高考物理選修知識點知識講解動量守恒定律的應(yīng)用（碰撞）基礎(chǔ)

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1、 動量守恒定律的應(yīng)用（碰撞） 編稿：張金虎 審稿：吳楠楠 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．知道什么是彈性碰撞和非彈性碰撞； 2．知道什么是對心碰撞和非對心碰撞及散射現(xiàn)象； 3．會運用動量守恒定律分析，解決碰撞物體相互作用的問題． 【要點梳理】 要點一、碰撞 1．碰撞及類碰撞過程的特點 （1）時間特點：在碰撞、爆炸等現(xiàn)象中，相互作用時間很短． （2）相互作用力特點：在相互作用過程中，相互作用力先是急劇增大，然后再急劇減小，平均作用力很大． （3）動量守恒條件特點：系統(tǒng)的內(nèi)力遠遠大于外力，所以，系統(tǒng)即使所受外力之和不為零，外

2、力也可以忽略，系統(tǒng)的總動量守恒． （4）位移特點：碰撞、爆炸過程是在一瞬間發(fā)生的，時間極短，所以，在物體發(fā)生碰撞、爆炸的瞬間，可忽略物體的位移．可以認為物體在碰撞、爆炸前后仍在同一位置． （5）能量特點：碰撞過程中，一般伴隨著機械能的損失，碰撞后系統(tǒng)的總動能要小于或等于碰撞前系統(tǒng)的總動能，即： ． （6）速度特點：碰后必須保證不穿透對方． 2．碰撞的分類 （1）按碰撞過程中動能的損失情況，可將碰撞分為彈性碰撞和非彈性碰撞． ①彈性碰撞：碰撞過程中機械能不損失，即碰撞前后系統(tǒng)總動能守恒： ． ②非彈性碰撞；碰撞過程中機械能有損失，系統(tǒng)總動能不守恒： ．

3、 ③完全非彈性碰撞：碰撞后兩物體“合”為一體，具有共同的速度，這種碰撞動能損失最大． （2）按碰撞前后，物體的運動方向是否沿同一條直線，可將碰撞分為正碰和斜碰． ①正碰：碰撞前后，物體的運動方向在同一條直線上，也叫對心碰撞． ②斜碰：碰撞前后，物體的運動方向不在同一條直線上，也叫非對心碰撞． 高中階段一般只研究正碰的情況． ③散射 指微觀粒子之間的碰撞． 要點詮釋：由于粒子與物質(zhì)微粒的碰撞并非直接接觸，而是相互靠近，且發(fā)生對心碰撞的概率很小，所以多數(shù)粒子在碰撞后飛向四面八方． 要點二、碰撞問題的處理方法 1

4、．解析碰撞問題的三個依據(jù) （1）動量守恒，即 ． （2）動能不增加，即 ． 或 ． （3）速度要符合情境：如果碰前兩物體同向運動，則后面物體的速度必大于前面物體的速度，即 ， 否則無法實現(xiàn)碰撞． 碰撞后，原來在前的物體的速度一定增大，且原來在前的物體速度大于或等于原來在后的物體的速度．即 ， 否則碰撞沒有結(jié)束． 如果碰前兩物體是相向運動，則碰后，兩物體的運動方向不可能都不改變，除非兩物體碰撞后速度均為零． 2．爆炸問題 爆炸與碰撞的共同點是物理過程劇烈，系統(tǒng)內(nèi)物體的相互作用力（內(nèi)力）很大，過程持續(xù)時間很短，即使系統(tǒng)所受合外力不為零，但合外力的沖量幾乎為零，

5、故系統(tǒng)的動量幾乎不變，所以爆炸過程中可以近似認為動量守恒． 要點詮釋：爆炸與碰撞的不同點是爆炸過程中有其他形式的能向動能轉(zhuǎn)化，故爆炸過程中系統(tǒng)的動能會增加． 要點三、彈性正碰 1．彈性正碰的討論 如圖所示，在光滑水平面上質(zhì)量為的小球以速度與質(zhì)量為的靜止小球發(fā)生彈性正碰．討論碰后兩球的速度和． 根據(jù)動量守恒和動能守恒有： ， ， 解上面兩式可得： 碰后的速度 ， 碰后的速度 ． 討論： （1）若，和都是正值，表示和都與方向相同．（若，，，則：，，表示的速度不變，以的速度被

6、撞出去）． （2）若，為負值，表示與方向相反，被彈回．（若，這時，，，，表示被反向以原速率彈回，而仍靜止）． （3）若，則有，，即碰后兩球速度互換． 2．拓展 　　設(shè)在光滑的水平面上質(zhì)量為的小球以速度去碰撞質(zhì)量為、速度為的小球發(fā)生彈性正碰，試求碰后兩球的速度和。 　　根據(jù)動量守恒定律和動能守恒有： 　　　　 　　可得： 　　　?。? ． 　　同學(xué)們可以自己討論由于兩個物體質(zhì)量的關(guān)系而引起的碰撞后兩物體的不同運動情況。 要點四、碰撞的臨界問題 碰撞的物理特征是相互作用時間短暫，作用力大．相互作用的兩個物體在很多情況下可當(dāng)作碰撞處理，比如各種打擊現(xiàn)象

7、，車輛的掛接、繩的繃緊過程等．那么對相互作用中兩物體相距恰“最近”、相距恰“最遠”或恰上升到“最高點”等一類臨界問題，求解的關(guān)鍵都是“速度相等”．具體分析如下： （1） 如圖所示： 光滑水平面上的物體以速度去撞擊靜止的物體，兩物體相距最近時，兩物體速度必定相等，此時彈簧最短，其壓縮量最大． （2） 如圖所示： 物體以速度滑到靜止在光滑水平面上的小車上，當(dāng)在上滑行的距離最遠時，相對靜止，兩物體的速度必定相等． （3） 如圖所示： 質(zhì)量為的滑塊靜止在光滑水平面上，滑塊的光滑弧面底部與桌面相切，一個質(zhì)量為的小球以速度

8、向滑塊滾來設(shè)小球不能越過滑塊，則小球到達滑塊上的最高點時（即小球豎直方向上的速度為零），兩物體的速度肯定相等（方向為水平向右）． 歷史上查德威克通過測量中子質(zhì)量從而發(fā)現(xiàn)中子．中子的發(fā)現(xiàn)運用了動量守恒定律和能量守恒定律，證明了這兩個定律的普遍適用性． 【例】1930年科學(xué)家用放射性物質(zhì)中產(chǎn)生的粒子轟擊鈹時，產(chǎn)生了一種看不見的、貫穿能力極強的不帶電未知粒子．該未知粒子跟靜止的氫核正碰，測出碰撞后氫核速度是，該未知粒子跟靜止的氮核正碰，測出碰撞后氮核速度是．已知氫核質(zhì)量是，氮核質(zhì)量是，假定上述碰撞是彈性碰撞，求未知粒子的質(zhì)量． 【解析】設(shè)未知粒子質(zhì)量為，初速為，與氫核碰

9、撞后速度為，根據(jù)動量守恒和動能守恒有 ， ① ， ② 聯(lián)立①②解得 ． ③ 同理，對于該粒子與氮核碰撞有 ④ 聯(lián)立③④解得 ． 這種未知粒子質(zhì)量跟氫核質(zhì)量差不多．（即中子） 【典型例題】 類型一、碰撞中的可能性問題 例1．質(zhì)量為的小球，沿光滑水平面以速度與質(zhì)量為的靜止小球發(fā)生正碰．碰撞后，球的動能變?yōu)樵瓉淼模敲葱∏虻乃俣瓤赡苁牵? ）． 　　　　 A． B． C． D． 【思路點撥】動量守恒定律是一個矢

10、量式，所以要注意球速度的方向性。 【答案】A、B 【解析】要注意的是，兩球的碰撞不一定是彈性碰撞，球碰后動能變?yōu)樵瓉淼?／9，則其速度大小僅為原來的．兩球在光滑水平面上正碰，碰后球的運動有兩種可能，繼續(xù)沿原方向運動或被反彈． 當(dāng)以球原來的速度方向為正方向時，則 ， 根據(jù)兩球碰撞前、后的總動量守恒，有 　　， 　?。? 解得 ， ． 【總結(jié)升華】在本題中告訴球碰后的動能而非速度，所以在應(yīng)用動量守恒時造成了第一個困難；動量守恒定律是一個矢量式，所以要注意球速度的方向性，而題中告訴的是球的動能，由此求出的是速度的大小，往往只考慮到球碰后

11、速度的一個方向從而造成答案不全面． 舉一反三： 【高清課堂：碰撞 例2】 【變式1】在光滑水平面上,動能為、動量的大小為的小鋼球與靜止小鋼球發(fā)生碰撞.碰撞前后球的運動方向相反.將碰撞后球的動能和動量的大小分別記為，球的動能和動量的大小分別記為,則必有（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】分別運用 、 、 進行分析即可得出正確結(jié)論。 【變式2】質(zhì)量為的物塊以速度運動，與質(zhì)量為的靜止物塊發(fā)生正碰，碰撞兩者的動量正好相等.兩者質(zhì)量之比可能是（ ） 【答案】A　B 【解析】設(shè)碰前的

12、動量為,碰后的動量為,由動量守恒定律得 由能量關(guān)系得 . 【高清課堂：碰撞 例3】 【變式3】甲乙兩球在水平光滑軌道上向同方向運動，已知它們的動量分別是，甲從后面追上乙并發(fā)生碰撞，碰后乙球的動量變?yōu)?。則兩球質(zhì)量與間的關(guān)系可能是下面的哪幾種？（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】動量守恒： ． 能量不增加： 得：． 符合實際： 得：． 得：． 綜上： ． 所以C正確。 例2．質(zhì)量相等的、兩球在光滑水平面上沿同一直線、同一方向運動，球的動量是，球的動

13、量是，當(dāng)球追上球時發(fā)生碰撞，則碰撞后、兩球的動量可能值為：（　 ） 　　A. 　　　　 B. 　　C. 　　　 D. 【答案】A　 　　【解析】碰撞前后動量守恒： ， 可驗證ABC都有可能，而總動能只有守恒或者減少即： ， 可知只有A選項是正確的。 　　【總結(jié)升華】此題屬于碰撞類問題，解答此題要注意，兩球的碰撞不一定是彈性碰撞，所以它們的動量守恒，但動能不一定守恒。 　碰撞要符合： 　　(1)動量守恒，即 ； 　　(2)動能不增加，即 或者 ； 　　(3)速度要符合場景：碰撞后，原來在前的物體的速度一定增大，且原來在前的物體速度大于或等于原來在后的物

14、體的速度。即 ． 舉一反三： 【變式1】在一條直線上，運動方向相反的兩球發(fā)生正碰。以球的運動方向為正，碰前球、球的動量分別是。若兩球所在的水平面是光滑的，碰后各自的動量可能是：（　 ） 　　A.　　　　　 B. 　　C. 　　　　　D. 　　【答案】BC 【解析】碰撞前后動量守恒： ， 而總動能只有守恒或者減少： 　　經(jīng)計算可知D選項錯誤；再仔細分析A、B、C中的速度關(guān)系，發(fā)現(xiàn)選項A中，碰后兩小球的速度方向不變，好像二者相互穿過一樣，故A錯誤。 【高清課堂：碰撞 例1】 【變式2】在光滑的水平面上一個質(zhì)量的大球以的速度撞擊一個靜止在水平面上的質(zhì)量

15、為的小球。用和表示碰撞后大球和小球的速度，下列幾組數(shù)據(jù)中哪些是可能發(fā)生的，哪些是不可能發(fā)生，原因是什么？ (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) 不可能；(4) (5) (6) 可能. 【解析】總動量：，總能量：. 用和表示碰撞后大球和小球的速度： 若彈性碰撞： 若完全非彈性碰撞： 的速度范圍： 的速度范圍： 逐條分析： (1) 動量不守恒 （不可能） (2) 不符合常理 （不可能） (3) 能

16、量不守恒 （不可能） (4) 彈性碰撞 （可能） (5) 完全非彈性碰撞 （可能） (6) 一般非彈性碰撞 （可能） 類型二、彈性碰撞　　　　　　 例3．兩個完全相同的小鋼球在光滑的水平面上分別以和的速率相向運動，求它們發(fā)生正碰后的速度和。 【思路點撥】彈性碰撞不僅符合動量守恒而且也符合能量守恒，兩者要結(jié)合起來應(yīng)用。 【答案】；. 【解析】設(shè)兩個小球的質(zhì)量分別為和，碰前的速度分別為和，碰撞后的速度分別為和，有： 　　　　　 　　可得： ． ．

17、　　　　　 　　【總結(jié)升華】兩個小球的碰撞看成是彈性碰撞，所以碰撞中的動量能量都守恒。碰后兩球交換速度。彈性碰撞不僅符合動量守恒而且也符合能量守恒，兩者要結(jié)合起來應(yīng)用。 舉一反三： 【變式】速度為的氦核與靜止的質(zhì)子發(fā)生正碰，氦核的質(zhì)量為質(zhì)子的4倍，碰撞是彈性碰撞，求碰撞后兩個粒子的速度。 　　【答案】 ． 【解析】設(shè)質(zhì)子的質(zhì)量為則氦核的質(zhì)量為，碰前的速度氦核為質(zhì)子為，碰撞后的速度分別為和，有 　　可得： ． ． 類型三、完全非彈性碰撞 例4、(2015 吉林三模)如圖兩擺擺長相同，懸掛于同一高度，A、B兩擺球體積均很

18、小，當(dāng)兩擺均處于自由靜止?fàn)顟B(tài)時，其側(cè)面剛好接觸。向右上方拉動B球使其擺線伸直并與豎直方向成60°角，然后將其由靜止釋放。在最低點兩擺球粘在一起擺動，且最大擺角成37°，忽略空氣阻力。求： ①A球和B球質(zhì)量之比 ②兩球在碰撞過程中損失的機械能與B球在碰前的最大動能之比 【答案】①A球和B球質(zhì)量之比為； ②兩球在碰撞過程中損失的機械能與B球在碰前的最大動能之比。 【解析】設(shè)擺球A、B的質(zhì)量分別為、，擺長為l，B球的初始高度為h1，碰撞前B球的速度為vB.在不考慮擺線質(zhì)量的情況下， 根據(jù)題意及機械能守恒定律得： 得： 設(shè)碰撞后兩擺球的速度為共同擺起到，由機械能守恒定律有：

19、 解得： 兩球在碰撞過程中由動量守恒定律有： 解得： ②兩球在碰撞過程中損失的機械能 所以： 【總結(jié)升華】完全非彈性碰撞，碰撞中動量守恒，能量減小。 舉一反三: 【變式】(2015 煙臺模擬)用輕質(zhì)彈簧相連的質(zhì)量均為2kg的A、B兩物塊都以v＝6m/s的速度在光滑的水平地面上運動，彈簧處于原長，質(zhì)量為4kg的物塊C靜止于前方，如圖所示，B與C碰撞后二者粘在一起運動，求： ①當(dāng)彈簧的彈性勢能最大時，物塊A的速度多大? ②彈簧彈性勢能的最大值是多少? C A B 【答案】①當(dāng)彈簧的彈性勢能最大時，物塊A的速度為； ②彈簧彈性勢能的最大值是。 【解析】①當(dāng)A、

20、B、C三者的速度相等時彈簧的彈性勢能最大． 由A、B、C三者組成的系統(tǒng)動量守恒得： 解得： ②B、C碰撞時，B、C系統(tǒng)動量守恒，設(shè)B、C相碰時的共同速度為，則： 設(shè)彈簧的最大彈性勢能為，根據(jù)機械能守恒得： 解得： 類型四、碰撞中的臨界問題 例5.將兩條完全相同的磁鐵（磁性極強）分別固定在質(zhì)量相等的小車上，水平面光滑。開始時甲車速度大小為，乙車速度大小為，方向相反并在同一直線上，如圖所示。 　?。?）當(dāng)乙車速度為零時（即乙車開始反向運動時），甲車的速度多大？方向如何？ 　　（2）由于磁性極強，故兩車不會相碰，那么兩車的距離最小時，乙車的速度是多大？方向如何？ 　

21、　　　　　 　　【思路點撥】要挖掘出兩車距離最小時的臨界隱含條件。 【答案】（1），方向向右. （2）,方向向右. 【解析】兩個小車及磁鐵組成的系統(tǒng)在水平方向不受外力作用，系統(tǒng)水平動量守恒，設(shè)向右為正方向。 　?。?）據(jù)動量守恒知 ， 代入數(shù)據(jù)解得 ，方向向右。 　?。?）兩車距離最小時，兩車速度相同，設(shè)為，由動量守恒知 　　　　 　　解得： ， 方向向右。 　　【總結(jié)升華】此題中地面光滑，系統(tǒng)不受外力，動量守恒，但問題中涉及兩車不相碰又屬臨界問題。本題是一個臨界極值問題，解此問題的關(guān)鍵是要挖掘出兩車距離最小時的臨界隱含條件：兩車速度相等 舉一反三： 　　

22、【變式】如圖所示，甲、乙兩小孩各乘一輛小車在光滑水平面上勻速相向行使，速率均為，甲車上有質(zhì)量的小球若干個，甲和他的車及所帶小球總質(zhì)量，乙和他的車總質(zhì)量，甲不斷地將小球一個一個地以的水平速度（相對于地面）拋向乙，并被乙接住，問：甲至少要拋出多少個小球，才能保證兩車不會相碰？ 　 　　　　　 　　 【答案】. 【解析】兩車不相碰的臨界條件是它們的最后速度（對地）相同，由該系統(tǒng)動量守恒，以甲運動方向為正方向，得： 　　　　 　　　 ① 　　再以甲及小球為系統(tǒng)，同樣得： 　　　　　　　 ?、? 　　由①②

23、解得： . 類型五、爆炸類問題 例6. 手榴彈在離地高處時的速度方向恰好沿水平方向，速度大小為，此時，手榴彈砸裂成質(zhì)量相等的兩塊，設(shè)消耗的火藥質(zhì)量不計，爆炸后前半塊的速度方向仍沿水平向左，速度大小為，那么兩塊彈片落地點之間的水平距離多大？ 　　【答案】 【解析】設(shè)爆炸后每塊質(zhì)量為，向左為正方向，則 　　　　　由動量守恒定律得：，， 　　　　　則后半塊速度，即方向向右， 　　　　　由平拋運動知，彈片落地時間， 　　　　　因此兩塊彈片落地點間的水平距離. 　　 兩塊彈片落地點之間的水平距離為. 　　【總結(jié)升華】手榴彈在空中爆炸時間極短，且重力遠小于爆炸力，重力的沖

24、量可忽略，手榴彈在爆炸的瞬間動量守恒。爆炸過程中內(nèi)力遠大于外力，可認為系統(tǒng)動量守恒，特別是物體在高空爆炸時，若爆炸前速度方向恰好水平，則在該方向上系統(tǒng)不受外力，該水平方向上動量守恒，爆炸前的動量指即將爆炸那一刻的動量，爆炸后的動量指爆炸剛好結(jié)束那一刻的動量。 舉一反三： 　　【變式】一顆手榴彈以的速度沿水平方向飛行時，炸開成兩塊，其質(zhì)量之比為。若較大的一塊以的速度沿原方向飛去，則較小一塊的速度為：（　 ） 　　A.沿原方向，速度大小為　　　　 B.沿反方向，速度大小為 　　C.沿原方向，速度大小為　　　　 D.沿反方向，速度大小為 　　 【答案】B 【解析】爆炸過程內(nèi)力遠遠

25、大于外力，動量守恒，根據(jù)動量守恒定律 ， 設(shè)原方向為正方向，較小一塊速度為，則有 　　　　 　　負號表示與原方向相反。 類型六、動量關(guān)系和動能關(guān)系的綜合運用 例7．荷蘭科學(xué)家惠更斯在研究物體的碰撞問題時做出了突出貢獻.惠更斯所做的碰撞試驗可簡化為：三個質(zhì)量分別為、、的小球，半徑相同，并排懸掛在長度均為的三根平行繩子上，彼此相互接觸.現(xiàn)把質(zhì)量為的小球拉開，上升到高出釋放，如圖所示： 已知各球碰撞時，同時滿足動量守恒定律和機械能守恒定律，且碰撞時間極短，遠小于，不計空氣阻力.若三個小球質(zhì)量不同，要使球、球與球相碰之后，三個球具有相同的動量，則應(yīng)為多少？它們

26、上升的高度分別為多少？ 【思路點撥】分別對碰撞過程運用動量守恒定律和機械能守恒定律進行分析。 【答案】；，，. 【解析】由題意知三球碰撞后的動量均相同，設(shè)為,則 ， 球在與球碰前具有動量,根據(jù)機械能守恒定律，對于球與球碰撞的情況應(yīng)有： ， 由此得 . 球與球碰前動量為,根據(jù)機械能守恒定律有 ， 由此得 . 從而可得 . 設(shè)三球碰后上升的高度分別為：、、, 球碰前動能,又,所以. 球碰后動能，又,所以. 從而可得. 同理可得 ,. 【總結(jié)升華】分別對碰撞過程運用動量守恒定律和機械能守恒定律進行分

27、析。本題在研究質(zhì)量比時從最后的碰撞往前分析；研究升高的高度比時由前向后分析。 舉一反三： 【變式】質(zhì)量為的鋼板與直立輕彈簧的上端連接，彈簧下端固定在地上。平衡時，彈簧的壓縮量為，如圖所示： 一物塊從鋼板正上方距離為的處自由落下，打在鋼板上并立刻與鋼板一起向下運動，但不粘連，它們到達最低點后又向上運動。已知物塊質(zhì)量也為時，它們恰能回到點。若物塊質(zhì)量為，仍從處自由落下，則物塊與鋼板回到點時，還具有向上的速度。求物塊向上運動到達的最高點與點的距離。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【答案】 【解析】物塊自由下落，與鋼板碰撞，壓縮彈簧后再反彈向上，運動到點，彈簧恢復(fù)原長。碰撞過程滿足動量守恒條件。壓縮彈簧及反彈時機械能守恒。自由下落0，根據(jù)機械能守恒：　　 　 　　物塊與鋼板碰撞時，根據(jù)動量守恒： 　 (為碰后共同速度) 　　物塊與鋼板一起升到點，根據(jù)機械能守恒： 　　解得 . 　　如果物塊質(zhì)量為，則： ， 　　設(shè)回到點時物塊和鋼板的速度為，則： 　　從點開始物塊和鋼板分離， ， 解得 .