2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第3章 空間向量與立體幾何 3.2 空間向量的應(yīng)用 3.2.3 空間的角的計(jì)算講義（含解析）蘇教版選修2-1.doc

32.3空間的角的計(jì)算山體滑坡是一種常見的自然災(zāi)害甲、乙兩名科技人員為了測量一個(gè)山體的傾斜程度，甲站在水平地面上的A處，乙站在山坡斜面上的B處，A、B兩點(diǎn)到直線l(水平地面與山坡的交線)的距離AC和BD分別為30 m和40 m，CD的長為60 m，AB的長為80 m.問題1：如何用向量方法求異面直線AC和BD所成的角？提示：設(shè)異面直線AC與BD所成的角為，則cos |cos，|.問題2：如何求斜線BD與地面所成角？提示：設(shè)地面的法向量為n，則sin |cos，n|. 問題3：如何求水平地面與斜坡面所成的二面角？提示：cos cos，異面直線所成的角設(shè)兩條異面直線a，b所成的角為，它們的方向向量分別為a、b.則cos 直線與平面所成的角設(shè)直線和平面所成的角為，且直線的方向向量為a，平面的法向量為b，則sin 二面角的平面角設(shè)二面角l的銳二面角大小為，且兩個(gè)半平面的法向量分別為a，b，則cos 對(duì)直線(或斜線)與平面所成角的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)(1)斜線與平面的夾角范圍是；而直線與平面的夾角范圍是；(2)設(shè)在平面內(nèi)的射影為，且直線AB與平面的夾角為，則|cos ；(3)平面的法向量n與所成的銳角1的余角就是直線AB與平面所成的角利用空間向量求異面直線所成的角例1如圖所示，三棱柱OABO1A1B1中，平面OBB1O1平面OAB，O1OB60，AOB90，且OBOO12，OA，求異面直線A1B與AO1所成的角的余弦值的大小思路點(diǎn)撥，坐標(biāo)cos，.精解詳析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則O(0,0,0)，O1(0,1，)，A(，0,0)，A1(，1，)，B(0,2,0)，(，1，)，(，1，)cos，.異面直線A1B與AO1所成的角的余弦值為.一點(diǎn)通求異面直線所成的角的方法及關(guān)注點(diǎn)：(1)方法：利用數(shù)量積或坐標(biāo)方法將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量所成的角，若求出的兩向量的夾角為鈍角，則異面直線所成的角應(yīng)為兩向量夾角的補(bǔ)角(2)關(guān)注點(diǎn)：求角時(shí)，常與一些向量的計(jì)算聯(lián)系在一起，如向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算及模的運(yùn)算1.如圖所示，已知在四面體ABCD中，O是BD的中點(diǎn)，CACBCDBD2，ABAD.(1)求證：AO平面BCD；(2)求異面直線AB與CD所成的角的余弦值解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,0)，D(1,0,0)，C(0，0)，A(0,0,1)，(1)證明：(0,0,1)，(2,0,0)，(1，0)0，0，OABD，OABC.又BDBCB，AO平面BCD.(2)(1,0,1)，(1，0)cos，異面直線AB與CD所成的角的余弦值為.2.已知平行六面體ABCDA1B1C1D1的所有棱長都是1，且A1ABA1ADBAD60，求直線AC1與AC所成角的余弦值解：，|2222222111211cos 6036，|22221113，|，|.()()22 114，cos，即AC1與AC所成角的余弦值為.求線面角例2(湖南高考)如圖，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.(1)證明：ACB1D；(2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值思路點(diǎn)撥以A為原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系(1)求出和，證明0；(2)求出直線B1C1的方向向量與平面ACD1的法向量精解詳析(1)證明：易知，AB，AD，AA1兩兩垂直如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)ABt，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)從而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0)因?yàn)锳CBD，所以t2300，解得t或t(舍去)于是(，3，3)，(，1,0)因?yàn)?300，所以，即ACB1D.(2)由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0)設(shè)n(x，y，z)是平面ACD1的一個(gè)法向量，則即令x1，則n(1，)設(shè)直線B1C1與平面ACD1所成角為，則sin |cosn，|.即直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為.一點(diǎn)通利用向量法求直線與平面所成角的解題步驟為：(1)根據(jù)題設(shè)條件、圖形特征建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)得到相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出相關(guān)向量的坐標(biāo)；(3)利用公式cosa，b，進(jìn)行計(jì)算，其中向量a是直線的方向向量，b可以是平面的法向量，也可以是直線在平面內(nèi)射影的方向向量；(4)將a，b轉(zhuǎn)化為所求的線面角3.如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，ACBCCC1，M、N分別是A1B、B1C1的中點(diǎn)(1)求證：MN平面A1BC；(2)求直線BC1和平面A1BC所成的角的大小解：(1)證明：根據(jù)題意，CA、CB、CC1兩兩垂直，以C為原點(diǎn)，CA、CB、CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)ACBCCC1a，則B(0，a,0)，B1(0，a，a)，A(a，0,0)，C(0,0,0)，C1(0,0，a)，A1(a,0，a)，M，N.所以(a，a，a)，(a,0，a)，.于是0，0，即MNBA1，MNCA1.又BA1CA1A1，故MN平面A1BC.(2)因?yàn)镸N平面A1BC，則為平面A1BC的法向量，又(0，a，a)，則cos，所以，60.故直線BC1和平面A1BC所成的角為30.4如圖，已知四棱錐PABCD的底面為等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足為H，PH是四棱錐的高，E為AD的中點(diǎn)(1)證明：PEBC；(2)若APBADB60，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值解：(1)證明：以H為原點(diǎn)，HA，HB，HP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，線段HA的長為單位長，建立空間直角坐標(biāo)系Hxyz如圖，則A(1,0,0)，B(0,1,0)設(shè)C(m,0,0)，P(0,0，n)(m<0，n>0)，D(0，m,0)，E.可得，(m，1,0)因?yàn)?0，所以PEBC.(2)由已知條件可得m，n1，故C，D，E，P(0,0,1)設(shè)n(x，y，z)為平面PEH的法向量，則即因此可以取n(1，0)又(1,0，1)，可得|cos，n|，所以直線PA與平面PEH所成角的正弦值為.求二面角例3(江蘇高考)如圖，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)(1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值思路點(diǎn)撥(1)先建系求出A1B和C1D的方向向量，再求其余弦值；(2)求出平面ADC1與平面ABA1的法向量，用向量法求余弦值再轉(zhuǎn)化為正弦值精解詳析(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0，0,4)，C1(0,2,4)，所以(2,0，4)，(1，1，4)因?yàn)閏os，所以異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為.(2)設(shè)平面ADC1的法向量為n1(x，y，z)，因?yàn)?1,1,0)，(0,2,4)，所以n10，n10，即xy0且y2z0，取z1，得x2，y2，所以n1(2，2,1)是平面ADC1的一個(gè)法向量取平面ABA1的一個(gè)法向量為n2(0,1,0)，設(shè)平面ADC1與平面ABA1所成二面角的大小為.由|cos |，得sin .因此平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值為.一點(diǎn)通用向量法求二面角的大小時(shí)，應(yīng)注意兩個(gè)問題：一是建系后兩個(gè)平面的法向量求解正確；二是求出了兩法向量夾角后，應(yīng)結(jié)合圖形與題意判斷求出的是二面角的大小，還是它的補(bǔ)角的大小，從而確定二面角大小5(天津高考)如圖， 四棱柱ABCDA1B1C1D1中， 側(cè)棱A1A底面ABCD，AB/DC，ABAD，ADCD1，AA1AB2，E為棱AA1的中點(diǎn)(1)證明：B1C1CE; (2)求二面角B1CEC1的正弦值(3)設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上， 且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為，求線段AM的長解： 如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)(1)證明：易得(1,0，1)，(1,1，1)，于是0，所以B1C1CE.(2)可知(1，2，1)設(shè)平面B1CE的法向量m(x，y，z)，則即消去x，得y2z0，不妨令z1，可得一個(gè)法向量為m(3，2,1)由(1)知，B1C1CE，又CC1B1C1，可得B1C1平面CEC1，故(1,0，1)為平面CEC1的一個(gè)法向量于是cosm，從而sin m，.所以二面角B1CEC1的正弦值為.(3)(0,1,0)，(1,1,1)設(shè)(，)，01，有(，1，)可取(0,0,2)為平面ADD1A1的一個(gè)法向量設(shè)為直線AM與平面ADD1A1所成的角，則sin |cos，| .于是，解得，所以AM.6.如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB2，BC2，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點(diǎn)(1)證明：PC平面BEF；(2)求平面BEF與平面BAP夾角的大小解：(1)證明：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)PAB2，BCAD2，四邊形ABCD是矩形A，B，C，D，P的坐標(biāo)為A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2，2，0)，D(0,2，0)，P(0,0,2)，又E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點(diǎn)，E(0，0)，F(xiàn)(1，1)(2,2，2)，(1，1)，(1,0,1)，2420，2020，PCBF，PCEF，BFEFF，PC平面BEF.(2)由(1)知平面BEF的法向量n1(2,2，2)，平面BAP的法向量n2(0,2，0)，n1n28.設(shè)平面BEF與平面BAP的夾角為，則cos |cosn1，n2|，45，平面BEF與平面BAP的夾角為45.1兩條異面直線所成角的余弦值一定為非負(fù)值，而對(duì)應(yīng)的方向向量的夾角可能為鈍角2直線的方向向量為u，平面的法向量為n，直線與平面成角為，則sin |cosu，n|，不要漏了絕對(duì)值符號(hào)3利用兩平面的法向量n1，n2求出cosn1，n2后要根據(jù)圖形判斷二面角是銳角還是鈍角對(duì)應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(二十五) 1已知A(0,1,1)，B(2，1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，則直線AB與直線CD所成角的余弦值為_解析：(2，2，1)，(2，3，3)，cos，.直線AB，CD所成角的余弦值為.答案：2棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為A1B1，BB1的中點(diǎn)，則異面直線AM與CN所成角的余弦值是_解析：依題意，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，M，C(0,1,0)，N.，cos，故異面直線AM與CN所成角的余弦值為.答案：3PA平面ABC，ACBC，PAAC1，BC，則二面角APBC的余弦值為_解析： 如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，(0,0,1)，(，1,0)，(，0,0)，(0，1，1)設(shè)平面PAB的法向量為m(x，y，z)，則令x1，則m(1，0)設(shè)平面PBC的法向量為n(x，y，z)，則令y1，則n(0，1，1)，cosm，n.答案：4(大綱全國卷改編)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于_解析：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)AA12AB2，則D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，則(0,1,0)，(1,1,0)，(0,1,2)設(shè)平面BDC1的法向量為n(x，y，z)，則n，n，所以有令y2，得平面BDC1的一個(gè)法向量為n(2，2,1)設(shè)CD與平面BDC1所成的角為，則sin |cosn，|.答案：5已知E，F(xiàn)分別是棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1的中點(diǎn)，則截面AEFD1與底面ABCD所成二面角的余弦值是_解析：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DD1分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則A(1,0,0)，E，F(xiàn)，D1(0,0,1)所以(1,0,1)，.設(shè)平面AEFD1的法向量為n(x，y，z)，則取y1，則n(2,1,2)，而平面ABCD的一個(gè)法向量為u(0,0,1)，cosn，u.答案：6.如圖，在幾何體ABCDE中，ABC是等腰直角三角形，ABC90，BE和CD都垂直于平面ABC，且BEAB2，CD1，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)求AB與平面BDF所成角的正弦值解：以點(diǎn)B為原點(diǎn)，BA、BC、BE所在的直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,2,1)，E(0,0,2)，F(xiàn)(1,0,1)(0,2,1)，(1，2,0)，(2,0,0)設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為n(2，a，b)，n，n，即解得a1，b2.n(2,1，2)又設(shè)AB與平面BDF所成的角為，則sin .即AB與平面BDF所成角的正弦值為.7(江西高考)如圖，四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，E為BD的中點(diǎn)，G為PD的中點(diǎn)，DABDCB，EAEBAB1，PA，連結(jié)CE并延長交AD于F.(1)求證：AD平面CFG；(2)求平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值解：(1)證明：在ABD中，因?yàn)镋是BD中點(diǎn)，所以EAEBEDAB1，故BAD，ABEAEB，因?yàn)镈ABDCB，所以EABECB，從而有FEDBECAEB，所以FEDFEA，故EFAD，AFFD.因?yàn)镻GGD，所以FGPA.又PA平面ABCD，所以GFAD，故AD平面CFG.(2)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C，D(0，0)，P，故，.設(shè)平面BCP的一個(gè)法向量n1(1，y1，z1)，則解得即n1.設(shè)平面DCP的一個(gè)法向量n2(1，y2，z2)，則解得即n2(1，2)從而平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值為cos .8.如圖，在幾何體ABCDE中，DA平面EAB，CBDA，EAAB，M是EC的中點(diǎn)，EADAAB2CB.(1)求證：DMEB；(2)求異面直線AB與CE所成角的余弦值；(3)求二面角MBDA的余弦值解：以直線AE、AB、AD為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)CBa，則A(0,0,0)，E(2a,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a，a)，D(0,0,2a)，所以M(a，a，)，(1)證明：(a，a，)，(2a,2a,0)，a(2a)a2a00，即DMEB.(2)(0,2a,0)，(2a，2a，a)，設(shè)異面直線AB與CE所成的角為，則cos .即異面直線AB與CE所成角的余弦值為.(3)DA平面EAB，AD平面DAB，平面DAB平面EAB，EA平面EAB，平面EAB平面DABAB，EAAB.EA平面DAB.(2a,0,0)是平面DAB的一個(gè)法向量設(shè)平面MBD的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，(a，a，)，(0，2a,2a)，則即令za，則n，設(shè)二面角MBDA的平面角為，則cos .即二面角MBDA的余弦值為.