2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第3章 空間向量與立體幾何 3.2 空間向量的應(yīng)用 3.2.3 空間的角的計算講義(含解析)蘇教版選修2-1.doc
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32.3空間的角的計算山體滑坡是一種常見的自然災(zāi)害甲、乙兩名科技人員為了測量一個山體的傾斜程度,甲站在水平地面上的A處,乙站在山坡斜面上的B處,A、B兩點(diǎn)到直線l(水平地面與山坡的交線)的距離AC和BD分別為30 m和40 m,CD的長為60 m,AB的長為80 m.問題1:如何用向量方法求異面直線AC和BD所成的角?提示:設(shè)異面直線AC與BD所成的角為,則cos |cos,|.問題2:如何求斜線BD與地面所成角?提示:設(shè)地面的法向量為n,則sin |cos,n|. 問題3:如何求水平地面與斜坡面所成的二面角?提示:cos cos,異面直線所成的角設(shè)兩條異面直線a,b所成的角為,它們的方向向量分別為a、b.則cos 直線與平面所成的角設(shè)直線和平面所成的角為,且直線的方向向量為a,平面的法向量為b,則sin 二面角的平面角設(shè)二面角l的銳二面角大小為,且兩個半平面的法向量分別為a,b,則cos 對直線(或斜線)與平面所成角的幾點(diǎn)認(rèn)識(1)斜線與平面的夾角范圍是;而直線與平面的夾角范圍是;(2)設(shè)在平面內(nèi)的射影為,且直線AB與平面的夾角為,則|cos ;(3)平面的法向量n與所成的銳角1的余角就是直線AB與平面所成的角利用空間向量求異面直線所成的角例1如圖所示,三棱柱OABO1A1B1中,平面OBB1O1平面OAB,O1OB60,AOB90,且OBOO12,OA,求異面直線A1B與AO1所成的角的余弦值的大小思路點(diǎn)撥,坐標(biāo)cos,.精解詳析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則O(0,0,0),O1(0,1,),A(,0,0),A1(,1,),B(0,2,0),(,1,),(,1,)cos,.異面直線A1B與AO1所成的角的余弦值為.一點(diǎn)通求異面直線所成的角的方法及關(guān)注點(diǎn):(1)方法:利用數(shù)量積或坐標(biāo)方法將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量所成的角,若求出的兩向量的夾角為鈍角,則異面直線所成的角應(yīng)為兩向量夾角的補(bǔ)角(2)關(guān)注點(diǎn):求角時,常與一些向量的計算聯(lián)系在一起,如向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算及模的運(yùn)算1.如圖所示,已知在四面體ABCD中,O是BD的中點(diǎn),CACBCDBD2,ABAD.(1)求證:AO平面BCD;(2)求異面直線AB與CD所成的角的余弦值解:以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則B(1,0,0),D(1,0,0),C(0,0),A(0,0,1),(1)證明:(0,0,1),(2,0,0),(1,0)0,0,OABD,OABC.又BDBCB,AO平面BCD.(2)(1,0,1),(1,0)cos,異面直線AB與CD所成的角的余弦值為.2.已知平行六面體ABCDA1B1C1D1的所有棱長都是1,且A1ABA1ADBAD60,求直線AC1與AC所成角的余弦值解:,|2222222111211cos 6036,|22221113,|,|.()()22 114,cos,即AC1與AC所成角的余弦值為.求線面角例2(湖南高考)如圖,在直棱柱ABCDA1B1C1D1中,ADBC,BAD90,ACBD,BC1,ADAA13.(1)證明:ACB1D;(2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值思路點(diǎn)撥以A為原點(diǎn),AB,AD,AA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系(1)求出和,證明0;(2)求出直線B1C1的方向向量與平面ACD1的法向量精解詳析(1)證明:易知,AB,AD,AA1兩兩垂直如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)ABt,則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,0,0),B(t,0,0),B1(t,0,3),C(t,1,0),C1(t,1,3),D(0,3,0),D1(0,3,3)從而(t,3,3),(t,1,0),(t,3,0)因為ACBD,所以t2300,解得t或t(舍去)于是(,3,3),(,1,0)因為3300,所以,即ACB1D.(2)由(1)知,(0,3,3),(,1,0),(0,1,0)設(shè)n(x,y,z)是平面ACD1的一個法向量,則即令x1,則n(1,)設(shè)直線B1C1與平面ACD1所成角為,則sin |cosn,|.即直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為.一點(diǎn)通利用向量法求直線與平面所成角的解題步驟為:(1)根據(jù)題設(shè)條件、圖形特征建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)得到相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求出相關(guān)向量的坐標(biāo);(3)利用公式cosa,b,進(jìn)行計算,其中向量a是直線的方向向量,b可以是平面的法向量,也可以是直線在平面內(nèi)射影的方向向量;(4)將a,b轉(zhuǎn)化為所求的線面角3.如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ACBC,ACBCCC1,M、N分別是A1B、B1C1的中點(diǎn)(1)求證:MN平面A1BC;(2)求直線BC1和平面A1BC所成的角的大小解:(1)證明:根據(jù)題意,CA、CB、CC1兩兩垂直,以C為原點(diǎn),CA、CB、CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)ACBCCC1a,則B(0,a,0),B1(0,a,a),A(a,0,0),C(0,0,0),C1(0,0,a),A1(a,0,a),M,N.所以(a,a,a),(a,0,a),.于是0,0,即MNBA1,MNCA1.又BA1CA1A1,故MN平面A1BC.(2)因為MN平面A1BC,則為平面A1BC的法向量,又(0,a,a),則cos,所以,60.故直線BC1和平面A1BC所成的角為30.4如圖,已知四棱錐PABCD的底面為等腰梯形,ABCD,ACBD,垂足為H,PH是四棱錐的高,E為AD的中點(diǎn)(1)證明:PEBC;(2)若APBADB60,求直線PA與平面PEH所成角的正弦值解:(1)證明:以H為原點(diǎn),HA,HB,HP所在直線分別為x軸,y軸,z軸,線段HA的長為單位長,建立空間直角坐標(biāo)系Hxyz如圖,則A(1,0,0),B(0,1,0)設(shè)C(m,0,0),P(0,0,n)(m0),D(0,m,0),E.可得,(m,1,0)因為00,所以PEBC.(2)由已知條件可得m,n1,故C,D,E,P(0,0,1)設(shè)n(x,y,z)為平面PEH的法向量,則即因此可以取n(1,0)又(1,0,1),可得|cos,n|,所以直線PA與平面PEH所成角的正弦值為.求二面角例3(江蘇高考)如圖,在直三棱柱A1B1C1ABC中,ABAC,ABAC2,A1A4,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)(1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值;(2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值思路點(diǎn)撥(1)先建系求出A1B和C1D的方向向量,再求其余弦值;(2)求出平面ADC1與平面ABA1的法向量,用向量法求余弦值再轉(zhuǎn)化為正弦值精解詳析(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0),A1(0,0,4),C1(0,2,4),所以(2,0,4),(1,1,4)因為cos,所以異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為.(2)設(shè)平面ADC1的法向量為n1(x,y,z),因為(1,1,0),(0,2,4),所以n10,n10,即xy0且y2z0,取z1,得x2,y2,所以n1(2,2,1)是平面ADC1的一個法向量取平面ABA1的一個法向量為n2(0,1,0),設(shè)平面ADC1與平面ABA1所成二面角的大小為.由|cos |,得sin .因此平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值為.一點(diǎn)通用向量法求二面角的大小時,應(yīng)注意兩個問題:一是建系后兩個平面的法向量求解正確;二是求出了兩法向量夾角后,應(yīng)結(jié)合圖形與題意判斷求出的是二面角的大小,還是它的補(bǔ)角的大小,從而確定二面角大小5(天津高考)如圖, 四棱柱ABCDA1B1C1D1中, 側(cè)棱A1A底面ABCD,AB/DC,ABAD,ADCD1,AA1AB2,E為棱AA1的中點(diǎn)(1)證明:B1C1CE; (2)求二面角B1CEC1的正弦值(3)設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上, 且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為,求線段AM的長解: 如圖,以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,依題意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0)(1)證明:易得(1,0,1),(1,1,1),于是0,所以B1C1CE.(2)可知(1,2,1)設(shè)平面B1CE的法向量m(x,y,z),則即消去x,得y2z0,不妨令z1,可得一個法向量為m(3,2,1)由(1)知,B1C1CE,又CC1B1C1,可得B1C1平面CEC1,故(1,0,1)為平面CEC1的一個法向量于是cosm,從而sin m,.所以二面角B1CEC1的正弦值為.(3)(0,1,0),(1,1,1)設(shè)(,),01,有(,1,)可取(0,0,2)為平面ADD1A1的一個法向量設(shè)為直線AM與平面ADD1A1所成的角,則sin |cos,| .于是,解得,所以AM.6.如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是矩形,PA平面ABCD,APAB2,BC2,E,F(xiàn)分別是AD,PC的中點(diǎn)(1)證明:PC平面BEF;(2)求平面BEF與平面BAP夾角的大小解:(1)證明:如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB、AD、AP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)PAB2,BCAD2,四邊形ABCD是矩形A,B,C,D,P的坐標(biāo)為A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),又E,F(xiàn)分別是AD,PC的中點(diǎn),E(0,0),F(xiàn)(1,1)(2,2,2),(1,1),(1,0,1),2420,2020,PCBF,PCEF,BFEFF,PC平面BEF.(2)由(1)知平面BEF的法向量n1(2,2,2),平面BAP的法向量n2(0,2,0),n1n28.設(shè)平面BEF與平面BAP的夾角為,則cos |cosn1,n2|,45,平面BEF與平面BAP的夾角為45.1兩條異面直線所成角的余弦值一定為非負(fù)值,而對應(yīng)的方向向量的夾角可能為鈍角2直線的方向向量為u,平面的法向量為n,直線與平面成角為,則sin |cosu,n|,不要漏了絕對值符號3利用兩平面的法向量n1,n2求出cosn1,n2后要根據(jù)圖形判斷二面角是銳角還是鈍角對應(yīng)課時跟蹤訓(xùn)練(二十五) 1已知A(0,1,1),B(2,1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),則直線AB與直線CD所成角的余弦值為_解析:(2,2,1),(2,3,3),cos,.直線AB,CD所成角的余弦值為.答案:2棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別為A1B1,BB1的中點(diǎn),則異面直線AM與CN所成角的余弦值是_解析:依題意,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),M,C(0,1,0),N.,cos,故異面直線AM與CN所成角的余弦值為.答案:3PA平面ABC,ACBC,PAAC1,BC,則二面角APBC的余弦值為_解析: 如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),(0,0,1),(,1,0),(,0,0),(0,1,1)設(shè)平面PAB的法向量為m(x,y,z),則令x1,則m(1,0)設(shè)平面PBC的法向量為n(x,y,z),則令y1,則n(0,1,1),cosm,n.答案:4(大綱全國卷改編)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA12AB,則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于_解析:以D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,設(shè)AA12AB2,則D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),則(0,1,0),(1,1,0),(0,1,2)設(shè)平面BDC1的法向量為n(x,y,z),則n,n,所以有令y2,得平面BDC1的一個法向量為n(2,2,1)設(shè)CD與平面BDC1所成的角為,則sin |cosn,|.答案:5已知E,F(xiàn)分別是棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1的棱BC,CC1的中點(diǎn),則截面AEFD1與底面ABCD所成二面角的余弦值是_解析:以D為坐標(biāo)原點(diǎn),以DA,DC,DD1分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則A(1,0,0),E,F(xiàn),D1(0,0,1)所以(1,0,1),.設(shè)平面AEFD1的法向量為n(x,y,z),則取y1,則n(2,1,2),而平面ABCD的一個法向量為u(0,0,1),cosn,u.答案:6.如圖,在幾何體ABCDE中,ABC是等腰直角三角形,ABC90,BE和CD都垂直于平面ABC,且BEAB2,CD1,點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)求AB與平面BDF所成角的正弦值解:以點(diǎn)B為原點(diǎn),BA、BC、BE所在的直線分別為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),D(0,2,1),E(0,0,2),F(xiàn)(1,0,1)(0,2,1),(1,2,0),(2,0,0)設(shè)平面BDF的一個法向量為n(2,a,b),n,n,即解得a1,b2.n(2,1,2)又設(shè)AB與平面BDF所成的角為,則sin .即AB與平面BDF所成角的正弦值為.7(江西高考)如圖,四棱錐PABCD中,PA平面ABCD,E為BD的中點(diǎn),G為PD的中點(diǎn),DABDCB,EAEBAB1,PA,連結(jié)CE并延長交AD于F.(1)求證:AD平面CFG;(2)求平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值解:(1)證明:在ABD中,因為E是BD中點(diǎn),所以EAEBEDAB1,故BAD,ABEAEB,因為DABDCB,所以EABECB,從而有FEDBECAEB,所以FEDFEA,故EFAD,AFFD.因為PGGD,所以FGPA.又PA平面ABCD,所以GFAD,故AD平面CFG.(2)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(1,0,0),C,D(0,0),P,故,.設(shè)平面BCP的一個法向量n1(1,y1,z1),則解得即n1.設(shè)平面DCP的一個法向量n2(1,y2,z2),則解得即n2(1,2)從而平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值為cos .8.如圖,在幾何體ABCDE中,DA平面EAB,CBDA,EAAB,M是EC的中點(diǎn),EADAAB2CB.(1)求證:DMEB;(2)求異面直線AB與CE所成角的余弦值;(3)求二面角MBDA的余弦值解:以直線AE、AB、AD為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,設(shè)CBa,則A(0,0,0),E(2a,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,a),D(0,0,2a),所以M(a,a,),(1)證明:(a,a,),(2a,2a,0),a(2a)a2a00,即DMEB.(2)(0,2a,0),(2a,2a,a),設(shè)異面直線AB與CE所成的角為,則cos .即異面直線AB與CE所成角的余弦值為.(3)DA平面EAB,AD平面DAB,平面DAB平面EAB,EA平面EAB,平面EAB平面DABAB,EAAB.EA平面DAB.(2a,0,0)是平面DAB的一個法向量設(shè)平面MBD的一個法向量為n(x,y,z),(a,a,),(0,2a,2a),則即令za,則n,設(shè)二面角MBDA的平面角為,則cos .即二面角MBDA的余弦值為.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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