2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.1 合情推理與演繹證明 2.1.1 合情推理優(yōu)化練習(xí) 新人教A版選修1 -2.doc

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2.1.1 合情推理 [課時(shí)作業(yè)] [A組　基礎(chǔ)鞏固] 1．觀察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，則72 015的末兩位數(shù)字為(　　) A．01　　　　　　　　 B．43 C．07 D．49 解析：因?yàn)?1＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807，76＝117 649，…， 所以這些數(shù)的末兩位數(shù)字呈周期性出現(xiàn)，且周期T＝4. 又2 015＝4503＋3， 所以72 015的末兩位數(shù)字與73的末兩位數(shù)字相同，為43. 答案：B 2．下面幾種推理是合情推理的是(　　) ①由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì)； ②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是180，歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180； ③張軍某次考試成績(jī)是100分，由此推出全班同學(xué)的成績(jī)都是100分； ④三角形內(nèi)角和是180，四邊形內(nèi)角和是360，五邊形內(nèi)角和是540，由此得凸多邊形內(nèi)角和是(n－2)180. A．①② B．①③ C．①②④ D．②④ 解析：①是類比推理；②是歸納推理；④是歸納推理．所以①、②、④是合情推理． 答案：C 3．已知{bn}為等比數(shù)列，b5＝2，則b1b2b3…b9＝29.若{an}為等差數(shù)列，a5＝2，則{an}的類似結(jié)論為(　　) A．a(chǎn)1a2a3…a9＝29 B．a(chǎn)1＋a2＋…＋a9＝29 C．a(chǎn)1a2…a9＝29 D．a(chǎn)1＋a2＋…＋a9＝29 解析：等比數(shù)列中積等差數(shù)列中的和 ∴a1＋a2＋…＋a9＝29. 答案：D 4．定義A*B，B*C，C*D，D*B依次對(duì)應(yīng)4個(gè)圖形： 那么4個(gè)圖表中， 可以表示A*D，A*C的分別是(　　) A．(1)，(2) B．(1)，(3) C．(2)，(4) D．(1)，(4) 解析：由①②③④可歸納得出：符號(hào)“*”表示圖形的疊加，字母A代表豎線，字母B代表大矩形，字母C代表橫線，字母D代表小矩形，∴A*D是(2)，A*C是(4)． 答案：C 5．n個(gè)連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排列下表： 根據(jù)規(guī)律，從2 015到2 017箭頭的方向依次為(　　) A．↓→ B．→↑ C．↑→ D．→↓ 解析：觀察特例的規(guī)律知：位置相同的數(shù)字都是以4為公差的等差數(shù)列，由可知從2 015到2 017為→↓，故應(yīng)選D. 答案：D 6．把1,3,6,10,15,21，…這些數(shù)叫作三角形數(shù)，這是因?yàn)閭€(gè)數(shù)等于這些數(shù)目的點(diǎn)可以分別排成一個(gè)正三角形(如圖)，試求第七個(gè)三角形數(shù)是________． 解析：觀察知第n個(gè)三角形數(shù)為1＋2＋3＋…＋n＝， ∴第7個(gè)三角形數(shù)為＝28. 答案：28 7．在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)比為1∶2.則它們的面積比為1∶4.類似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)比為1∶2，則它們的體積比為_(kāi)_______． 解析：＝＝＝＝. 答案：1∶8 8．設(shè)函數(shù)f(x)＝(x>0)， 觀察：f1(x)＝f(x)＝， f2(x)＝f(f1(x))＝， f3(x)＝f(f2(x))＝， f4(x)＝f(f3(x))＝，…… 根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí)，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________. 解析：根據(jù)題意知，分子都是x，分母中的常數(shù)項(xiàng)依次是2,4,8,16，…可知fn(x)的分母中常數(shù)項(xiàng)為2n，分母中x的系數(shù)為2n－1，故fn(x)＝. 答案： 9．在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)△ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB2＋AC2＝BC2”，拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面積與底面積間的關(guān)系， 給出正確結(jié)論． 解析：由平面直角三角形類比空間三棱錐由邊垂直側(cè)面垂直． 直角三角形的“直角邊長(zhǎng)、斜邊長(zhǎng)”類比“三棱錐的側(cè)面積、底面積”，因此類比的結(jié)論是：“設(shè)三棱錐ABCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ABD兩兩相互垂直，則S＋S＋S＝S”． 10．已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)a1＝1，且an＋1＝(n＝1,2，…)，試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式． 解析：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1 當(dāng)n＝2時(shí)，a2＝＝； 當(dāng)n＝3時(shí)，a3＝＝； 當(dāng)n＝4時(shí)，a4＝＝. 觀察可得，數(shù)列的前4項(xiàng)都等于相應(yīng)序號(hào)的倒數(shù)，由此猜想，這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an＝(n＝1,2，…)． [B組　能力提升] 1．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝a，a2＝b，設(shè)Sn＝a1＋a2＋…＋an，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．a(chǎn)100＝－a，S100＝2b－a B．a(chǎn)100＝－b，S100＝2b－a C． a100＝－b，S100＝b－a D．a(chǎn)100＝－a，S100＝b－a 解析：∵a1＝a，a2＝b，a3＝b－a，a4＝－a，a5＝－b，a6＝a－b. 且a7＝a6－a5＝a，a8＝b，…， ∴數(shù)列{an}具有周期性，周期為6，且S6＝0 則a100＝a4＝－a，S100＝S4＝2b－a. 答案：A 2．類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推知正四面體的下列性質(zhì)，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖?　　) ①各棱長(zhǎng)相等，同一頂點(diǎn)上的任意兩條棱的夾角相等； ②各個(gè)面是全等的正三角形，相鄰的兩個(gè)面所成的二面角相等； ③各個(gè)面是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)上的任意兩條棱的夾角相等； ④各棱長(zhǎng)相等，相鄰的兩個(gè)面所成的二面角相等． A．①④ B．①② C．①③ D．③④ 解析：類比推理的原則是：類比前后保持類比規(guī)則的一致性，而③④違背了這一原則，只有①②符合． 答案：B 3．已知x>0，由不等式x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，…我們可以得出推廣結(jié)論：x＋≥n＋1(n∈N*)，則a＝________. 解析：由觀察可得：x＋＝＋≥(n＋1)＝(n＋1)＝n＋1，則a＝nn. 答案：nn 4．已知經(jīng)過(guò)計(jì)算和驗(yàn)證有下列正確的不等式：＋<2，＋<2，＋<2，根據(jù)以上不等式的規(guī)律，請(qǐng)寫出一個(gè)對(duì)正實(shí)數(shù)m，n都成立的條件不等式________． 解析：觀察所給不等式可以發(fā)現(xiàn)：不等式左邊兩個(gè)根式的被開(kāi)方數(shù)的和等于20，不等式的右邊都是2，因此對(duì)正實(shí)數(shù)m，n都成立的條件不等式是：若m，n∈R＋，則當(dāng)m＋n＝20時(shí)，有＋<2. 答案：若m，n∈R＋，則當(dāng)m＋n＝20時(shí)，有＋<2 5．觀察下列等式： ①sin210＋cos240＋sin 10cos 40＝； ②sin26＋cos236＋sin 6cos 36＝. 由上面兩題的結(jié)構(gòu)規(guī)律，你能否提出一個(gè)猜想？ 并證明你的猜想． 解析：由①②知，兩角相差30，運(yùn)算結(jié)果為， 猜想：sin2α＋cos2(α＋30)＋sin αcos(α＋30)＝. 證明：左邊＝＋＋ sin αcos(α＋30) ＝1－＋＋ sin α ＝1－cos 2α＋cos 2α－sin 2α＋sin 2α－＝＝右邊 故sin2α＋cos2(α＋30)＋sin αcos(α＋30)＝. 6．已知橢圓具有以下性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，若直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN，那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)的定值．試對(duì)雙曲線－＝1寫出具有類似的性質(zhì)，并加以證明． 解析：類似的性質(zhì)為：若M、N是雙曲線－＝1上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，若 直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN，那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)的定值． 證明如下：設(shè)點(diǎn)M、P的坐標(biāo)為(m，n)、(x，y)，則 N(－m，－n)． ∵點(diǎn)M(m，n)在已知雙曲線上， ∴n2＝m2－b2.同理y2＝x2－b2. 則kPMkPN＝＝＝＝(定值).