2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 參數(shù)方程 一 曲線的參數(shù)方程 3 參數(shù)方程和普通方程的互化講義（含解析）新人教A版選修4-4.doc

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3．參數(shù)方程和普通方程的互化 參數(shù)方程和普通方程的互化 (1)將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，有利于識(shí)別曲線類型，曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式，一般地，可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程． (2)在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致． 把曲線的普通方程化為參數(shù)方程 [例1]　根據(jù)所給條件，把曲線的普通方程化為參數(shù)方程． (1)＋＝1，x＝cos θ＋1，(θ為參數(shù))； (2)x2－y＋x－1＝0，x＝t＋1，(t為參數(shù))． [解]　(1)將x＝cos θ＋1代入＋＝1，得y＝2＋sin θ. ∴(θ為參數(shù))． 這就是所求的參數(shù)方程． (2)將x＝t＋1代入x2－y＋x－1＝0， 得y＝x2＋x－1＝(t＋1)2＋t＋1－1＝t2＋3t＋1， ∴(t為參數(shù))． 這就是所求的參數(shù)方程． 普通方程化為參數(shù)方程時(shí)的注意點(diǎn) (1)選取參數(shù)后，要特別注意參數(shù)的取值范圍，它將決定參數(shù)方程是否與普通方程等價(jià)． (2)參數(shù)的選取不同，得到的參數(shù)方程是不同的．如本例(2)，若令x＝tan θ(θ為參數(shù))，則參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 1.如圖，以過原點(diǎn)的直線的傾斜角θ為參數(shù)，則圓x2＋y2－x＝0的參數(shù)方程為______________． 解析：由題意得圓的方程為2＋y2＝，圓心在x軸上，半徑為， 則該圓的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，注意α為圓心角，θ為圓弧所對(duì)的圓周角，則有α＝2θ，故即(θ為參數(shù))． 答案：(θ為參數(shù)) 將參數(shù)方程化為普通方程 [例2]　將下列參數(shù)方程化為普通方程： (1)(t為參數(shù))； (2)(θ為參數(shù))． [思路點(diǎn)撥]　(1)可采用代入法，由x＝1－解出，代入y的表達(dá)式； (2)采用三角恒等變換求解． [解]　(1)由x＝1－得 ＝1－x，將其代入y＝1＋2得y＝3－2x.因?yàn)椤?，所以x＝1－≤1， 所以參數(shù)方程化為普通方程為y＝3－2x(x≤1)． 方程表示的是以(1,1)為端點(diǎn)的一條射線(包括端點(diǎn))． (2)由得， ①2＋②2得＋＝1(－5≤x≤5，－5≤y≤3)． 將參數(shù)方程化為普通方程的三種方法 (1)利用解方程的技巧求出參數(shù)的表示式，然后代入消去參數(shù)； (2)利用三角恒等式消去參數(shù)； (3)根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征，選用一些靈活的方法從整體上消去參數(shù)． 將參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意防止變量x和y取值范圍的擴(kuò)大或縮小，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定函數(shù)f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范圍． 2．參數(shù)方程(t為參數(shù))化為普通方程為(　　) A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝1去掉(0,1)點(diǎn) C．x2＋y2＝1去掉(1,0)點(diǎn) D．x2＋y2＝1去掉(－1,0)點(diǎn) 解析：選D　結(jié)合題意，x2＋y2＝2＋2＝1，x＝＝－1＋≠－1，故選D. 3．已知曲線的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，則曲線的普通方程為(　　) A．y2＝1＋x　　　　　　　 B．y2＝1－x C．y2＝1－x(－≤y≤) D．以上都不對(duì) 解析：選C　因?yàn)閥＝cos θ－sin θ＝cos，所以y∈[－， ]，由y2＝1－2sin θcos θ＝1－sin 2θ，得y2＝1－x，y∈[－， ]，故選C. 一、選擇題 1．將參數(shù)方程(θ為參數(shù))化為普通方程為(　　) A．y＝x－2　　　　　　　 B．y＝x＋2 C．y＝x－2(2≤x≤3) D．y＝x＋2(0≤y≤1) 解析：選C　方程可化為y＝x－2，x∈[2,3]，y∈[0,1]，故選C. 2．參數(shù)方程(θ為參數(shù))表示的曲線是(　　) A．直線 B．圓 C．線段 D．射線 解析：選C　x＝cos2θ∈[0,1]，y＝sin2θ∈[0,1]， ∴x＋y＝1(x∈[0,1])為線段． 3．曲線(θ為參數(shù))的對(duì)稱中心(　　) A．在直線y＝2x上 B．在直線y＝－2x上 C．在直線y＝x－1上 D．在直線y＝x＋1上 解析：選B　將(θ為參數(shù))化為普通方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝1，其表示以(－1,2)為圓心，1為半徑的圓，其對(duì)稱中心即圓心，顯然(－1,2)在直線y＝－2x上，故選B. 4．已知曲線C：(t為參數(shù))，A(－1,0)，B(1,0)，若曲線C上存在點(diǎn)P滿足AP―→BP―→＝0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　) A. B．[－1,1] C．[－，] D．[－2,2] 解析：選C　設(shè)P(x，y)，∵A(－1,0)，B(1,0)，點(diǎn)P滿足AP―→BP―→＝0， ∴P的軌跡方程是x2＋y2＝1，表示圓心為(0,0)，半徑為1的圓．曲線C：(t為參數(shù))化成普通方程為x－y＋a＝0，由題意知，圓心(0,0)到直線x－y＋a＝0的距離d＝≤1，∴－≤a≤. 二、填空題 5．x2＋y2＋2x－4y＋1＝0化為參數(shù)方程為________． 解析：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0化成標(biāo)準(zhǔn)方程是(x＋1)2＋(y－2)2＝4，表示圓心為(－1,2)，半徑為2的圓， 故參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 答案：(θ為參數(shù)) 6．直線(t為參數(shù))與曲線(α為參數(shù))的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為________． 解析：(t為參數(shù))化為普通方程為x＋y＝1，(α為參數(shù))化為普通方程為x2＋y2＝9，表示以(0,0)為圓心，3為半徑的圓．圓心(0,0)到直線的距離為＝，小于半徑3，所以直線與圓相交．因此，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2. 答案：2 7．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ.以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，則曲線C的參數(shù)方程為________________． 解析：曲線C的直角坐標(biāo)方程是(x－1)2＋y2＝1， 其參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 答案：(θ為參數(shù)) 三、解答題 8．把下列參數(shù)方程化為普通方程，并說明它們各表示什么曲線． (1)(t為參數(shù)，t≥0)； (2)(π≤t≤2π)． 解：(1)由②得t＝y(tǒng)－1，又t≥0，所以y≥1.所以x＝－4(y－1)2(y≥1)，即(y－1)2＝－x(y≥1)． 方程表示的是頂點(diǎn)為(0,1)，對(duì)稱軸平行于x軸，開口向左的拋物線的一部分． (2)由得＋＝1. ∵π≤t≤2π，∴－2≤x≤2，－3≤y≤0. ∴所求方程為＋＝1(－3≤y≤0)， 它表示半個(gè)橢圓. 9．如圖所示，經(jīng)過圓x2＋y2＝4上任一點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為Q，求線段PQ中點(diǎn)軌跡的普通方程． 解：圓x2＋y2＝4的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 在此圓上任取一點(diǎn)P(2cos θ，2sin θ)， 則PQ的中點(diǎn)為M(2cos θ，sin θ)， 所以PQ中點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，化成普通方程＋y2＝1. 10．已知曲線C1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ＋6sin θ. (1)將曲線C1的參數(shù)方程化為普通方程，將曲線C2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； (2)曲線C1，C2是否相交？若相交，請(qǐng)求出公共弦的長(zhǎng)；若不相交，請(qǐng)說明理由． 解：(1)由(θ為參數(shù))得(x＋2)2＋y2＝10，∴曲線C1的普通方程為(x＋2)2＋y2＝10. ∵ρ＝2cos θ＋6sin θ， ∴ρ2＝2ρcos θ＋6ρsin θ， ∴x2＋y2＝2x＋6y，即(x－1)2＋(y－3)2＝10. ∴曲線C2的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋(y－3)2＝10. (2)∵圓C1的圓心為(－2,0)，圓C2的圓心為(1,3)， ∴|C1C2|＝＝3＜2， ∴兩圓相交．設(shè)相交弦長(zhǎng)為d，∵兩圓半徑相等，∴公共弦平分線段C1C2，∴2＋2＝()2，解得d＝，∴公共弦長(zhǎng)為.