數(shù)學(xué)第四章 三角函數(shù) 4.1 三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系式及誘導(dǎo)公式

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1、第四章 三角函數(shù)4.1 三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系式及誘導(dǎo)公式高考數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系式和誘導(dǎo)公式考點(diǎn)三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系式和誘導(dǎo)公式1.弧度與角度的互化(1)圓弧的長(zhǎng)等于半徑長(zhǎng)時(shí),這條圓弧所對(duì)的圓心角叫1弧度的角,用符號(hào)rad表示.(2)如果半徑為R的圓的圓心角所對(duì)弧的長(zhǎng)為l,那么,角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是|=.(3)扇形半徑為R,圓心角的弧度數(shù)是,則這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)l=|R,面積S=|R2,周長(zhǎng)C=|R+2R.(4)1 rad57.30=5718.lR12知識(shí)清單2.任意角的定義 角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成

2、的圖形.3.角的推廣(1)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫正角;按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫負(fù)角 ;一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)形成的角叫零角 .(2)如果角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,那么,角的終邊在第幾象限,這個(gè)角就叫第幾象限角.(3)所有與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),構(gòu)成的角的集合是|=+k360,kZ .(4)終邊在x軸上的角的集合是|=k180,kZ,終邊在y軸上的角的集合是|=k180+90,kZ .(5)時(shí),sin 0,且a1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P,若角的終邊過(guò)點(diǎn)P,則cos2+sin 2的值等于()A.- B. C. D.- 1212710710方法1方法技巧A解題導(dǎo)引

3、求點(diǎn)P的坐標(biāo)由三角函數(shù)定義求sin ,cos 的值利用二倍角公式得結(jié)論 解析由題意知,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,3),所以sin =,cos =-,所以sin 2=2sin cos =-,所以cos2+sin 2=-=-,故選A. 310110351103512 同角三角函數(shù)的關(guān)系式及誘導(dǎo)公式的解題策略同角三角函數(shù)的關(guān)系式及誘導(dǎo)公式的解題策略對(duì)于sin +cos ,sin cos ,sin -cos 這三個(gè)式子,已知其中一個(gè)式子的值,可以求出其余兩個(gè)式子的值,如:(sin +cos )2=1+2sin cos ;(sin -cos )2=1-2sin cos ;(sin +cos )2+(sin -

4、cos )2=2.例2 (2017浙江鎮(zhèn)海中學(xué)階段性測(cè)試,15)已知3sin +4cos =5,則tan = .方法2解題導(dǎo)引 導(dǎo)引一:把等式變形后兩邊平方,整理得關(guān)于cos 的方程解方程求得cos 的值,進(jìn)而求得sin 的值由商數(shù)關(guān)系得結(jié)論導(dǎo)引二:把等式兩邊平方,逆用cos2+sin2=1,化為關(guān)于cos ,sin 的齊次式利用“弦化切”,得關(guān)于tan 的方程解方程得結(jié)論導(dǎo)引三:構(gòu)造“對(duì)偶式”4sin -3cos =x與已知式分別平方,再相加,求得x結(jié)論導(dǎo)引四:引入輔助角,得到與 的關(guān)系利用誘導(dǎo)公式求出sin ,cos 由商數(shù)關(guān)系得結(jié)論 導(dǎo)引五:利用三角函數(shù)定義轉(zhuǎn)化為求角的終邊所在直線的斜率

5、利用平方關(guān)系和已知條件知直線與圓相切由直線與圓相切得結(jié)論導(dǎo)引六:構(gòu)造向量把三角函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題利用向量共線得結(jié)論解析解法一:由題易知3sin =5-4cos ,兩邊平方得9sin2=25-40cos +16cos2 ,即25cos2-40cos +16=0,得cos =,則sin =,故tan =.解法二:把等式平方得(3sin +4cos )2=25,即9sin2+24sin cos +16cos2=25(sin2+cos2),兩邊同時(shí)除以cos2,整理得16tan2-24tan +9=0,解得tan =.解法三:設(shè)4sin -3cos =x,則x2+25=(4sin -3cos )2

6、+(3sin +4cos )2=25,從而有x=0,則tan =.4535343434解法四:因?yàn)?sin +4cos =5sin(+),其中cos =,sin =.易知sin(+)=1,有+=2k+(kZ),則sin =sin=cos =,cos =cos=sin =,故tan =.解法五:設(shè)x=cos ,y=sin ,則有4x+3y=5,且x2+y2=1,從而角終邊上的點(diǎn)P(x,y)在單位圓上,且在直線l:4x+3y=5上.又直線l與單位圓相切,故直線l與角的終邊所在直線垂直,所以角的終邊所在直線的斜率為,故tan =3545222k3522k453434=.解法六:設(shè)a=(sin ,cos ),b=(3,4),ab=|a|b|,故a與b方向相同.則存在0,使得a=b,即sin =3,cos =4,故tan =.yx343434答案 34