高中數(shù)學第三章 代數(shù)學的進步課件選修三

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1、第三章第三章 代數(shù)學的進步代數(shù)學的進步3.1 解方程的故事解方程的故事 墓中安葬著丟番圖，多么令人驚訝，它忠實地記錄了其所經歷的人生歷程。上帝賜予他的童年占六分之一，又過了十二分之一他的兩頰長出了胡須，再過七分之一，點燃了新婚的蠟燭。五年之后喜得貴子，可憐遲來的寧馨兒，享年僅及2其父親之半便入黃泉。悲傷只有用數(shù)學研究去彌補，又過四年，他走完了人生的旅途。 上面這段話是希臘數(shù)學家上面這段話是希臘數(shù)學家丟番圖丟番圖的碑文。的碑文。根據(jù)我們以前學過的代數(shù)知識，根據(jù)我們以前學過的代數(shù)知識，設丟番圖的年齡為設丟番圖的年齡為x，列出方程，列出方程 11115461272xxxxx從而推算出這位數(shù)學家活了從

2、而推算出這位數(shù)學家活了84歲。歲。 代數(shù)學歷史悠久，根據(jù)現(xiàn)存的一塊漢穆拉比時代（公元前18世紀）的泥板，得知古巴比倫人已經知道某些二次方程的解法。而古希臘時期流傳至今的與代數(shù)有關的著作只有丟番圖的算術。該書解決了某些一次、二次方程和不定方程問題。出現(xiàn)了縮寫符號和應用負數(shù)的例子。其問題構思巧妙，解題方法多樣，但最大的缺點是沒有解方程的一般方法。 它所保羅的它所保羅的189個問題個問題中所出現(xiàn)的特殊數(shù)字中所出現(xiàn)的特殊數(shù)字是有是有特殊作用特殊作用的。每一個問題要用只適用于它的。每一個問題要用只適用于它自身特殊數(shù)字的特殊而往往又很奇特的辦法來自身特殊數(shù)字的特殊而往往又很奇特的辦法來求得其答案。有人打趣

3、的說：求得其答案。有人打趣的說：研究丟番圖的研究丟番圖的100道題之后，還步不知道怎樣去解第道題之后，還步不知道怎樣去解第101題。題。 直到中世紀的阿拉伯數(shù)學家才系統(tǒng)研究直到中世紀的阿拉伯數(shù)學家才系統(tǒng)研究了二次方程的解法，建立了解方程的變形法了二次方程的解法，建立了解方程的變形法則。還特別創(chuàng)造了三次方程的幾何解法。期則。還特別創(chuàng)造了三次方程的幾何解法。期中中花拉子米花拉子米是中世紀時期對歐洲數(shù)學影響最是中世紀時期對歐洲數(shù)學影響最大的阿拉伯數(shù)學家。他的名著大的阿拉伯數(shù)學家。他的名著代數(shù)學代數(shù)學第第一次給出了一次給出了一元二次方程一元二次方程的一般代數(shù)解法及的一般代數(shù)解法及幾何證明。幾何證明。

4、很久以前，人們就解決了一元一次方程與很久以前，人們就解決了一元一次方程與一元二次方程的求解問題。（在初一和初二一元二次方程的求解問題。（在初一和初二就會學習到有關內容）然而對就會學習到有關內容）然而對一元三次方程一元三次方程的求解卻使眾多的數(shù)學家們陷入了困境，許的求解卻使眾多的數(shù)學家們陷入了困境，許多人的努力都以失敗而告終。多人的努力都以失敗而告終。 1494年，意大利數(shù)學家年，意大利數(shù)學家帕西奧利帕西奧利對三次方對三次方程進行過艱辛的探索后作出極其悲觀的結論。程進行過艱辛的探索后作出極其悲觀的結論。他認為在當時的數(shù)學中，求解三次方程，猶如他認為在當時的數(shù)學中，求解三次方程，猶如化圓為方問題一

5、樣，是根本不可能的。這種對化圓為方問題一樣，是根本不可能的。這種對以前失敗的悲嘆聲，卻成為以前失敗的悲嘆聲，卻成為16世紀意大利數(shù)學世紀意大利數(shù)學家迎接挑戰(zhàn)的號角。以此為序曲引出了我們要家迎接挑戰(zhàn)的號角。以此為序曲引出了我們要講述的關于三次方程求解的故事。講述的關于三次方程求解的故事。 故事中第一個出場的人物是一位大學教授，故事中第一個出場的人物是一位大學教授，名字叫名字叫費羅費羅(Scipione del Ferro, 14651526)。他在帕西奧利作出悲觀結論不久，大約在他在帕西奧利作出悲觀結論不久，大約在1500年左右，得到了年左右，得到了x3+mx=n這樣一類這樣一類缺項缺項三次方程

6、三次方程的求解公式。在求解三次方程的道的求解公式。在求解三次方程的道路上，這是一個不小的成功。路上，這是一個不小的成功。 但出乎我們意料的是，他并沒有馬上發(fā)但出乎我們意料的是，他并沒有馬上發(fā)表自己的成果以廣為傳播自己的成功。相反，表自己的成果以廣為傳播自己的成功。相反，他對自己的解法他對自己的解法絕對保密絕對保密！這在！這在“不發(fā)表即不發(fā)表即發(fā)霉發(fā)霉”的今天，真是不可思議之事！在當時的今天，真是不可思議之事！在當時卻有其原因。那時一個人若想要保住自己的卻有其原因。那時一個人若想要保住自己的大學職位，必須在與他人的學術論爭中不落大學職位，必須在與他人的學術論爭中不落敗。因此，一個重要的新發(fā)現(xiàn)就成

7、了一件論敗。因此，一個重要的新發(fā)現(xiàn)就成了一件論爭中處于不敗之地的有力武器。爭中處于不敗之地的有力武器。 最后直到其臨終前，大約最后直到其臨終前，大約1510年左右，年左右，他才將自己的這一他才將自己的這一“殺手锏殺手锏”傳給兩個人：傳給兩個人：他的女婿和他的一個學生。他那不學無術的他的女婿和他的一個學生。他那不學無術的女婿不久就將此拋之腦后了，這樣他的學生女婿不久就將此拋之腦后了，這樣他的學生菲奧爾菲奧爾以這一以這一“殺手锏殺手锏”唯一傳人的角色在唯一傳人的角色在我們的故事中作為第二個人物露面了。我們的故事中作為第二個人物露面了。 菲奧爾本人的數(shù)學才能并不突出，但他卻菲奧爾本人的數(shù)學才能并不突

8、出，但他卻因獨得費羅秘技而以之炫耀于世。只不過他因獨得費羅秘技而以之炫耀于世。只不過他“獨此一家，別無分店獨此一家，別無分店”的招牌卻沒有掛太的招牌卻沒有掛太長的時間，一個厲害的挑戰(zhàn)者長的時間，一個厲害的挑戰(zhàn)者塔塔利亞塔塔利亞(Niccolo Tartaglia of Brescia, 14991557)出出現(xiàn)在他的面前?，F(xiàn)在他的面前。塔塔利亞塔塔利亞 這是我們故事中出場的第三個人物，其原這是我們故事中出場的第三個人物，其原名名豐塔納豐塔納。1512年，在一次戰(zhàn)亂中他被一法年，在一次戰(zhàn)亂中他被一法國兵用刀砍傷臉部，頭部口舌多處受傷，其國兵用刀砍傷臉部，頭部口舌多處受傷，其后雖僥幸活命，卻留下了

9、口吃的后遺癥。于后雖僥幸活命，卻留下了口吃的后遺癥。于是就得了是就得了“塔塔利亞塔塔利亞”的綽號，意大利語就的綽號，意大利語就是是“口吃者口吃者”的意思。那時他還只有的意思。那時他還只有13歲。歲。然而這并沒有妨礙這位有才能的頑強的少年然而這并沒有妨礙這位有才能的頑強的少年主要通過自學的方式在數(shù)學上達到極高的成主要通過自學的方式在數(shù)學上達到極高的成就。就。 1534年他宣稱自己已得到了形如年他宣稱自己已得到了形如x3+mx2=n這類沒有一次項的三次方程的解的方法。不久，這類沒有一次項的三次方程的解的方法。不久，菲奧爾就聽到了挑戰(zhàn)者的叫板聲，于是我們故菲奧爾就聽到了挑戰(zhàn)者的叫板聲，于是我們故事中

10、的兩位人物開始碰面了。事中的兩位人物開始碰面了。 二人相約在米蘭進行公開比賽。雙方各出二人相約在米蘭進行公開比賽。雙方各出三十個三次方程的問題，約定誰解出的題目多三十個三次方程的問題，約定誰解出的題目多就獲勝。就獲勝。 塔塔利亞在塔塔利亞在1535年年2月月13日，在參加比賽日，在參加比賽前夕經過多日的苦思冥想后終于找到了多種前夕經過多日的苦思冥想后終于找到了多種類型三次方程的解法。于是在比賽中，他只類型三次方程的解法。于是在比賽中，他只用了兩個小時的時間就輕而易舉地解出了對用了兩個小時的時間就輕而易舉地解出了對方的所有題目，而對方對他的題目卻一題都方的所有題目，而對方對他的題目卻一題都做不出

11、來。這樣他以做不出來。這樣他以30:0的戰(zhàn)績大獲全勝。的戰(zhàn)績大獲全勝。這次輝煌的勝利為塔塔利亞帶來了轟動一時這次輝煌的勝利為塔塔利亞帶來了轟動一時的榮譽，同時也意味著菲奧爾可以在我們的的榮譽，同時也意味著菲奧爾可以在我們的故事中以不體面的方式先行退場了。故事中以不體面的方式先行退場了。塔塔利亞為這次勝利所激勵，更加熱心于塔塔利亞為這次勝利所激勵，更加熱心于研究一般三次方程的解法。研究一般三次方程的解法。到到1541年，終于完年，終于完全解決了三次方程的求解問題。全解決了三次方程的求解問題?；蛟S是出于與或許是出于與費羅同樣的考慮，或許是想在進一步醞釀后寫費羅同樣的考慮，或許是想在進一步醞釀后寫一

12、本關于三次方程解法的書的緣故，塔塔利亞一本關于三次方程解法的書的緣故，塔塔利亞沒有將自己的成果很快發(fā)表。于是，風波驟起，沒有將自己的成果很快發(fā)表。于是，風波驟起，本應進入尾聲的故事，由于又一個重要人物的本應進入尾聲的故事，由于又一個重要人物的出場而被引入了一個完全不同的方向。出場而被引入了一個完全不同的方向。 這位半路殺出來的這位半路殺出來的“程咬金程咬金”叫叫卡爾達卡爾達諾諾(Girolamo Cardano, 15011576)，一位或，一位或許是數(shù)學史中最奇特的人物。他的本行是醫(yī)許是數(shù)學史中最奇特的人物。他的本行是醫(yī)生，并且是一個頗受歡迎的醫(yī)生。但其才能生，并且是一個頗受歡迎的醫(yī)生。但其

13、才能并沒有局限于此，他在各種知識領域里顯示并沒有局限于此，他在各種知識領域里顯示出自己的天賦。除了是一個極好的醫(yī)生外，出自己的天賦。除了是一個極好的醫(yī)生外，他還是哲學家和數(shù)學家，同時是一個占星術他還是哲學家和數(shù)學家，同時是一個占星術家，并在這些知識領域里都獲得了重要成果。家，并在這些知識領域里都獲得了重要成果。 他行為有些怪異，性好賭博，人品看來也他行為有些怪異，性好賭博，人品看來也不太佳。在他去世后一百年，偉大的萊布尼不太佳。在他去世后一百年，偉大的萊布尼茲概括了他的一生：茲概括了他的一生：“卡爾達諾是一個有許卡爾達諾是一個有許多缺點的偉人；沒有這些缺點，他將舉世無多缺點的偉人；沒有這些缺點

14、，他將舉世無雙。雙。”在我們故事中卡爾達諾所要扮演的正在我們故事中卡爾達諾所要扮演的正是一個將才能與不佳的人品集于一身的不太是一個將才能與不佳的人品集于一身的不太光彩角色。光彩角色。 卡爾達諾卡爾達諾 在塔塔利亞與菲爾奧的競賽后不久，卡爾在塔塔利亞與菲爾奧的競賽后不久，卡爾達諾聽說了這一故事。在此之前他對三次方程達諾聽說了這一故事。在此之前他對三次方程求解問題已進行過長時間的研究，卻沒有得到求解問題已進行過長時間的研究，卻沒有得到結果。于是可以想象得到他是多么急于想知道結果。于是可以想象得到他是多么急于想知道塔塔利亞這位解三次方程大師的奇妙技巧。為塔塔利亞這位解三次方程大師的奇妙技巧。為此他多

15、次向塔塔利亞求教三次方程的解法，開此他多次向塔塔利亞求教三次方程的解法，開始都被塔塔利亞拒絕了。但最終在卡爾達諾立始都被塔塔利亞拒絕了。但最終在卡爾達諾立下永不泄密的誓言后，他于下永不泄密的誓言后，他于1539年年3月月25日向日向卡爾達諾公開了自己的秘密。故事的轉折就這卡爾達諾公開了自己的秘密。故事的轉折就這樣開始了。樣開始了。 卡爾達諾并沒有遵守自己的諾言，卡爾達諾并沒有遵守自己的諾言，1545年年他出版他出版大術大術一書，將三次方程解法公諸于一書，將三次方程解法公諸于眾，從而使自己在數(shù)學界名聲鵲起。當然，如眾，從而使自己在數(shù)學界名聲鵲起。當然，如果說句公道話的話，卡爾達諾的果說句公道話的

16、話，卡爾達諾的大術大術一書一書并非完全抄襲之作，其中也包含著他自己獨特并非完全抄襲之作，其中也包含著他自己獨特的創(chuàng)造。然而，這種失信畢竟大大激怒了塔塔的創(chuàng)造。然而，這種失信畢竟大大激怒了塔塔利亞。利亞。 1546年他在年他在各式各樣的問題與發(fā)明各式各樣的問題與發(fā)明一書中嚴斥卡爾達諾的失信行為，于是一場一書中嚴斥卡爾達諾的失信行為，于是一場爭吵無可避免地發(fā)生了。一時間，充滿火藥爭吵無可避免地發(fā)生了。一時間，充滿火藥味的信件在雙方之間飛來飛去。味的信件在雙方之間飛來飛去。1548年年8月月10日在米蘭的公開辯論使這場沖突達到白熱日在米蘭的公開辯論使這場沖突達到白熱化。卡爾達諾在這場公開辯論中自己避

17、不出化?？栠_諾在這場公開辯論中自己避不出席而是派遣了一位學生出馬。席而是派遣了一位學生出馬。 這個學生的名字叫這個學生的名字叫費拉里費拉里(Ludovico Ferrari, 15221565)，是我們故事中出場的最后一個，是我們故事中出場的最后一個人物。費拉里人物。費拉里15歲時充當卡爾達諾的家仆。歲時充當卡爾達諾的家仆。主人發(fā)現(xiàn)了他的出眾才能，接受他為學生和主人發(fā)現(xiàn)了他的出眾才能，接受他為學生和助手。助手。18歲時接替卡爾達諾在米蘭講學。其歲時接替卡爾達諾在米蘭講學。其最大的貢獻是發(fā)現(xiàn)四次方程的一般解法?，F(xiàn)最大的貢獻是發(fā)現(xiàn)四次方程的一般解法?，F(xiàn)在這位以脾氣暴躁著稱且又忠誠的學生要報在這位

18、以脾氣暴躁著稱且又忠誠的學生要報答老師的知育之恩了。在這場公開的辯論中，答老師的知育之恩了。在這場公開的辯論中，塔塔利亞先以三次方程的迅速解答取得優(yōu)勢，塔塔利亞先以三次方程的迅速解答取得優(yōu)勢，而費拉里則指摘對方不能解四次方程。而費拉里則指摘對方不能解四次方程。 于是一場數(shù)學論爭逐漸演變成一場無聊的謾于是一場數(shù)學論爭逐漸演變成一場無聊的謾罵。最后客場作戰(zhàn)的塔塔利亞以失敗而告終，罵。最后客場作戰(zhàn)的塔塔利亞以失敗而告終，后者宣稱了自己勝利。由于卡爾達諾最早發(fā)表后者宣稱了自己勝利。由于卡爾達諾最早發(fā)表了求解三次方程的方法，因而數(shù)學上三次方程了求解三次方程的方法，因而數(shù)學上三次方程的解法至今仍被稱為的解

19、法至今仍被稱為“卡爾達諾公式卡爾達諾公式”，塔塔，塔塔利亞之名反而湮沒無聞了。這對塔塔利亞來說利亞之名反而湮沒無聞了。這對塔塔利亞來說似乎是太不公平了。不過，這又怎么樣呢？在似乎是太不公平了。不過，這又怎么樣呢？在歷史上，這類爭奪優(yōu)先權的論戰(zhàn)又何止這一樁歷史上，這類爭奪優(yōu)先權的論戰(zhàn)又何止這一樁呢？隨著時間的推移，多少年過去后，在當時呢？隨著時間的推移，多少年過去后，在當時對于個人如此重要的事，對后人而言卻不過是對于個人如此重要的事，對后人而言卻不過是“古今多少事，都付笑談中古今多少事，都付笑談中”而已。而已。塔塔利亞發(fā)現(xiàn)的一元三次方程的解法塔塔利亞發(fā)現(xiàn)的一元三次方程的解法 一元三次方程的一般形

20、式是一元三次方程的一般形式是 x3+sx2+tx+u=0，如果作一個橫坐標平移如果作一個橫坐標平移y=x+s/3，那么我們就，那么我們就可以把方程的二次項消去。所以我們只要考慮可以把方程的二次項消去。所以我們只要考慮形如形如 x3=px+q的三次方程。的三次方程。 假設方程的解假設方程的解x可以寫成可以寫成x=ab的形式，的形式，這里這里a和和b是待定的參數(shù)。是待定的參數(shù)。代入方程，我們就有代入方程，我們就有 a33a2b+3ab2b3=p(ab)+q整理得到整理得到 a3b3 =(ab)(p+3ab)+q 由二次方程理論可知，一定可以適當選取由二次方程理論可知，一定可以適當選取a和和b，使得

21、在，使得在x=ab的同時，的同時， 3ab+p=0。這樣。這樣上式就成為上式就成為a3b3=q. 兩邊各乘以兩邊各乘以27a3，就得到，就得到 27a627a3b3=27qa3由由p=3ab可知可知 27a6 + p3 = 27qa3 這是一個關于這是一個關于a3的二次方程，所以可以解的二次方程，所以可以解得得a。進而可解出。進而可解出b和根和根x。 解得解得卡爾達諾以方程卡爾達諾以方程x36x20為例說明這一方為例說明這一方法，他得到的解是法，他得到的解是x= 331081010810管會受到多大的良心的責備管會受到多大的良心的責備”，把這兩個根相乘，會得，把這兩個根相乘，會得25(15)4

22、0于是他寫道：于是他寫道：“算術就是這樣神秘地搞下去的，算術就是這樣神秘地搞下去的，它的目標，正如常言所說，是又精致又不中用的它的目標，正如常言所說，是又精致又不中用的”他既承他既承認負數(shù)有平方根，又懷疑它的合法性，因此稱它為認負數(shù)有平方根，又懷疑它的合法性，因此稱它為“詭變詭變量量”但不管怎樣，虛數(shù)畢竟在卡爾達諾那里誕生了他還但不管怎樣，虛數(shù)畢竟在卡爾達諾那里誕生了他還進一步指出，方程進一步指出，方程(指實系數(shù)方程指實系數(shù)方程)的虛根是成對出現(xiàn)的的虛根是成對出現(xiàn)的 在卡爾達諾之后，在卡爾達諾之后，韋達韋達對三次方程和四次對三次方程和四次方程解法作了進一步改進方程解法作了進一步改進1591年發(fā)

23、表的年發(fā)表的分分析術引論析術引論(Inartemanalyticemisagoge)中，他中，他給出三次方程的另一種解法。給出三次方程的另一種解法。 韋達不僅研究方程解法，還努力尋找方程的根韋達不僅研究方程解法，還努力尋找方程的根與系數(shù)的關系，在與系數(shù)的關系，在論方程的識別與修正論方程的識別與修正中，中，他提出了四個定理，后人為了紀念這位大數(shù)學家，他提出了四個定理，后人為了紀念這位大數(shù)學家，稱之為稱之為韋達定理韋達定理二次方程的韋達定理是我們經二次方程的韋達定理是我們經常使用的，常使用的， 3.2青年數(shù)學家阿貝爾和伽羅瓦青年數(shù)學家阿貝爾和伽羅瓦 尼爾斯尼爾斯亨利克亨利克阿貝爾阿貝爾(N.H.A

24、bel)1802年年8月月5日出生在挪威一個名叫芬德的小村莊。有七日出生在挪威一個名叫芬德的小村莊。有七個兄弟姐妹，阿貝爾在家里排行第二。他父親個兄弟姐妹，阿貝爾在家里排行第二。他父親是村子里的窮牧師，母親安妮是一個非常美麗是村子里的窮牧師，母親安妮是一個非常美麗的女人，她遺傳給阿貝爾驚人的漂亮容貌。小的女人，她遺傳給阿貝爾驚人的漂亮容貌。小時候由他父親和哥哥教導識字，小學教育基本時候由他父親和哥哥教導識字，小學教育基本上是由父親來教，因為他們沒有錢請不起家庭上是由父親來教，因為他們沒有錢請不起家庭教師。教師。 阿貝爾阿貝爾 十三歲時，阿貝爾和哥哥被送到克里斯蒂十三歲時，阿貝爾和哥哥被送到克里

25、斯蒂安尼亞安尼亞(即后來的奧斯陸即后來的奧斯陸)市的天主教學?？恳皇械奶熘鹘虒W?？恳稽c獎學金讀書。在最初的兩年，他們兄弟的成點獎學金讀書。在最初的兩年，他們兄弟的成績還不錯，可是后來教師枯燥的教學方式，高績還不錯，可是后來教師枯燥的教學方式，高壓的手法，使得他們兄弟的成績下降了。壓的手法，使得他們兄弟的成績下降了。 1817年是阿貝爾一生的轉折點。當時給他年是阿貝爾一生的轉折點。當時給他教數(shù)學的老師是一個好酒如命又脾氣粗暴的家教數(shù)學的老師是一個好酒如命又脾氣粗暴的家伙，后因體罰而致死一名學生被解職，并由一伙，后因體罰而致死一名學生被解職，并由一位比阿貝爾大七歲的年青的教師位比阿貝爾大七歲的年青

26、的教師霍姆伯厄霍姆伯厄代替。代替?；裟凡虮旧碓跀?shù)學上沒有什么成就，是一個霍姆伯厄本身在數(shù)學上沒有什么成就，是一個稱職但決不是很有才氣的數(shù)學家。他在科學上稱職但決不是很有才氣的數(shù)學家。他在科學上的貢獻，就是發(fā)掘了阿貝爾的數(shù)學才能，而且的貢獻，就是發(fā)掘了阿貝爾的數(shù)學才能，而且成為他的忠誠朋友，給他許多幫助。阿貝爾死成為他的忠誠朋友，給他許多幫助。阿貝爾死后，霍姆伯厄收集出版了他的研究成果。后，霍姆伯厄收集出版了他的研究成果。 霍姆伯厄很快就發(fā)現(xiàn)了十六歲的阿貝爾驚霍姆伯厄很快就發(fā)現(xiàn)了十六歲的阿貝爾驚人的數(shù)學天賦，私下開始給他教授高等數(shù)學，人的數(shù)學天賦，私下開始給他教授高等數(shù)學，還介紹他閱讀還介紹他

27、閱讀泊松、高斯以及拉格朗日泊松、高斯以及拉格朗日的著作。的著作。在他的熱心指點下，阿貝爾很快掌握了經典著在他的熱心指點下，阿貝爾很快掌握了經典著作中最難懂的部分。在中學的最后一年，阿貝作中最難懂的部分。在中學的最后一年，阿貝爾開始試圖解決困擾了數(shù)學界幾百年的五次方爾開始試圖解決困擾了數(shù)學界幾百年的五次方程問題，不久便認為得到了答案?；裟凡驅⒊虇栴}，不久便認為得到了答案?；裟凡驅⒇悹柕难芯渴指寮慕o丹麥當時最著名的數(shù)學阿貝爾的研究手稿寄給丹麥當時最著名的數(shù)學家家達根達根。 達根教授看不出阿貝爾的論證有甚么錯誤的達根教授看不出阿貝爾的論證有甚么錯誤的地方，但他知道這個許多大數(shù)學家都解決不出地方

28、，但他知道這個許多大數(shù)學家都解決不出的問題不會這么簡單的解決出來，于是給了阿的問題不會這么簡單的解決出來，于是給了阿貝爾一些可貴的忠告，希望他再仔細演算自己貝爾一些可貴的忠告，希望他再仔細演算自己的推導過程。就在同時，阿貝爾也發(fā)現(xiàn)了自己的推導過程。就在同時，阿貝爾也發(fā)現(xiàn)了自己推理中的缺陷。這次失敗給他一個非常有益的推理中的缺陷。這次失敗給他一個非常有益的打擊，把他推上了正確的途徑，使他懷疑一個打擊，把他推上了正確的途徑，使他懷疑一個代數(shù)解是否可能。后來他終于證明了五次方程代數(shù)解是否可能。后來他終于證明了五次方程不可解，而那已經是他十九歲時的事情了。不可解，而那已經是他十九歲時的事情了。 182

29、2年年6月，阿貝爾靠著霍姆伯厄和其他教月，阿貝爾靠著霍姆伯厄和其他教授們的幫助，在克里斯蒂安尼亞大學念完了必授們的幫助，在克里斯蒂安尼亞大學念完了必須的課程，那時大學和城里人人都知道他是一須的課程，那時大學和城里人人都知道他是一個了不起的數(shù)學天才。可他的父親已于兩年前個了不起的數(shù)學天才。可他的父親已于兩年前去世，家里一貧如洗，沒錢繼續(xù)從事數(shù)學研究。去世，家里一貧如洗，沒錢繼續(xù)從事數(shù)學研究。他的老師和朋友們也很窮，無法再拿出更多的他的老師和朋友們也很窮，無法再拿出更多的錢資助他去當時世界數(shù)學的中心巴黎深造。錢資助他去當時世界數(shù)學的中心巴黎深造。 1823年夏，教天文學的年夏，教天文學的拉斯穆辛拉

30、斯穆辛教授給教授給阿貝爾一筆錢去哥本哈根見達根，希望他能阿貝爾一筆錢去哥本哈根見達根，希望他能在外面見識和擴大眼界。從丹麥回來后阿貝在外面見識和擴大眼界。從丹麥回來后阿貝爾重新考慮一元五次方程解的問題，總算正爾重新考慮一元五次方程解的問題，總算正確解決了這個幾百年來的難題：即五次方程確解決了這個幾百年來的難題：即五次方程不存在代數(shù)解。后來數(shù)學上把這個結果稱為不存在代數(shù)解。后來數(shù)學上把這個結果稱為阿貝爾阿貝爾-魯芬尼定理魯芬尼定理。阿貝爾認為這結果很重。阿貝爾認為這結果很重要，便自掏腰包在當?shù)氐挠∷^印刷他的論要，便自掏腰包在當?shù)氐挠∷^印刷他的論文。因為貧窮，為了減少印刷費，他把結果文。因為貧

31、窮，為了減少印刷費，他把結果緊縮成只有六頁的小冊子。緊縮成只有六頁的小冊子。 阿貝爾滿懷信心地把這小冊子寄給外國阿貝爾滿懷信心地把這小冊子寄給外國的數(shù)學家，包括德國被稱為數(shù)學王子的的數(shù)學家，包括德國被稱為數(shù)學王子的高斯高斯，希望能得到一些反應。可惜文章太簡潔了，希望能得到一些反應?？上恼绿啙嵙?，沒有人能看懂。高斯收到這小冊子時覺得不沒有人能看懂。高斯收到這小冊子時覺得不可能用這么短的篇幅證明這個世界著名的問可能用這么短的篇幅證明這個世界著名的問題題-連他還沒法子解決的問題，于是連拿起連他還沒法子解決的問題，于是連拿起刀來裁開書頁來看內容也懶得做，就把它扔刀來裁開書頁來看內容也懶得做，就把它

32、扔在書堆里了。在書堆里了。 阿貝爾在數(shù)學和天文學界的朋友們，說服阿貝爾在數(shù)學和天文學界的朋友們，說服大學去請求挪威政府資助這個年輕人，作一大學去請求挪威政府資助這個年輕人，作一次以數(shù)學為主要目的的歐洲之行。經過過分次以數(shù)學為主要目的的歐洲之行。經過過分的慎重考慮之后，政府妥協(xié)了，但不是立刻的慎重考慮之后，政府妥協(xié)了，但不是立刻派阿貝爾去法國和德國，而是給他一筆獎金，派阿貝爾去法國和德國，而是給他一筆獎金，讓他在克里斯蒂安尼亞復習法語和德語。在讓他在克里斯蒂安尼亞復習法語和德語。在延誤了一年半后，在延誤了一年半后，在1825年年8月，皇家從窘迫月，皇家從窘迫的財政中撥出一筆錢當時二十三歲的阿貝爾

33、，的財政中撥出一筆錢當時二十三歲的阿貝爾，讓他足夠在法國和德國旅行和學習一年。讓他足夠在法國和德國旅行和學習一年。阿貝爾在德國并沒有去找在哥廷根的高斯，可阿貝爾在德國并沒有去找在哥廷根的高斯，可能他覺得這個大數(shù)學家難以接近，也難以幫助能他覺得這個大數(shù)學家難以接近，也難以幫助他，因為他以前的作品寄給他卻得不到回音。他，因為他以前的作品寄給他卻得不到回音。1826年年7月，阿貝爾離開德國到了法國，當時月，阿貝爾離開德國到了法國，當時的法國皇家科學院正被的法國皇家科學院正被柯西、泊松、傅里葉、柯西、泊松、傅里葉、安培和勒讓德安培和勒讓德等年邁的大數(shù)學家們把持，學術等年邁的大數(shù)學家們把持，學術氣氛非常

34、保守，各自又忙于自己的研究課題，氣氛非常保守，各自又忙于自己的研究課題，對年青人的工作并不重視。對年青人的工作并不重視。 阿貝爾留在巴黎期間覺得很難和法國數(shù)學阿貝爾留在巴黎期間覺得很難和法國數(shù)學家談論他研究的成果。他曾寄過一份長篇論家談論他研究的成果。他曾寄過一份長篇論文給法國科學研究院，論文交到了勒讓德手文給法國科學研究院，論文交到了勒讓德手上，勒讓德看不大懂，就轉給柯西。多產的上，勒讓德看不大懂，就轉給柯西。多產的柯西正忙著自己的工作，無暇理睬，把論文柯西正忙著自己的工作，無暇理睬，把論文隨便翻翻丟在一個角落里去了。隨便翻翻丟在一個角落里去了。 阿貝爾的那篇論文阿貝爾的那篇論文關于非常廣泛

35、的一關于非常廣泛的一類超越函數(shù)的一般性質的論文類超越函數(shù)的一般性質的論文是數(shù)學史上是數(shù)學史上重要的工作，他長久的等待著消息，可是一重要的工作，他長久的等待著消息，可是一點音訊也沒有，最后只好失望回到柏林。在點音訊也沒有，最后只好失望回到柏林。在那里他病倒了，他不知道自己已患上了肺結那里他病倒了，他不知道自己已患上了肺結核病，以為是法國的孤寂生活使他身體衰弱。核病，以為是法國的孤寂生活使他身體衰弱。他只剩下大約七元錢。他寫了一封急信，延他只剩下大約七元錢。他寫了一封急信，延誤了一些時間誤了一些時間,從霍姆伯厄那里借來了一筆錢。從霍姆伯厄那里借來了一筆錢。阿貝爾從阿貝爾從1827年年3月到月到5月

36、，靠霍姆伯厄的大月，靠霍姆伯厄的大約六十元借款生活和從事研究。最后，當他約六十元借款生活和從事研究。最后，當他所有的來源都枯竭時，只好掉頭回國。所有的來源都枯竭時，只好掉頭回國。1827年年5月底，阿貝爾回到了克里斯蒂安月底，阿貝爾回到了克里斯蒂安尼亞。那時他不僅身無分文，還欠了朋友一些尼亞。那時他不僅身無分文，還欠了朋友一些錢。他的弟弟無所事事，用他的名字借了一些錢。他的弟弟無所事事，用他的名字借了一些錢，他必須還清。于是，阿貝爾靠給一些小學錢，他必須還清。于是，阿貝爾靠給一些小學生和中學生補習初級數(shù)學、德語和法語賺點兒生和中學生補習初級數(shù)學、德語和法語賺點兒錢。沒多久，阿貝爾很幸運地被推薦

37、到軍事學錢。沒多久，阿貝爾很幸運地被推薦到軍事學院教授力學和理論天文學，薪水雖不是很多，院教授力學和理論天文學，薪水雖不是很多，卻已經可以讓他安心繼續(xù)從事卻已經可以讓他安心繼續(xù)從事橢圓函數(shù)橢圓函數(shù)的工作的工作了。了。這時，阿貝爾的身體越來越衰弱。在這時，阿貝爾的身體越來越衰弱。在1828年夏天他一直生病發(fā)燒咳嗽，人也變的消沉，年夏天他一直生病發(fā)燒咳嗽，人也變的消沉，感到前途真是暗淡無光，而且無法擺脫靠他養(yǎng)感到前途真是暗淡無光，而且無法擺脫靠他養(yǎng)活的家人的負擔。他們直到最后一直纏著他，活的家人的負擔。他們直到最后一直纏著他，實際上弄得他自己一無所有，可是直到最后他實際上弄得他自己一無所有，可是直

38、到最后他也從沒有說過一句不耐煩的話。挪威也從沒有說過一句不耐煩的話。挪威1828年的年的冬天很冷，阿貝爾穿上了所有的衣服，可是身冬天很冷，阿貝爾穿上了所有的衣服，可是身體還是覺得冷。他咳嗽、發(fā)抖，覺得胸部不適，體還是覺得冷。他咳嗽、發(fā)抖，覺得胸部不適，但是在朋友面前他裝作若無其事，而且常開玩但是在朋友面前他裝作若無其事，而且常開玩笑，以掩飾他身體的不舒服。笑，以掩飾他身體的不舒服。1829年年4月月6日，阿貝爾去世，身邊只有日，阿貝爾去世，身邊只有未婚妻克里斯汀。阿貝爾死后兩天，阿貝爾未婚妻克里斯汀。阿貝爾死后兩天，阿貝爾將被任命為柏林大學的數(shù)學教授。這么詳細將被任命為柏林大學的數(shù)學教授。這么

39、詳細地敘述阿貝爾的生平，很重要的一個原因是地敘述阿貝爾的生平，很重要的一個原因是阿貝爾生活的平淡無奇，而他在純數(shù)學上貢阿貝爾生活的平淡無奇，而他在純數(shù)學上貢獻又只存在于極少的專業(yè)人士的心中。獻又只存在于極少的專業(yè)人士的心中。 阿貝爾死后兩天，阿貝爾被任命為柏林大阿貝爾死后兩天，阿貝爾被任命為柏林大學的數(shù)學教授。第二年學的數(shù)學教授。第二年6月法國科學院頒給著月法國科學院頒給著名的名的Grand Prix獎給阿貝爾。獎給阿貝爾。1830年年柯西柯西在舊在舊書堆終于找出積滿灰塵的阿貝爾的手稿，書堆終于找出積滿灰塵的阿貝爾的手稿，1841年這篇史詩般的手稿又一次丟失，直到年這篇史詩般的手稿又一次丟失，

40、直到1952年年才在佛羅倫薩被重新發(fā)現(xiàn)。才在佛羅倫薩被重新發(fā)現(xiàn)。 法國數(shù)學家厄米特法國數(shù)學家厄米特(Hermit。任何學習過。任何學習過量子力學的人對這幾個字母都不會陌生量子力學的人對這幾個字母都不會陌生)在談在談到阿貝爾時說：到阿貝爾時說：“阿貝爾留下的工作，可以阿貝爾留下的工作，可以使以后的數(shù)學家足夠忙碌五百年使以后的數(shù)學家足夠忙碌五百年?！?阿貝爾在數(shù)學方面的成就是多方面的。除阿貝爾在數(shù)學方面的成就是多方面的。除了五次方程之外了五次方程之外,他還研究了更廣的一類代數(shù)他還研究了更廣的一類代數(shù)方程方程,后人發(fā)現(xiàn)這是具有交換的后人發(fā)現(xiàn)這是具有交換的伽羅瓦群伽羅瓦群的方的方程。為了紀念他程。為了

41、紀念他,后人稱交換群為后人稱交換群為阿貝爾群阿貝爾群。阿貝爾還研究過無窮級數(shù)阿貝爾還研究過無窮級數(shù),得到了一些判別準得到了一些判別準則以及關于冪級數(shù)求和的定理。這些工作使則以及關于冪級數(shù)求和的定理。這些工作使他成為分析學嚴格化的推動者。他成為分析學嚴格化的推動者。 阿貝爾和雅可比是公認的阿貝爾和雅可比是公認的橢圓函數(shù)論橢圓函數(shù)論的奠的奠基者。阿貝爾發(fā)現(xiàn)了橢圓函數(shù)的加法定理、基者。阿貝爾發(fā)現(xiàn)了橢圓函數(shù)的加法定理、雙周期性、并引進了雙周期性、并引進了橢圓積分橢圓積分的反演。他研的反演。他研究了形如究了形如 的積分的積分(現(xiàn)稱現(xiàn)稱阿貝爾積阿貝爾積分分)，其中，其中R(x, y)是是x 和和y 的的有

42、理函數(shù)有理函數(shù), 且存在且存在二元多項式二元多項式f, 使使 f(x,y)=0。他還證明了關于上。他還證明了關于上述積分之和的定理述積分之和的定理, 現(xiàn)稱阿貝爾定理現(xiàn)稱阿貝爾定理,它斷言它斷言: 若干個這種積分之和可以用若干個這種積分之和可以用g個這種積分之和個這種積分之和加上一些代數(shù)的與對數(shù)的項表示出來加上一些代數(shù)的與對數(shù)的項表示出來,其中其中g只依賴于只依賴于f, 就是就是f的虧格。的虧格。 天才少年伽羅瓦天才少年伽羅瓦 1832年5月30日清晨，在巴黎的葛拉塞爾湖附近躺著一個昏迷的年輕人，過路的農民從槍傷判斷他是決斗后受了重傷，就把這個不知名的青年抬到醫(yī)院。第二天早晨十點，這個可憐的年輕

43、人離開了人世，數(shù)學史上最年輕、最富有創(chuàng)造性的頭腦停止了思考。后來的一些著名數(shù)學家們說，他的死使數(shù)學的發(fā)展被推遲了幾十年，他就是伽羅瓦。伽羅瓦伽羅瓦 1811年年10月月25日，伽羅瓦出生于法國巴日，伽羅瓦出生于法國巴黎郊區(qū)拉賴因堡伽羅瓦街的第黎郊區(qū)拉賴因堡伽羅瓦街的第54號房屋內。號房屋內。現(xiàn)在這所房屋的正面有一塊紀念牌，上面寫現(xiàn)在這所房屋的正面有一塊紀念牌，上面寫著：著：“法國著名數(shù)學家埃瓦里斯特法國著名數(shù)學家埃瓦里斯特伽羅瓦伽羅瓦生于此，卒年生于此，卒年20歲，歲，18111832年年”。紀念。紀念牌是小鎮(zhèn)的居民為了對全世界學者迄今公認牌是小鎮(zhèn)的居民為了對全世界學者迄今公認的、曾有特殊功績

44、的、卓越的數(shù)學家的、曾有特殊功績的、卓越的數(shù)學家伽伽羅瓦表示敬意，于羅瓦表示敬意，于1909年年6月設置的。月設置的。 伽羅瓦的雙親都受過良好的教育。在父母的伽羅瓦的雙親都受過良好的教育。在父母的熏陶下，伽羅瓦童年時代就表現(xiàn)出有才能、認熏陶下，伽羅瓦童年時代就表現(xiàn)出有才能、認真、熱心等良好的品格。其父尼古拉真、熱心等良好的品格。其父尼古拉加布里埃加布里埃爾爾伽羅瓦參與政界活動屬自由黨人，是拿破侖伽羅瓦參與政界活動屬自由黨人，是拿破侖的積極支持者。主持過供少年就學的學校，任的積極支持者。主持過供少年就學的學校，任該校校長。又擔任拉賴因堡該校校長。又擔任拉賴因堡15年常任市長，深年常任市長，深受市

45、民的擁戴。伽羅瓦曾向同監(jiān)的難友勒斯受市民的擁戴。伽羅瓦曾向同監(jiān)的難友勒斯拜拜法國著名的政治家、化學家和醫(yī)生說過：法國著名的政治家、化學家和醫(yī)生說過：“父親是他的一切父親是他的一切”。 可見父親的政治態(tài)度和當時法國的革命熱潮對可見父親的政治態(tài)度和當時法國的革命熱潮對伽羅瓦的成長和處事有較大的影響。伽羅瓦的成長和處事有較大的影響。 伽羅瓦的母親瑪利亞伽羅瓦的母親瑪利亞阿代累達阿代累達伽羅瓦曾積伽羅瓦曾積極參與兒子的啟蒙教育。作為古代文化的熱烈極參與兒子的啟蒙教育。作為古代文化的熱烈愛好者，她把從拉丁和希臘文學中汲取來的英愛好者，她把從拉丁和希臘文學中汲取來的英勇典范介紹給她兒子。勇典范介紹給她兒子

46、。1848年發(fā)表在年發(fā)表在皮托雷皮托雷斯克畫報斯克畫報上有關伽羅瓦的傳記中，特別談到上有關伽羅瓦的傳記中，特別談到“伽羅瓦的第一位教師是他的母親，一個聰明伽羅瓦的第一位教師是他的母親，一個聰明兼有好教養(yǎng)的婦女，當他還在童稚時，她一直兼有好教養(yǎng)的婦女，當他還在童稚時，她一直給他上課給他上課”。這就為伽羅瓦在中學階段的學習。這就為伽羅瓦在中學階段的學習和以后攀登數(shù)學高峰打下了堅實的基礎。和以后攀登數(shù)學高峰打下了堅實的基礎。 1823年年l0月伽羅瓦年滿月伽羅瓦年滿12歲時，離開了雙歲時，離開了雙親，考入有名的路易親，考入有名的路易勒勒格蘭皇家中學。從他格蘭皇家中學。從他的老師們保存的有關他在中學生

47、活的回憶錄和的老師們保存的有關他在中學生活的回憶錄和筆記中，記載著伽羅瓦是位具有筆記中，記載著伽羅瓦是位具有“杰出的才杰出的才干干”，“舉止不凡舉止不凡”，但又，但又“為人乖僻、古怪、為人乖僻、古怪、過分多嘴過分多嘴”性格的人。我們認為這種性格說明性格的人。我們認為這種性格說明他有個性，而且早已顯露出強烈的求知欲的標他有個性，而且早已顯露出強烈的求知欲的標志。志。 伽羅瓦在路易伽羅瓦在路易勒勒格蘭皇家中學領獎學金，格蘭皇家中學領獎學金，完全靠公費生活。在第四、第三和第二年級完全靠公費生活。在第四、第三和第二年級時他都是優(yōu)等生，在希臘語作文總比賽中也時他都是優(yōu)等生，在希臘語作文總比賽中也獲得好評

48、，并且在獲得好評，并且在1826年年l0月轉到修辭班學習。月轉到修辭班學習。 但是第二學季一開始但是第二學季一開始(伽羅瓦這時剛滿伽羅瓦這時剛滿15歲歲)，由于教師們認為他的體格不夠強壯，校長認由于教師們認為他的體格不夠強壯，校長認為他的判斷力還有待為他的判斷力還有待“成熟成熟”，他不得不回，他不得不回到二年級。到二年級。 重修二年級，使伽羅瓦有機會毫無阻礙地重修二年級，使伽羅瓦有機會毫無阻礙地被批準去上初級數(shù)學的補充課程。自此他把大被批準去上初級數(shù)學的補充課程。自此他把大部分時間和主要精力用來研究、探討數(shù)學課本部分時間和主要精力用來研究、探討數(shù)學課本以外的高等數(shù)學。以外的高等數(shù)學。 伽羅瓦經

49、常到圖書館閱讀數(shù)學專著，特別伽羅瓦經常到圖書館閱讀數(shù)學專著，特別對一些數(shù)學大師，如對一些數(shù)學大師，如勒讓德勒讓德的的幾何原理幾何原理和和拉格朗日拉格朗日的的代數(shù)方程的解法代數(shù)方程的解法、解析函數(shù)解析函數(shù)論論、微積分學教程微積分學教程進行了認真分析和研進行了認真分析和研究，但他并未失去對其他科目的興趣。究，但他并未失去對其他科目的興趣。 因此，當因此，當1827年伽羅瓦回到修辭班時，他的年伽羅瓦回到修辭班時，他的全面發(fā)展甚至比他的數(shù)學的天分在同學之中更全面發(fā)展甚至比他的數(shù)學的天分在同學之中更加出人頭地了。但是他對其它科目的教科書的加出人頭地了。但是他對其它科目的教科書的內容以及教師所采用的教學法

50、之潦草馬虎感到內容以及教師所采用的教學法之潦草馬虎感到憤怒。所以有的教師認為他被數(shù)學的鬼魅迷住憤怒。所以有的教師認為他被數(shù)學的鬼魅迷住了心竅，有的教師用七個字了心竅，有的教師用七個字“平靜會使他激怒平靜會使他激怒”來形容他的行為。來形容他的行為。 這時伽羅瓦已經熟悉這時伽羅瓦已經熟悉歐拉、高斯、雅可比歐拉、高斯、雅可比的的著作，這更提高了他的信心，他認為他能夠做著作，這更提高了他的信心，他認為他能夠做到的，不會比這些大數(shù)學家們少。到了學年末，到的，不會比這些大數(shù)學家們少。到了學年末，他不再去聽任何專業(yè)課了，而在獨立地準備參他不再去聽任何專業(yè)課了，而在獨立地準備參加取得升入綜合技術學校資格的競賽

51、考試。結加取得升入綜合技術學校資格的競賽考試。結果盡管考試失敗，但果盡管考試失敗，但1828年年10月，他仍然從中月，他仍然從中學初級數(shù)學班跳到里夏爾的數(shù)學專業(yè)班。學初級數(shù)學班跳到里夏爾的數(shù)學專業(yè)班。 路易路易勒勒格蘭中學的數(shù)學專業(yè)班教師格蘭中學的數(shù)學專業(yè)班教師里夏爾里夏爾，在科學史上，他作為一個很有才華的教師使人在科學史上，他作為一個很有才華的教師使人追念。里夏爾不僅講課風格優(yōu)雅，而且善于發(fā)追念。里夏爾不僅講課風格優(yōu)雅，而且善于發(fā)掘天才。掘天才。 他遺留下的筆記中記載著：他遺留下的筆記中記載著：“伽羅瓦只宜伽羅瓦只宜在數(shù)學的尖端領域中工作在數(shù)學的尖端領域中工作”，“他大大地超過他大大地超過了

52、全體同學了全體同學”。 里夏爾幫助伽羅瓦于里夏爾幫助伽羅瓦于1828年在法國第一個專年在法國第一個專業(yè)數(shù)學雜志業(yè)數(shù)學雜志純粹與應用數(shù)學年報純粹與應用數(shù)學年報三月號上，三月號上，發(fā)表了他的第一篇論文發(fā)表了他的第一篇論文周期連分數(shù)一個周期連分數(shù)一個定理的證明定理的證明，并說服伽羅瓦向科學院遞送備，并說服伽羅瓦向科學院遞送備忘錄。忘錄。1829年，伽羅瓦在他中學學年快要結束年，伽羅瓦在他中學學年快要結束時，把他研究的初步結果的論文提交給法國科時，把他研究的初步結果的論文提交給法國科學院。學院。 1829年，中學學年結束后，伽羅瓦剛滿年，中學學年結束后，伽羅瓦剛滿18歲，他在報考巴黎綜合技術學校時，由

53、于在口歲，他在報考巴黎綜合技術學校時，由于在口試中主考的教授比內和勒費布雷試中主考的教授比內和勒費布雷德德富爾西對富爾西對伽羅瓦闡述的見解不理解，居然嘲笑他。伽羅伽羅瓦闡述的見解不理解，居然嘲笑他。伽羅瓦在提及這次考試時，曾寫道，他不得不聽瓦在提及這次考試時，曾寫道，他不得不聽“主考人的狂笑聲主考人的狂笑聲”。據(jù)說。據(jù)說“由于被狂笑聲所由于被狂笑聲所激怒激怒”，他把黑板擦布扔到主考人頭上，或是，他把黑板擦布扔到主考人頭上，或是因為他拒絕回答有關關于對數(shù)這樣的過于簡單因為他拒絕回答有關關于對數(shù)這樣的過于簡單的問題，所以再次遭到落選，伽羅瓦仍然是一的問題，所以再次遭到落選，伽羅瓦仍然是一個非正式的

54、預備生。個非正式的預備生。 1829年年7月月2日，正當伽羅瓦準備入學考試日，正當伽羅瓦準備入學考試時，他的父親由于受不了天主教牧師的攻擊、時，他的父親由于受不了天主教牧師的攻擊、誹謗而自殺了。這給了伽羅瓦很大的觸動，誹謗而自殺了。這給了伽羅瓦很大的觸動，他的思想開始傾向于共和主義。其后不久，他的思想開始傾向于共和主義。其后不久，伽羅瓦聽從里夏爾的勸告決定進師范大學，伽羅瓦聽從里夏爾的勸告決定進師范大學，這使他有可能繼續(xù)深造，同時生活費用也有這使他有可能繼續(xù)深造，同時生活費用也有了著落。了著落。1829年年10月月25日伽羅瓦被作為預備日伽羅瓦被作為預備生錄取入學。生錄取入學。 進入師范大學后

55、的一年對伽羅瓦來說是最進入師范大學后的一年對伽羅瓦來說是最順利的一年，順利的一年，1828年他的科學研究獲得了初步年他的科學研究獲得了初步成果。伽羅瓦寫了幾篇大文章，并提出自己的成果。伽羅瓦寫了幾篇大文章，并提出自己的全部著作來應征科學院的數(shù)學特獎。但在這里，全部著作來應征科學院的數(shù)學特獎。但在這里，他又一次遭到了新挫折：伽羅瓦的手稿原來交他又一次遭到了新挫折：伽羅瓦的手稿原來交給科學院常任秘書給科學院常任秘書傅立葉傅立葉，傅立葉收到手稿后，傅立葉收到手稿后不久就去世了。因而文章也被遺失了。這些著不久就去世了。因而文章也被遺失了。這些著作的某些抄本落到數(shù)學雜志作的某些抄本落到數(shù)學雜志費律薩克男

56、爵通費律薩克男爵通報報的雜志社手里，并在的雜志社手里，并在1830年的年的4月號和月號和6月月號上把它刊載了出來。號上把它刊載了出來。 在師范大學學習的第一年，伽羅瓦結認了在師范大學學習的第一年，伽羅瓦結認了奧古斯特奧古斯特舍瓦利葉舍瓦利葉，舍瓦利葉直到伽羅瓦臨，舍瓦利葉直到伽羅瓦臨終前一直是他的唯一親近的朋友。終前一直是他的唯一親近的朋友。1830年年7月，月，伽羅瓦將滿伽羅瓦將滿19歲。他在師范大學的第一年功課歲。他在師范大學的第一年功課行將結束。他這時寫成的數(shù)學著作，已經使人行將結束。他這時寫成的數(shù)學著作，已經使人有可能對他思想的獨創(chuàng)性和敏銳性作出評價。有可能對他思想的獨創(chuàng)性和敏銳性作出

57、評價。 1770年，年，拉格朗日拉格朗日精心分析了二次、三次、精心分析了二次、三次、四次方程根式解的結構之后，提出了方程的四次方程根式解的結構之后，提出了方程的預解式概念，并且還進一步看出預解式和方預解式概念，并且還進一步看出預解式和方程的各個根在排列置換下的形式不變性有關，程的各個根在排列置換下的形式不變性有關，這時他認識到求解一般五次方程的代數(shù)方法這時他認識到求解一般五次方程的代數(shù)方法可能不存在。此后，挪威數(shù)學家可能不存在。此后，挪威數(shù)學家阿貝爾阿貝爾利用利用置換群的理論，給出了高于四次的一般代數(shù)置換群的理論，給出了高于四次的一般代數(shù)方程不存在代數(shù)解的證明。方程不存在代數(shù)解的證明。 伽羅瓦

58、通過改進數(shù)學大師拉格朗日的思想，伽羅瓦通過改進數(shù)學大師拉格朗日的思想，即設法繞過拉氏預解式，但又從拉格朗日那里即設法繞過拉氏預解式，但又從拉格朗日那里繼承了問題轉化的思想，即把預解式的構成同繼承了問題轉化的思想，即把預解式的構成同置換群聯(lián)系起來的思想，并在阿貝爾研究的基置換群聯(lián)系起來的思想，并在阿貝爾研究的基礎上，進一步發(fā)展了他的思想，把全部問題礎上，進一步發(fā)展了他的思想，把全部問題轉轉化或歸結為置換群及其子群化或歸結為置換群及其子群結構的分析。結構的分析。 這個理論的大意是：每個方程對應于一個這個理論的大意是：每個方程對應于一個域，即含有方程全部根的域，稱為這方程的域，即含有方程全部根的域，

59、稱為這方程的伽羅瓦域，這個域對應一個群，即這個方程伽羅瓦域，這個域對應一個群，即這個方程根的置換群，稱為這方程的伽羅瓦群。伽羅根的置換群，稱為這方程的伽羅瓦群。伽羅瓦域的子域和伽羅瓦群的子群有一一對應關瓦域的子域和伽羅瓦群的子群有一一對應關系；當且僅當一個方程的伽羅瓦群是可解群系；當且僅當一個方程的伽羅瓦群是可解群時，這方程是根式可解的。時，這方程是根式可解的。 1829年，伽羅瓦在他中學最后一年快要結束年，伽羅瓦在他中學最后一年快要結束時，把關于群論初步研究結果的論文提交給法時，把關于群論初步研究結果的論文提交給法國科學院，科學院委托當時法國最杰出的數(shù)學國科學院，科學院委托當時法國最杰出的數(shù)

60、學家家柯西柯西作為這些論文的鑒定人。在作為這些論文的鑒定人。在1830年年1月月18日柯西曾計劃對伽羅瓦的研究成果在科學院舉日柯西曾計劃對伽羅瓦的研究成果在科學院舉行一次全面的意見聽取會。他在一封信中寫道：行一次全面的意見聽取會。他在一封信中寫道：“今天我應當向科學院提交一份關于年輕的伽今天我應當向科學院提交一份關于年輕的伽羅瓦的工作報告羅瓦的工作報告但因病在家，我很遺憾未但因病在家，我很遺憾未能出席今天的會議，希望你安排我參加下次會能出席今天的會議，希望你安排我參加下次會議，討論已指明的議題。議，討論已指明的議題?！?然而，第二周當柯西向科學院宣讀他自己然而，第二周當柯西向科學院宣讀他自己的

61、一篇論文時，并未介紹伽羅瓦的著作，這的一篇論文時，并未介紹伽羅瓦的著作，這是一個非常微妙的是一個非常微妙的“事故事故”。 1830年年2月，伽羅瓦將他的研究成果比較詳月，伽羅瓦將他的研究成果比較詳細地寫成論文交上去了，以參加科學院的數(shù)學細地寫成論文交上去了，以參加科學院的數(shù)學大獎評選，希望能夠獲獎。論文寄給當時科學大獎評選，希望能夠獲獎。論文寄給當時科學院終身秘書院終身秘書傅立葉傅立葉，但傅立葉在當年，但傅立葉在當年5月去世月去世了，在他的遺物中未能發(fā)現(xiàn)伽羅瓦的手稿。就了，在他的遺物中未能發(fā)現(xiàn)伽羅瓦的手稿。就這樣，伽羅瓦遞交的兩次數(shù)學論文都被遺失了。這樣，伽羅瓦遞交的兩次數(shù)學論文都被遺失了。

62、1831年年1月，伽羅瓦在尋求確定方程的可月，伽羅瓦在尋求確定方程的可解性這個問題上，又得到一個結論，他寫成論解性這個問題上，又得到一個結論，他寫成論文提交給法國科學院。這篇論文是伽羅瓦關于文提交給法國科學院。這篇論文是伽羅瓦關于群論的重要著作，當時負責審查的數(shù)學家群論的重要著作，當時負責審查的數(shù)學家泊阿泊阿松松為理解這篇論文絞盡腦汁。傳說泊阿松將這為理解這篇論文絞盡腦汁。傳說泊阿松將這篇論文看了四個月，最后結論居然是篇論文看了四個月，最后結論居然是“完全不完全不能理解能理解”。盡管借助于拉格朗日已證明的一個。盡管借助于拉格朗日已證明的一個結果可以表明伽羅瓦所要證明的論斷是正確的，結果可以表明

63、伽羅瓦所要證明的論斷是正確的，但最后他還是建議科學院否定它。但最后他還是建議科學院否定它。 對事業(yè)必勝的信念激勵著年輕的伽羅瓦。雖對事業(yè)必勝的信念激勵著年輕的伽羅瓦。雖然他的論文一再被丟失，得不到應有的支持，然他的論文一再被丟失，得不到應有的支持，但他并沒有灰心，他堅持他的科研成果，不僅但他并沒有灰心，他堅持他的科研成果，不僅一次又一次地想辦法傳播出去，還進一步向更一次又一次地想辦法傳播出去，還進一步向更廣的領域探索。廣的領域探索。 伽羅瓦誕生在拿破侖帝國時代，經歷了波伽羅瓦誕生在拿破侖帝國時代，經歷了波旁王朝的復辟時期，又趕上路易旁王朝的復辟時期，又趕上路易腓力浦朝代腓力浦朝代初期，他是當時

64、最先進的革命政治集團初期，他是當時最先進的革命政治集團共和派的秘密組織共和派的秘密組織“人民之友人民之友”的成員，并的成員，并發(fā)誓：發(fā)誓：“如果為了喚起人民需要我死，我愿如果為了喚起人民需要我死，我愿意犧牲自己的生命意犧牲自己的生命”。 伽羅瓦敢于對政治上的動搖分子和兩面派伽羅瓦敢于對政治上的動搖分子和兩面派進行頑強的斗爭，年輕熱情的伽羅瓦對師范進行頑強的斗爭，年輕熱情的伽羅瓦對師范大學教育組織極為不滿。由于他揭發(fā)了校長大學教育組織極為不滿。由于他揭發(fā)了校長吉尼奧對法國七月革命政變的兩面派行為，吉尼奧對法國七月革命政變的兩面派行為，被吉尼奧的忠實朋友，皇家國民教育委員會被吉尼奧的忠實朋友，皇家

65、國民教育委員會顧問庫申起草報告，皇家國民教育委員會顧問庫申起草報告，皇家國民教育委員會1831年年1月月8日批準立即將伽羅瓦開除出師范日批準立即將伽羅瓦開除出師范大學。大學。 之后，他進一步積極參加政治活動。之后，他進一步積極參加政治活動。1831年年5月月l0日，伽羅瓦以日，伽羅瓦以“企圖暗殺國王企圖暗殺國王”的罪名的罪名被捕。在被捕。在6月月155日陪審法庭上，由于共和黨人日陪審法庭上，由于共和黨人的律師竇本的努力，伽羅瓦被宣告無罪當場獲的律師竇本的努力，伽羅瓦被宣告無罪當場獲釋。七月，被反動王朝視為危險分子的伽羅瓦釋。七月，被反動王朝視為危險分子的伽羅瓦在國慶節(jié)示威時再次被抓，被關在圣佩

66、拉吉監(jiān)在國慶節(jié)示威時再次被抓，被關在圣佩拉吉監(jiān)獄，在這里慶祝過他的獄，在這里慶祝過他的20歲生日，渡過了他生歲生日，渡過了他生命的最后一年的大部分時間。命的最后一年的大部分時間。 在監(jiān)獄中伽羅瓦一方面與官方進行不妥協(xié)在監(jiān)獄中伽羅瓦一方面與官方進行不妥協(xié)的斗爭，另一面他還抓緊時間刻苦鉆研數(shù)學。的斗爭，另一面他還抓緊時間刻苦鉆研數(shù)學。盡管牢房里條件很差，生活艱苦，他仍能靜盡管牢房里條件很差，生活艱苦，他仍能靜下心來在數(shù)學王國里思考。下心來在數(shù)學王國里思考。 伽羅瓦在圣佩拉吉監(jiān)獄中寫成的研究報告伽羅瓦在圣佩拉吉監(jiān)獄中寫成的研究報告中寫道：中寫道：“把數(shù)學運算歸類，學會按照難易把數(shù)學運算歸類，學會按照難易程度，而不是按照它們的外部特征加以分類，程度，而不是按照它們的外部特征加以分類，這就是我所理解的未來數(shù)學家的任務，這就這就是我所理解的未來數(shù)學家的任務，這就是我所要走的道路。是我所要走的道路?！?請注意到請注意到“把數(shù)學運算歸類把數(shù)學運算歸類”這句話，道這句話，道出了他的理想、他的道路。毋庸置疑，這句話出了他的理想、他的道路。毋庸置疑，這句話系指點目前所稱的群論。由于系指點目前所稱的群論。由于