高考數(shù)學(xué) 專題二 數(shù)列 第2講 數(shù)列的求和問題 理

第2講數(shù)列的求和問題專題二數(shù)列板塊三專題突破核心考點考情考向分析高考對數(shù)列求和的考查主要以解答題的形式出現(xiàn)，通過分組轉(zhuǎn)化、錯位相減、裂項相消等方法求一般數(shù)列的和，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想.熱點分類突破真題押題精練內(nèi)容索引熱點分類突破有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項拆開或變形，可轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并.熱點一分組轉(zhuǎn)化法求和解答例例1(2018西南名校聯(lián)盟月考)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a1a34，a3是a22與a4的等差中項，若an1 (nN*).(1)求數(shù)列bn的通項公式；2nb解解設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，且q0，由an0，a1a34，得a22，又a3是a22與a4的等差中項，故2a3a22a4，22q222q2，q2或q0(舍).ana2qn22n1，an12n ，bnn(nN*).2nb解答在處理一般數(shù)列求和時，一定要注意使用轉(zhuǎn)化思想.把一般的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進行求和，在求和時要分清楚哪些項構(gòu)成等差數(shù)列，哪些項構(gòu)成等比數(shù)列，清晰正確地求解.在利用分組求和法求和時，由于數(shù)列的各項是正負交替的，所以一般需要對項數(shù)n進行討論，最后再驗證是否可以合并為一個公式.思維升華思維升華解答跟蹤演練跟蹤演練1(2018焦作模擬)已知an為等差數(shù)列，且a23，an前4項的和為16，數(shù)列bn滿足b14，b488，且數(shù)列bnan為等比數(shù)列(nN*).(1)求數(shù)列an和bnan的通項公式；解解設(shè)an的公差為d，因為a23，an前4項的和為16，解得a11，d2，所以an1(n1)22n1(nN*).設(shè)bnan的公比為q，則b4a4(b1a1)q3，所以bnan(41)3n13n(nN*).解答(2)求數(shù)列bn的前n項和Sn.解解由(1)得bn3n2n1，所以Sn(332333n)(1352n1)熱點二錯位相減法求和錯位相減法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列anbn的前n項和，其中an，bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.解答例例2(2018百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知數(shù)列an滿足a1a3，an1 ，設(shè)bn2nan(nN*).(1)求數(shù)列bn的通項公式；所以bnb13(n1)3n1(nN*).所以數(shù)列bn是公差為3的等差數(shù)列，又a1a3，(2)求數(shù)列an的前n項和Sn.解答(1)錯位相減法適用于求數(shù)列anbn的前n項和，其中an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列.(2)所謂“錯位”，就是要找“同類項”相減.要注意的是相減后得到部分求等比數(shù)列的和，此時一定要查清其項數(shù).(3)為保證結(jié)果正確，可對得到的和取n1,2進行驗證.思維升華思維升華跟蹤演練跟蹤演練2(2018濱海新區(qū)七所重點學(xué)校聯(lián)考)已知數(shù)列an的前n項和是Sn，且Sn an1(nN*).數(shù)列bn是公差d不等于0的等差數(shù)列，且滿足：b1 a1，b2，b5，b14成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an，bn的通項公式；解答b11，d22d0，因為d0，解得d2，bn2n1(nN*).(2)設(shè)cnanbn，求數(shù)列cn的前n項和Tn.解答裂項相消法是指把數(shù)列和式中的各項分別裂開后，某些項可以相互抵消從而求和的方法，主要適用于 或 (其中an為等差數(shù)列)等形式的數(shù)列求和.熱點三裂項相消法求和解答例例3(2018天津市十二校模擬)已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足：Sna(Snan1) (nN*)(a為常數(shù)，a0，a1).(1)求an的通項公式；解解Sna(Snan1)，n1時，a1a.n2時，Sn1a(Sn1an11)，SnSn1ana(SnSn1)aanaan1，數(shù)列an是以a為首項，a為公比的等比數(shù)列，anan(nN*).解答(2)設(shè)bnanSn，若數(shù)列bn為等比數(shù)列，求a的值；解解由bnanSn得，b12a，b22a2a，b32a3a2a.數(shù)列bn為等比數(shù)列，解答(1)裂項相消法的基本思想就是把通項an分拆成anbnkbn(k1，kN*)的形式，從而在求和時達到某些項相消的目的，在解題時要善于根據(jù)這個基本思想變換數(shù)列an的通項公式，使之符合裂項相消的條件. (2)常用的裂項公式思維升華思維升華解答跟蹤演練跟蹤演練3(2018華大新高考聯(lián)盟質(zhì)檢)已知數(shù)列an為遞增數(shù)列，a11，其前n項和為Sn，且滿足2Sna 2Sn11(n2，nN*).(1)求數(shù)列an的通項公式；又數(shù)列an為遞增數(shù)列，a11，anan10，anan12(n3)，a2a12，符合anan12，an是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，an1(n1)22n1(nN*).解答又nN*，n的最小值為10.真題押題精練真題體驗答案解析解析解析 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，2.(2017天津)已知an為等差數(shù)列，前n項和為Sn(nN*)，bn是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2b312，b3a42a1，S1111b4.(1)求an和bn的通項公式；解答解解設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q.由已知b2b312，得b1(qq2)12，而b12，所以q2q60.又因為q0，解得q2，所以bn2n.由b3a42a1，可得3da18，由S1111b4，可得a15d16，聯(lián)立，解得a11，d3，由此可得an3n2(nN*).所以數(shù)列an的通項公式為an3n2(nN*)，數(shù)列bn的通項公式為bn2n(nN*).(2)求數(shù)列a2nb2n1的前n項和(nN*).解答解解設(shè)數(shù)列a2nb2n1的前n項和為Tn，由a2n6n2，b2n124n1，得a2nb2n1(3n1)4n，故Tn24542843(3n1)4n，4Tn242543844(3n4)4n(3n1)4n1， ，得3Tn2434234334n(3n1)4n1押題預(yù)測答案解析押題依據(jù)押題依據(jù)押題依據(jù)數(shù)列的通項以及求和是高考重點考查的內(nèi)容，也是考試大綱中明確提出的知識點，年年在考，年年有變，變的是試題的外殼，即在題設(shè)的條件上有變革，有創(chuàng)新，但在變中有不變性，即解答問題的常用方法有規(guī)律可循.1押題依據(jù)押題依據(jù)錯位相減法求和是高考的重點和熱點，本題先利用an，Sn的關(guān)系求an，也是高考出題的常見形式.解答押題依據(jù)解解當n1時，a1S11，當n2時，anSnSn12n1(nN*)，又a11滿足an2n1，an2n1(nN*).且bn0，2bn1bn，解答(2)設(shè)cnanbn，求數(shù)列cn的前n項和Tn.