數(shù)列極限函數(shù)極限

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1、1第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)21.數(shù)列數(shù)列若存在正數(shù)若存在正數(shù)M,對(duì)所有的對(duì)所有的n都滿(mǎn)足都滿(mǎn)足 ,則稱(chēng)數(shù)列則稱(chēng)數(shù)列Mxn |nx為為有界數(shù)列有界數(shù)列,否則稱(chēng)為否則稱(chēng)為無(wú)界數(shù)列無(wú)界數(shù)列.2.1.1 數(shù)列的極限數(shù)列的極限2.1極限概念極限概念3“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”割圓術(shù)：割圓術(shù)：播放播放劉徽劉徽2.概念的引入概念的引入4R正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 形的面積形的面積n23nA,321nAAAAS5.)1(11時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨

2、勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn播放播放3.數(shù)列極限的定義數(shù)列極限的定義6. 1)1(1,1無(wú)限接近于無(wú)限接近于無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)當(dāng)當(dāng)nxnnn 通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:.lim,lim,:不不存存在在或或發(fā)發(fā)散散否否則則稱(chēng)稱(chēng)數(shù)數(shù)列列記記收收斂斂于于則則稱(chēng)稱(chēng)無(wú)無(wú)限限趨趨于于一一個(gè)個(gè)常常數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)數(shù)數(shù)列列直直觀觀地地nnnnnnnnaaaaaaaana 7例例1: 觀察下列數(shù)列的變化趨勢(shì)觀察下列數(shù)列的變化趨勢(shì)10,10,10, )1(1|q| )4( nnqy21)3(nxn 1,-1,1,-1, (2)8發(fā)散的情況發(fā)散的情況:2)1(1limnn 不確定不確定)1

3、(lim nn9(1)收斂數(shù)列的極限必唯一收斂數(shù)列的極限必唯一.(極限的唯一性極限的唯一性)(2)有極限的數(shù)列是有界數(shù)列有極限的數(shù)列是有界數(shù)列.(有界性有界性)4.收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì)10例例2: 求下列數(shù)列的極限求下列數(shù)列的極限nnnnnnnnnn523lim)3(231lim)2(1lim)1(222 112.1.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限.)x( f,)f (Dx的變化趨勢(shì)的變化趨勢(shì)函數(shù)函數(shù)中變化時(shí)中變化時(shí)在在考慮考慮x的變化趨勢(shì)有的變化趨勢(shì)有: x:x記記 xx00 xx,xx 000 xx:,xx,xx記記 000 xx:,xx,xx記記Xx:統(tǒng)一簡(jiǎn)記為統(tǒng)一簡(jiǎn)記為12.sin時(shí)

4、的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx播放播放一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限問(wèn)問(wèn)題題: :函函數(shù)數(shù))(xfy 在在 x的的過(guò)過(guò)程程中中, 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)函函數(shù)數(shù)值值)(xf無(wú)無(wú)限限趨趨近近于于確確定定值值 A.13. 0sin)(,無(wú)無(wú)限限接接近近于于無(wú)無(wú)限限增增大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxfx 通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:定義定義2.2：.)(lim)()(,)(AxfxxfAAxfxxx 時(shí)時(shí)的的極極限限，記記為為當(dāng)當(dāng)為為函函數(shù)數(shù)，則則稱(chēng)稱(chēng)一一個(gè)個(gè)確確定定的的常常數(shù)數(shù)無(wú)無(wú)限限趨趨近近于于時(shí)時(shí)無(wú)無(wú)限限增增大大當(dāng)當(dāng)xxarctanlim 例例：2

5、 1411xlim )2( lim (1)21x22x xx?)()(00Axfxxxxf時(shí)時(shí)，義義，觀觀察察的的某某個(gè)個(gè)去去心心領(lǐng)領(lǐng)域域內(nèi)內(nèi)有有定定在在點(diǎn)點(diǎn)例例:二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限15.)(lim)()(,)()(00000AxfxxxfAAxfxxxxxxfxx 時(shí)的極限，記為時(shí)的極限，記為當(dāng)當(dāng)為函數(shù)為函數(shù)，則稱(chēng)，則稱(chēng)一個(gè)確定的常數(shù)一個(gè)確定的常數(shù)無(wú)限趨近于無(wú)限趨近于時(shí)時(shí)無(wú)限趨近無(wú)限趨近當(dāng)當(dāng)義，義，的某一去心領(lǐng)域內(nèi)有定的某一去心領(lǐng)域內(nèi)有定在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)定義定義2.3：163.單側(cè)極限單側(cè)極限:例如例如,. 1)(lim0, 10,1)(02

6、 xfxxxxxfx證明證明設(shè)設(shè)兩種情況分別討論兩種情況分別討論和和分分00 xx,0 xx從左側(cè)無(wú)限趨近從左側(cè)無(wú)限趨近;xx0 記作記作,0 xx從右側(cè)無(wú)限趨近從右側(cè)無(wú)限趨近;xx0 記作記作yox1xy 112 xy17左極限左極限右極限右極限.)0()(lim00AxfAxfxx 或或.)0()(lim00AxfAxfxx 或或18不不存存在在則則若若)x( flim),x( flim)x( flim)1(000 xxxxxx 不不存存在在且且不不為為無(wú)無(wú)窮窮大大則則)x( flim),x( flim)x( flim)2(xxx 000 xx,xx:xx包含兩個(gè)過(guò)程包含兩個(gè)過(guò)程 x,x:

7、x包含兩個(gè)過(guò)程包含兩個(gè)過(guò)程A)0 x( f)0 x( fA)x( flim00 xx0 A)x( flim)x( flimA)x( flimxxx 19.lim0不存在不存在驗(yàn)證驗(yàn)證xxxyx11 oxxlimxxlim0 x0 x 左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx例例證證1)1(lim0 x xxlimxxlim0 x0 x 11lim0 x 20例例3： 觀察下列函數(shù)的變化趨勢(shì)觀察下列函數(shù)的變化趨勢(shì)clim )1(0 xxxlim )2(0 xx)1x2(lim )3(1x x1y )4( x1lim 1x1; x1lim 0 x x1lim 0

8、x x1ey )5( x10 xelim 0 x10 xelim x1lim 0 x不存在不存在x10 xelim 21)(lim),(lim),(lim),(lim),(lim),(lim,2x 1-x12x1 1-x1x 1/21x xf(x) :42112xfxfxfxfxfxfxxxxxx 求求例例.x,x)x( f,)x( flim00 xx0的的表表達(dá)達(dá)式式無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)而而與與遠(yuǎn)遠(yuǎn)離離附附近近的的表表達(dá)達(dá)式式有有關(guān)關(guān)在在只只與與時(shí)時(shí)求求22例例5： 求下列極限求下列極限 23lim)1(2 xxx 21lim)2(22xxx xxxxx2lim )3(2320 x 23_)(lim,0

9、,0, 1)( _)(lim,0,0, 1)()4(00 xfxxxxfxfxxxxfxx則則則則1024三、小結(jié)三、小結(jié)函數(shù)極限的統(tǒng)一定義函數(shù)極限的統(tǒng)一定義;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx 251 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”劉徽劉徽概念的引入概念的引入261 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之

10、又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”劉徽劉徽概念的引入概念的引入27“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽概念的引入概念的引入28“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽概念的引入概念的引入29“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合

11、割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽概念的引入概念的引入30“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽概念的引入概念的引入31“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽概念的引入概念的引入32“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而

12、無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽概念的引入概念的引入33“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽概念的引入概念的引入關(guān)閉關(guān)閉34.)1(11時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn2.數(shù)列極限的定義數(shù)列極限的定義35.)1(11時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn2.數(shù)列極限的定義數(shù)列極限的定義36.)1(11時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn2.數(shù)列極限的定義數(shù)列極限的定義37.)1(11時(shí)時(shí)的

13、的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn2.數(shù)列極限的定義數(shù)列極限的定義38.)1(11時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn2.數(shù)列極限的定義數(shù)列極限的定義39.)1(11時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn2.數(shù)列極限的定義數(shù)列極限的定義40.)1(11時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn2.數(shù)列極限的定義數(shù)列極限的定義41.)1(11時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn2.數(shù)列極限的定義數(shù)列極限的定義42.)1(11時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn2.數(shù)列極限的定義數(shù)列極限的定義43.)1(11時(shí)時(shí)的

14、的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn2.數(shù)列極限的定義數(shù)列極限的定義44.)1(11時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn2.數(shù)列極限的定義數(shù)列極限的定義45.)1(11時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn2.數(shù)列極限的定義數(shù)列極限的定義46.)1(11時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn2.數(shù)列極限的定義數(shù)列極限的定義關(guān)閉關(guān)閉.sin時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極

15、限一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限關(guān)閉關(guān)閉個(gè)人觀點(diǎn)供參考，歡迎討論