2019屆高考數(shù)學(xué) 專題十四 外接球精準(zhǔn)培優(yōu)專練 理.doc
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2019屆高考數(shù)學(xué) 專題十四 外接球精準(zhǔn)培優(yōu)專練 理.doc
培優(yōu)點十四 外接球1正棱柱,長方體的外接球球心是其中心例1:已知各頂點都在同一球面上的正四棱柱的高為,體積為,則這個球的表面積是( )ABCD【答案】C【解析】,故選C2補形法(補成長方體)例2:若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直,且側(cè)棱長均為,則其外接球的表面積是 【答案】【解析】,3依據(jù)垂直關(guān)系找球心例3:已知三棱錐的四個頂點均在同一個球面上,底面滿足,若該三棱錐體積的最大值為3,則其外接球的體積為( )ABCD【答案】D【解析】因為是等腰直角三角形,所以外接球的半徑是,設(shè)外接球的半徑是,球心到該底面的距離,如圖,則,由題設(shè),最大體積對應(yīng)的高為,故,即,解之得,所以外接球的體積是,故答案為D對點增分集訓(xùn)一、單選題1棱長分別為2、的長方體的外接球的表面積為( )ABCD【答案】B【解析】設(shè)長方體的外接球半徑為,由題意可知:,則:,該長方體的外接球的表面積為本題選擇B選項2設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面,所有棱的長都為,頂點都在一個球面上,則該球的表面積為( )A12B28C44D60【答案】B【解析】設(shè)底面三角形的外接圓半徑為,由正弦定理可得:,則,設(shè)外接球半徑為,結(jié)合三棱柱的特征可知外接球半徑,外接球的表面積本題選擇B選項3把邊長為3的正方形沿對角線對折,使得平面平面,則三棱錐的外接球的表面積為( )ABCD【答案】C【解析】把邊長為3的正方形沿對角線對折,使得平面平面,則三棱錐的外接球直徑為,外接球的表面積為,故選C4某幾何體是由兩個同底面的三棱錐組成,其三視圖如下圖所示,則該幾何體外接球的面積為( )ABCD【答案】C【解析】由題可知,該幾何體是由同底面不同棱的兩個三棱錐構(gòu)成,其中底面是棱長為的正三角形,一個是三條側(cè)棱兩兩垂直,且側(cè)棱長為的正三棱錐,另一個是棱長為的正四面體,如圖所示:該幾何體的外接球與棱長為a的正方體的外接球相同,因此外接球的直徑即為正方體的體對角線,所以,所以該幾何體外接球面積,故選C5三棱錐的所有頂點都在球的表面上,平面,則球的表面積為( )ABCD【答案】D【解析】因為,所以,因此三角形外接圓半徑為,設(shè)外接球半徑為,則,故選D6如圖是邊長為1的正方體,是高為1的正四棱錐,若點,在同一個球面上,則該球的表面積為( )ABCD【答案】D【解析】如圖所示,連結(jié),交點為,連結(jié),易知球心在直線上,設(shè)球的半徑,在中,由勾股定理有:,即:,解得:,則該球的表面積本題選擇D選項7已知球的半徑為,三點在球的球面上,球心到平面的距離為,則球的表面積為( )ABCD【答案】D【解析】由余弦定理得:,設(shè)三角外接圓半徑為,由正弦定理可得:,則,又,解得:,則球的表面積本題選擇D選項8已知正四棱錐(底面四邊形是正方形,頂點P在底面的射影是底面的中心)的各頂點都在同一球面上,底面正方形的邊長為,若該正四棱錐的體積為,則此球的體積為( )ABCD【答案】C【解析】如圖,設(shè)正方形的中點為,正四棱錐的外接球心為,底面正方形的邊長為,正四棱錐的體積為,則,在中由勾股定理可得:,解得,故選C9如圖,在中,點為的中點,將沿折起到的位置,使,連接,得到三棱錐若該三棱錐的所有頂點都在同一球面上,則該球的表面積是( )ABCD【答案】A【解析】由題意得該三棱錐的面是邊長為的正三角形,且平面,設(shè)三棱錐外接球的球心為,外接圓的圓心為,則面,四邊形為直角梯形,由,及,得,外接球半徑為,該球的表面積故選A10四面體中,則此四面體外接球的表面積為( )ABCD【答案】A【解析】由題意,中,可知是等邊三角形,的外接圓半徑,可得,可得,四面體高為設(shè)外接球,為球心,可得:,由解得:四面體外接球的表面積:故選A11將邊長為2的正沿著高折起,使,若折起后四點都在球的表面上,則球的表面積為( )ABCD【答案】B【解析】中,底面三角形的底面外接圓圓心為,半徑為,由余弦定理得到,再由正弦定理得到,見圖示:是球的弦,將底面的圓心平行于豎直向上提起,提起到的高度的一半,即為球心的位置,在直角三角形中,應(yīng)用勾股定理得到,即為球的半徑球的半徑該球的表面積為;故選B12在三棱錐中,則該三棱錐的外接球的表面積為( )ABCD【答案】D【解析】分別取,的中點,連接相應(yīng)的線段,由條件,可知,與,都是等腰三角形,平面,同理,是與的公垂線,球心在上,推導(dǎo)出,可以證明為中點,球半徑,外接球的表面積為故選D二、填空題13棱長均為6的直三棱柱的外接球的表面積是_【答案】【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圓半徑為,則外接球的半徑,則外接球的表面積為14已知棱長都相等正四棱錐的側(cè)面積為,則該正四棱錐內(nèi)切球的表面積為_【答案】【解析】設(shè)正四棱錐的棱長為,則,解得于是該正四棱錐內(nèi)切球的大圓是如圖的內(nèi)切圓,其中,設(shè)內(nèi)切圓的半徑為,由,得,即,解得,內(nèi)切球的表面積為15已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面,各頂點都在同一球面上,若該棱柱的體積為,則此球的表面積等于_【答案】【解析】三棱柱的側(cè)棱垂直于底面,棱柱的體積為,設(shè)外接圓的半徑為,則,外接球的半徑為,球的表面積等于故答案為16在三棱錐中,則三棱錐外接球的體積的最小值為_【答案】【解析】如圖所示,三棱錐的外接圓即為長方體的外接圓,外接圓的直徑為長方體的體對角線,設(shè),那么,所以由題意,體積的最小值即為最小,所以當(dāng)時,的最小值為,所以半徑為,故體積的最小值為