-34-考點1考點2考點3考點4對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練4如圖,為測量山高M(jìn)N,選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點,從A點測得M點的仰角MAN=60,C點的仰角CAB=45以及MAC=75;從

11、C點測得MCA=60.已知山高BC=100 m,則山高M(jìn)N= m.-35-考點1考點2考點3考點4-36-考點1考點2考點3考點41.正弦定理和余弦定理其主要作用是將已知條件中的邊、角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系或邊的關(guān)系.2.在已知關(guān)系式中,既含有邊又含有角,通常的解題思路:先將角都化成邊或?qū)⑦叾蓟山?再結(jié)合正弦定理、余弦定理即可求解.3.在ABC中,已知a,b和A,利用正弦定理時,會出現(xiàn)解的不確定性,一般可根據(jù)“大邊對大角”來取舍.-37-考點1考點2考點3考點41.在解三角形中,三角形內(nèi)角和定理起著重要作用,在解題中要注意根據(jù)這個定理確定角的范圍,確定三角函數(shù)值的符號,防止出現(xiàn)增解等擴(kuò)大范圍的現(xiàn)象.2.在判斷三角形的形狀時,等式兩邊一般不要約去公因式,應(yīng)移項提取公因式,以免漏解.